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第 2 章习题及解答 2－1 已知电网络如题图所示，输入为u t ，输出为 i ( ) ，试列写微分方程。 )(tuo L R1 C R1 ui (a) uo R2 ui C R2 uo (b) 习题 2－1 题解：（1）由题图，设电流变量如图所示，写出变量约束方程为 t )( + iR 11 i t )( 1 t iR )( 11 tiR )(2 tu tiR )( )( i= + 2 i ti t )( )( = 2 1 ∫ i t )( 2 C tu )( o= dt − = 0 化简，消去中间变量分方程为 i 1 t ),( i 2 t ( ), ti )( 得到输出变量为 i2 i C R1 i1 R2 ui uo ，输入变量为 )(tui 的微 )(tuo tuCRR )(d o t d 2 1 + ( tuRR )( 1 + ) o 2 = tuCRR )(d i t d 2 1 + tuR )( 2 i 可简写为 tuCRR )( 1 tuR )( 2 （2）由题图，设电流变量如图所示，写出变量约束方程为 tuRR )( 1 tuCRR )( 1 + = + + ) ( o 2 2 2 i R1 i L i2 • o • i dt tu )( i= ui C i1 R2 uo 1 ∫ C t )( = i t )( 1 ti )( t )( tiR )( + 1 i t i )( + 1 2 diL t )( 2 dt iR t )(22 iR + 22 tu )( 化简，消去中间变量分方程为 o= = 1 C t )( dt i 1 ∫ i 1 t ),( i 2 t ),( ti )( 得到输出变量为 )(tuo ，输入变量为 )(tui 的微 •• tuLCR )( 1 o + ( • tuCRRL )( + ) o 1 2 + ( tuRR )( 1 + ) o 2 = tuR )( 2 i 解毕。 1 课后答案网 www.khdaw.com

2－2 电磁铁的磁拉力计算公式为 μ0 F x i ( , ) = 2 ) ，（单位：N） S Ni ( x 24 ( , ) 的线性化方程。式中，μ0为空气导磁率，S为磁极面积，N为激磁绕组匝数，i为激磁电流，x为气隙大小，求出F x i 题解：由于磁拉力F x i 勒级数展开式为 ( , ) 为电流 i 和位移 x 的双元函数，在工作点邻域 ixF , 0 0 ，其泰 ) ( 0 ixF ),( = ixF , 0 0 ( 0 ) + • ixF ),( x xx = i i = 0 0 ⋅ ( x − x 0 ) + • ixF ),( i + 1 !2 •• ixF ),( x xx = i i = 0 0 ⋅ ( x − 2 x 0 ) + •• ixF ),( i 1 !2 xx = i i = 0 0 i ( −⋅ i 0 ) + xx = i i = 0 0 i ( −⋅ i 0 2 ) Λ+ 忽略二次以上各项有 ixF ),( = ixF , 0 0 ( 0 ) + • ixF ),( x xx = i i = 0 0 ⋅ ( x − x 0 ) + • ixF ),( i i ( −⋅ i 0 ) xx = i i = 0 0 令 ixFF ),( =Δ − K x = • ixF ),( x 0 ( ixF ) , 0 0 Sμ Ni ( 0 0 x 2 3 0 −= 0 xx = i i = 0 2 ) = 2 i 0 SNμ 0 2x 2 0 xx = i i = 0 0 K i = • ixF ),( i x x 0x −=Δ i i 0i −=Δ 则有磁拉力增量式 +Δ⋅ KF =Δ Kx x i Δ⋅ i 将增量式写为一般函数表达式有 iKxKF +⋅ = −=⋅ x i μ 0 2 ) S Ni ( 0 x 2 3 0 x + 2 i 0 SN μ 0 x 2 2 0 i 解毕。（a） f f （b）（c）（d）题解： F s( ) 。 t ( ) t )( . ( 05 1 = t e 2.0−= t( )的拉氏变换 2－3 求下列时间函数 f t 5 cos ) t 314 π ) 3 − cos sin( t )( t 5 + = f f t )( 2 e −⋅= t 3 t 2 课后答案网 www.khdaw.com

（a） f . ( 05 1 由定义或者查表 t ( ) = − cos t ) 5 f t )( 2.0−= e t （b）由于应用拉氏变换的衰减定理有 sF )( sin( = s + s )2.0 ( + π t ) +5 3 t ( ) = （c） f 由于 = 1(5.0)( sF s t 314 cos s + − 2 s ) = 25 5.12 2 + ss ( )25 [cos L t 314 ] = s s 2 314 + 2 2.0 2 + = 2 314 s 2.0 + 314( + 2 s + 4.0 s 2 + )2.0 2 sin( t 5 + π ) 3 = cos π 3 t 5sin + sin π 3 cos t 5 = 1 2 t 5sin + 3 2 cos t 5 所以 sF )( 1 ⋅= 2 （d）由于 f t )( 2 e −⋅= t 3 t 应用拉氏变换的衰减定理有 5 + 2 5 + 3 2 ⋅ 2 s s + 2 5 = .0 s 866 s 2 + 5.2 + 25 2 s 2 tL [ ] = !2 s 3 sF )( = 2 3)3 + ( s 解毕。 MATLAB 语言求解（a） f syms t f=0.5*(1-cos(5*t)); F=laplace(f) F = t ( ) = . ( 05 1 − cos t ) 5 1/2/s-1/2*s/(s^2+25) t f e t )( cos 2.0−= （b） syms t f=exp(-0.2*t)*cos(314*t); F=laplace(f) F = t 314 (s+1/5)/((s+1/5)^2+98596) 3 课后答案网 www.khdaw.com

