2007年重庆高考文科数学真题及答案.doc-资料库

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2007 年重庆高考文科数学真题及答案共 5 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3.答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色铅字笔，将答案书写在答案卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。 5.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。参考公式：如果事件 A、B互斥，那么如果事件 A、B相互独立，那么 ( ) ) AP  ( ( ) BPAP  ) ( BAP   ·( BAP ( BP ·) ) 如果事件 A在一次试验中发生的概率是 P，那么 n次独立重复试验中事件 A恰好发生 k 次的概率 )( kP  k pC 1 n 1(  p ) kn  ( k  2,1,0 ， n ) 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。（B）3 （C）4 （D）8 （B）{a} （1）在等比数列{an}中，a2＝8，a1＝64，则公比 q 为（A）2 （2）设全集 U＝|a、b、c、d|，A＝|a、c|，B=|b|，则 A∩（CuB）＝（A）  （3）垂直于同一平面的两条直线（A）平行（4）（2x-1）2 展开式中 x2 的系数为（A）15 （5）“-1＜x＜1”是“x2＜1”的（A）充分必要条件（C）必要但不充分条件（B）充分但不必要条件（D）既不充分也不必要条件（B）垂直（C）相交（C）120 （C）{c} （B）60 （D）{a,c} （D）异面（D）240 （6）下列各式中，值为 3 的是 2 （A） sin2 15  cos 15  （B） 2 cos 15  sin 2 15  （C） 2 sin2 15  1 （D） 2 sin 15  cos 2 15  （7）从 5 张 100 元，3 张 200 元，2 张 300 元的奥运预赛门票中任取 3 张，则所取 3 张中至少有 2 张价格相同的概率为（A） 1 4 （B） 79 120 （C） 3 4 （D） 23 24 （8）若直线 y  kx 1 与圆 2 x 2  y  1 相交于 P、Q两点，且∠POQ＝120°（其中 O为原点），则 k的值为 (A) - 3 或 3 （B） 3 （C） 2 或 3 （D） 2

（9）已知向量OA =（4，6），OB =（3，5），且OC ⊥OA ， AC ∥OB ，则向量OC = （A）    3 7 2, 7    （B）    2 7 4, 21    （C）    3 7 2,  7    （D）    2 7 ,  4 21    （10）设 P（3，1）为二次函数 )( xf  ax 2  2 ax  ( xb  )1 的图象与其反函数 f  f )(1 x 的图象的一个交点，则 5 2 （A） 1 2   , b a （C） a  1 2 , b  5 2 （11）设 3 b 1 和是 1  a （B） a  1 2 , b  5 2 （D） a  1 2 , b  5 2  a 的等比中项，则 a+3b的最大值为（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 （12）已知以 F1（2,0），F2（2,0）为焦点的椭圆与直线 x  3 y  4 0 有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（A） 23 （B） 62 （C） 72 （D） 24 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填写在答题卡相应位置上。（13）在△ABC中，AB=1,BC=2,B=60°，则 AC＝。（14）已知 6 则 2 3 x y   - 0 yx  0 y  ，      z  3 x  y 的最大值为。（15）要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术 6 门课各一节的课程表，。（以数字作要求数学课排在前 3 节，英语课不排在第 6 节，则不同的排法种数为答）（16）函数 )( xf  2 x  2 x  22 x  5 x  4 的最小值为。三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分 13 分，（Ⅰ）小问 5 分，（Ⅱ）小问 8 分）设甲乙两人每次射击命中目标的概率分别为 3 和，且各次射击相互独立。 4 4 5 （Ⅰ）若甲、乙各射击一次，求甲命中但乙未命中目标的概率；（Ⅱ）若甲、乙各射击两次，求两命中目标的次数相等的概率。（18）（本小题满分 13 分，（Ⅰ）小问 4 分，（Ⅱ）小问 9 分） 2 已知函数 cos    x    2 x   4   ) 2 。 sin( （Ⅰ）求 f(x)的定义域；

（Ⅱ）若角 a在第一象限且 cos  a 3 5 , ）。（求 a f （19）（本小题满分 12 分，（Ⅰ）小问 6 分，（Ⅱ）小问 6 分。）如题（19）图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，∠ABC＝90°，AB=1,BC= 3 ,AA2=2;点 D 在棱 2 BB1 上，BD＝ 1 BB1；B1E⊥A1D，垂足为 E，求： 3 （Ⅰ）异面直线 A1D与 B1C1 的距离；（Ⅱ）四棱锥 C-ABDE 的体积。题（19）图 20.（本小题满分 12 分）用长为 18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为 2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？（21）（本小题满分 12 分，（Ⅰ）小问 4 分，（Ⅱ）小问 8 分）如题（21）图，倾斜角为 a的直线经过抛物线 y 两点。 2  的焦点 F，且与抛物线交于 A、B 8 x

（Ⅰ）求抛物线的焦点 F的坐标及准线 l的方程；（Ⅱ）若 a为锐角，作线段 AB的垂直平分线 m交 x轴于点 P，证明|FP|-|FP|cos2a为题（21）图定值，并求此定值。（22）（本小题满分 12 分，其中（Ⅰ）小问 5 分，（Ⅱ）小问 7 分）已知各项均为正数的数列{an}的前 n项和 Sn满足 Sn＞1，且 6 S n  ( a n  )(1 a n  ,1)2  n  .N （Ⅰ）求｛an｝的通项公式；（Ⅱ）设数列｛bn｝满足  2 na  n 1 ,1 3 T  log11 ＞ ( a n 2  ),3 n  .N 并记 Tn为｛bn｝的前 n项和，求证：

一、选择题：每小题 5 分，满分 60 分。（1）A（2）D（3）A（4）B（5）A（6）B（7）C（8）A（9）D（10）C 答案（11）B（12）C 二、填空题：每小题 4 分，满分 16 分。（13） 3 （14）9（15）288（16）1+2 2 三、解答题：满分 74 分解：（Ⅰ）设 A表示甲命中目标，B表示乙命中目标，则 A、B相互独立，且 P（A）＝ 3 4 , ( BP ) 4 5 ，从而甲命中但乙未命中目标的概率为 ( ABP )  ( ( BPAP ) )  3 4    1   4 5    3 20 . （Ⅱ）设 A1 表示甲在两次射击中恰好命中 k次，B1 表示乙有两次射击中恰好命中 l次。依题意有 k ( AP 1 )  C k 2 ( BP 1 )  C l 2       3 4 4 5    l    1     4   2 1     5   2  k , k  .2,1,0  l , l  .2,1,0 由独立性知两人命中次数相等的概率为 0  1 ( BAP  0 ( ( BPAP  2 2 1     4   1 16 ) 0 ) 0 1·   5  1 25 ( ( ) ) BAP BAP 11 2 2 ) ( ( ) ( ) BPAP AP   1 2 3· 1· 1· 4· · 4 4 5 5 4 9 16 193 25 16 25 400 3 4 C C 2 3        1 2 ＝  .0 ＝＝ 4825 . )  C 2 2 ( BP 3·   4  ) 2 2    2 C 2 2 4·   5      (18)（本小题 13 分）    x  2  解：（Ⅰ）由 sin    0 得 x   2  , k  即 x  k    2 ( k  Z), 故 f(x)的定义域为 x  |R x  k       2 , k   .Z   （Ⅱ）由已知条件得 sin a  1  cos 2 a  1    3 5 2    4 5 . 从而 )( af  1  2 cos( sin( a   ) 4  2 a  ) 2 1  ＝ 2    cos a  cos  4 cos a 2sin a sin  4   

1  ＝ cos 2 a cos  a sin a  2 cos 2  a sin2 a cos a cos a ＝ 2 (cos a  sin a )  14 5 . （19）（本小题 12 分）解法一：（Ⅰ）由直三棱柱的定义知 B1C1⊥B1D，又因为∠ABC＝90°，因此 B1C1⊥A1B1，从而 B1C1⊥平面 A1B1D，得 B1C1⊥B1E。又 B1E⊥A1D，故 B1E是异面直线 B1C1 与 A1D的公垂线由 BD  1 BB 3 1 知 1 DB 4 3 , 1    4 3 2    5 3 . . 在 Rt△A1B1D中，A2D＝ 2 BA 11  DB 1 2  EBDA 1 · 1 又因 S △ DBA 11  1 2 · DBBA 11 1  1 2 故 B1E= · DBBA 11 DA 1 1  4·1 3 5 3  4 5 . （Ⅱ）由（Ⅰ）知 B1C1⊥平面 A1B1D，又 BC∥B1C1，故 BC⊥平面 ABDE，即 BC为四棱锥 C-ABDE 的高。从而所求四棱锥的体积 V为 1  V＝VC-ABDE＝ 3 ，BC 其中 S为四边形 ABDE的面积。如答（19）图 1，过 E作 EF⊥BD，垂足为 F。在 Rt△B1ED中，ED= 2 DB 1  EB 1 2 答（19）图 1    4 3 2      4 5 2    16 15 , DE  1 2 EFDB 1 · , 又因 S△B1ED= 故 EF= · EB 1 1 2 E· DEB 1 DB 1  16 25 .