sin( t +5 π ) 3 (1/2*s*3^(1/2)+5/2)/(s^2+25) e t 3 ⋅ − = t ( ) （c） f syms t f=sin(5*t+pi/3); F=laplace(f) F = 2 t t ( ) = f （d） syms t f=t^2*exp(-3*t); F=laplace(f) F = 2/(s+3)^3 解毕。 4 课后答案网 www.khdaw.com

2－4 求出题图所示时间信号 f f(t) t0 0 t t0 （a） ( ) t( )的拉氏变换F s 。 f(t) A 0 半波正弦 t π/ω f(t) M 0 -M （b）习题 2－4 题解：（a）由于信号 f )(t 可以分解为信号的组合如图所示， t f )(1 t ⋅= t )(1 → sF )( 1 f 2 t )( −−= t ( t t (1) ⋅ − t 0 →) 0 sF )( 2 3 f t t )( ⋅−= 0 所以拉氏变换为 t (1 − t ) 0 → sF )( 3 = 1 s 2 −= 1 s 2 ⋅−= 0 t 0 ste −⋅ 1 s ste −⋅ 0 占空比=ηT t 0<η<1 T （c） f(t) f1(t) 0 t0 f3(t) t f2(t) + sF )( 3 = − st 0 ⋅ e t ⋅− 0 1 s 2 − 1 s 2 1 − e − − st 0 ⋅ e = 1 s 可以分解为信号的组合如图所示， sF )( = sF )( 1 + （b）由于信号 t ωsin t f )(1 A = sF )( 2 )(t f → sF )( 1 = 2 s = sin ω − t (1 t ⋅ f t )(2 所以拉氏变换为 π ) ω → sF )( 2 = s A ω 2 ω + A ω −⋅ e 2 + ω 2 π s ω st 1( 0 s 2 f1(t) + st 0 ) f2(t) π ω f(t) A 0 ) = sF )( 1 + sF )( 2 = A ω + ω 2 s −+⋅ e 1(2 π s ω 为周期信号，第一周期的信号如图所示， sF )( f )(t Ts η − e + − Ts e = M s M s 21( − e Ts η − − Ts + e ) （c）由于信号其拉氏变换为 MsF )(1 = s )(1 sF 已知 M s − 2 ，则周期信号的拉氏变换为 1 e Ts ⋅ − − )(sF = 1 1 sF )( 所以占空比为η的方波脉冲信号的拉氏变换为 MsF )( s sF )( 1 e = = 1 − Ts ⋅ − 1 − Ts e + Ts ⋅ e 21 − 1 − Ts η − e − 解毕。 2－5 已知下列拉氏变换F s ，求出时间表达式 ( ) f t( )，并画出曲线草图。 t 占空比=ηT T f(t) M 0 -M 5 课后答案网 www.khdaw.com

1.1 1 0.9 0 1 0.5 0 -0.5 0 2 4 T 0 T 6 t s s 2 + + s s ( 2 + e 1 Ts − − s 2 100 100 ) （b）F s ( ) = （d）F s ( ) = 1 s s 2 2 s 3 s 2 + + 1 e Ts − − )(sF 作海维塞分解可分解为 sF )( 1 s 2+= s 1 100 + 1 100 + 2 t )(1] = + 1 10 sin t 10 （a）F s ( ) = （c）F s ( ) = 题解：（a）将 f t )( L 1 = = 作拉氏反变换，有 1[ s s 时间曲线如图所示。（b）将 )(sF + + + 5 4 1 2 3 − Ts e ] t ⋅= t )(1 −− Tt ( (1) ⋅ Tt − ) sF 1)( += 2 s 作海维塞分解可分解为 s 1 1 + + s+ 2 )3( + + s )1 2 1 += + 4 s ( 2 = + 1[ t )( L 1− 作拉氏反变换，有 f s )1 2 时间曲线如图所示。（c） )(sF + s ( 可分解为 1 + )3( + 2 ] = δ t )( e −+ t cos t 3 sF )( 1 = 2 s − 1 s 2 Tse − f [ t )( L 1 = − 作拉氏反变换，有 1 s 2 1 s 2 时间曲线如图所示。（d） )(sF − 可作等比级数分解为 1 e sF )( = − f Ts − t )( 1 作拉氏反变换，有 L e Ts 1[ 1 − − = + + Tt t ( )( = + δδ − 时间曲线如图所示。解毕。 += 1 e − Ts + e − 2 Ts Λ+ 2 − e ) + Ts Λ+ t ( − δ ] T )2 Λ+ 6 课后答案网 www.khdaw.com

2－6 用拉氏变换法求解下式微分方程。 c ，r c 5 7 2 = + )0( （a） • c 0)0(,0 = t r R c = ⋅1( ) ， • c = ， )0( c 0 )0( = • = c 0 7 + c 5 = ，0 •• c + •• c + • c • c • c 2 （b）题解： 2 •• c ，r （a）将方程两边作拉氏变换 c 5 = + + 7 r R = ⋅1( ) ， t c )0( = • c 0)0(,0 = 由拉氏变换的线性定理有由拉氏变换的微分定理有 •• cL 2[ + 7 • c + c ]5 = rL ][ •• cL ]2[ + • cL ]7[ + cL ]5[ = rL ][ − sc )0( − • c )]0( + [7 sC s )( − c )]0( + sC )(5 = sCs )( [2 2 • c = 将初值 c 0)0(,0)0( = 及输入信号的拉氏变换 sR )( = tRL (1 [ ⋅ )] 代入上式 sR )( 1 s R ⋅= sCs 2 2 7)( + sC s sC )(5)( + R ⋅= 1 s ⋅ 1 s s + 5 ⋅ R R ⋅= 1[ 5 1 1 ⋅−⋅ s 3 1 + 1 s + 2 15 ⋅ 1 5.2 + s ] 有输出信号的拉氏变换为 1 7 + sC )( = 2 s 2 作拉氏反变换解得 tc )( R ⋅= ⋅ 1[ 5 = ， 1)(1 t ⋅− 3 )0( • c c 0 + 2 15 0 − t e • = c − 5.2 t ⋅ e ] •• c 2 • c 7 + + （b）本题为齐次方程求解，初始条件不为零而输入信号为零。将方程两边作拉氏变换 = ，0 c )0( c 5 由拉氏变换的微分定理有 sCs [2 2 )( • c 将初值 )0( )0( − • = c ， = c c 0 2 整理有 0 代入上式 • c sc − 2 0 sCs 2 2)( − •• cL 2[ + 7 • c + c 0]5 = sc )0( − • c )]0( + [7 sC s )( − c )]0( + sC 0)(5 = + 0 7 sC s 7)( − c 0 + sC )(5 = 0 2 2[ s + 7 s + ]5 sC )( = 2 sc 0 + 2( • c + 0 c )7 0 方程解的拉氏变换为 sC )( = 2 sc + 0 s 2 2 • c 7 2( + 0 s + + c )7 0 5 7 课后答案网 www.khdaw.com

作拉氏反变换解得 tc )( = 解毕。 MATLAB 符号运算求解 • c 0 2 c 5 0 + 3 − t ⋅ e − • c 0 2 2 c 0 + 3 − 5.2 t ⋅ e )0( = • c 0)0(,0 = •• c • c 2 7 + + = c 5 ，r r R （a） c = ⋅1( ) ， f='2*D2c+7*Dc+5*c=R,c(0)=0,Dc(0)=0'; dsolve(f) ans = t 7 + + = • c •• c c 5 1/5*R-1/3*R*exp(-t)+2/15*R*exp(-5/2*t) • = c 2 )0( f='2*D2c+7*Dc+5*c=0,c(0)=c1,Dc(0)=c2'; dsolve(f,'t') ans = = ，，0 )0( c 0 • c c 0 (5/3*c1+2/3*c2)*exp(-t)+(-2/3*c1-2/3*c2)*exp(-5/2*t) （b）解毕。传递函数。 2－7 用运算放大器组成的有源电网络如题图所示，试采用复数阻抗法写出它们的 R3 C R2 - + （a） ui R1 ui R1 C R3 R2 - + uo 习题 2－7 （b） uo R4 R5 题解：（a）应用复数阻抗法，如图所示计算反馈复数阻抗 sU o )( R + 2 CsR 2 ⋅ + 1 R 3 R 2 CsR 2 ⋅ + 1 1 R 2 = sI )( 则反馈复数阻抗为 f = = )( sUsZ )( CsRR o 2 sI )( sUsG )( )( sU )( 将输入阻抗与反馈阻抗代入上式，得到传递函数为 R 2 对于反相运算电路，其传输关系为， = o 3 i CsRR 2 3 + R 2 + R 3 ) −= sG )( −= (1 R 1 + R 2 + R 3 −= sZ )( f sZ )( i ，输入阻抗为 sZi )( = R 1 ， R 3 + R 1 ( RR 3 2 R R + 2 3 Cs + )1 8 课后答案网 www.khdaw.com

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