因△A1AE的边 A1A上的高 BAh 11   EF  1 16 25  9 25 , 故 S△A1AE＝ 1 2 hAA 1 · 9·2· 1 2 25  又因为 S△A1BD＝ 1 2 · DBBA 11 1 S＝S△A1AE-S△A1AE-S△A1B1D＝2- . 9 25 4·2· 1 2 3 2 73 3 75 73 150   .  9 25 73· 3· 1 75 2 3 所以 V  1 · 3 · S BC  , 从而 2 3  . 解法二：（Ⅱ）如答（19）图 2，以 B点为坐标原点 O建立空间直角坐标系 O-xyz，则答（19）图 2 A(0,1,0),A1(0,1,2),B(0,0,0). 3 ,0,2),D(0,0, 2 B1(0,0,2),C1( 2 ) 3 因此 AA 1  CB 2 1  设 E（ ),0,1,0(  4,1,0(  3 ).   AB DA 1 ),0,0, ),2,0,0( 2( 3 3 ，y0，z0），则 2 EB 1  ( y , z 0 0 )2,  ，因此 CBEB 1 1 · 1  从而 ,0 CB 1 1  EB 1 . 又由题设 B1E⊥A1D，故 B1E是异面直线 B1C1 与 A1D的公垂线。下面求点 E的坐标。因 B1E⊥A1D，即 DAEB 1 · 1 从而,0 y 0  4 3 ( z 0  )2  ,0 )1( 又 EA 1  ,0( y 0  ,1 z 0  ),2 AEA ∥且 1 1 ,D 得

y 0 1  1 z 0  2  4 3 ,  )2( 联立（1）、（2）,解得 0 y 16 25 , 0 z 38 25 ,即 E    16,0 25 38, 25    ， 1EB     16,0 25 ,  12 25    。所以 | EB   1 | 16 25 2      12 25 2    4 5 . （Ⅱ）由 BC⊥AB，BC⊥DB，故 BC⊥面 ABDE.即 BC为四棱锥 C-ABDE的高. 下面求四边形 ABDE的面积。因为 SABCD＝SABE+ SADE， | AB |,1|  BD 2|  3 ＝ 19 25 . ＝ 16 75 . 38·1· 1 25 2 2· 16· 1 2 25 3 73 75 .  而 SABE＝ 1 2 | AB | z 0 SBDE＝ 1 2 | BD | y 0 故 SABCD＝ 19 25 所以 V CABCD   16 75 1 · 3 S ABDE |· BC 1| 73· 3·  75 2 3  73 150 . （20）（本小题 12 分）解：设长方体的宽为 x（m），则长为 2x(m)，高为 18 h  x 12  4  35.4  x (m) 0 ＜＜x    3 2    . 故长方体的体积为 )( xV  2 x 2 9)35.4(   x 2 x  3 (m6 x 3 ) 0( ＜＜x 3 2 ). 从而 )( xV   18 x  18 x 2 )35.4( x   18 x 1(  x ). 令 V′（x）＝0，解得 x=0（舍去）或 x=1，因此 x=1. 当 0＜x＜1 时，V′（x）＞0；当 1＜x＜ 2 时，V′（x）＜0， 3 故在 x=1 处 V（x）取得极大值，并且这个极大值就是 V（x）的最大值。从而最大体积 V＝V′（x）＝9×12-6×13（m3），此时长方体的长为 2 m，高为 1.5 m. 答：当长方体的长为 2 m 时，宽为 1 m，高为 1.5 m 时，体积最大，最大体积为 3 m3。（21）（本小题 12 分）（Ⅰ）解：设抛物线的标准方程为 y 2  ，则 px 2 2 p ，从而 8 .4p 因此焦点 ( pF 2 )0, 的坐标为（2，0）. 又准线方程的一般式为从而所求准线 l的方程为 x  。 p 2 2x 。

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