122 2009，45（31） Computer Engineering and Applications 计算机工程与应用 基于粒子群优化算法的小波阈值去噪方法研究 郭晓霞，杨慧中 GUO Xiao-xia，YANG Hui-zhong 江南大学 通信与控制工程学院，江苏 无锡 214122 School of Communication & Control Engineering，Jiangnan University，Wuxi，Jiangsu 214122，China E-mail：guoxiaoxia1983@126.com GUO Xiao-xia，YANG Hui-zhong.Research of wavelet threshold de-noising method based on Particle Swarm Optimiza－ tion.Computer Engineering and Applications，2009，45（31）：122-124. Abstract： After studying the characteristics of Particle Swarm Optimization，Particle Swarm Optimization is used in wavelet domain to optimize the thresholds，and garrote shrinkage function is used to process wavelet decomposition coefficients，which overcome the shortcoming of discontinuity of hard-threshold and decreased the fixed bias of soft-threshold.The simulation results show that this new method has better de-noising effects than traditional methods. Key words：Particle Swarm Optimization；threshold de-noising；threshold function；Signal to Noise Ratio（SNR） 摘 要：研究粒子群优化算法的特性，将其应用于小波域，对阈值进行寻优，并使用 garrote 阈值函数量化小波分解系数，而 garrote 阈值函数既克服了硬阈值函数的不连续性，也减小了软阈值函数存在的恒定偏差。实验仿真结果表明，提出的方法较传统方法具 有更好的去噪效果。 关键词：粒子群优化算法；阈值去噪；阈值函数；信噪比 DOI：10.3778/j.issn.1002-8331.2009.31.036 文章编号：1002－8331（2009）31-0122-03 文献标识码：A 中图分类号：TP391 1 引言 在信号的检测、传输和应用的各个环节中，噪声的抑制与 消除是一个永恒的话题。小波变换是近几十年信号处理领域研 究的一个热点，许多学者将小波在理论上的研究成果应用到诸 如图像压缩、特征提取、信号滤波和数据融合等方面，且小波变 换的应用领域还在不断发展当中。小波之所以在信号处理领域 具有很大的优势，在于小波变换可以获得信号的多分辨率描 述，这种描述符合人类观察世界的一般规律，同时，小波变换具 有丰富的小波基可以适应具有不同特性的信号。 1995 年，Donoho 等人提出了小波软、硬阈值消噪法[1-2]，获 得了国内外学者的广泛关注。现有的研究[3-4]表明：阈值和阈值 函数的选取非常重要，采用不同的阈值或阈值函数，通常会得 到不同的滤波效果。所以选择合适的阈值和阈值函数已成为小 波阈值去噪研究中的核心问题，在某种程度上，它关系到信号 降噪的质量。虽然 Donoho 在理论上证明并找到了最优的通用 阈值，但在小波变换过程中由于噪声的小波变换系数幅值随着 尺度的增大而减小，而信号的小波变换系数幅值随尺度的增大 却不会减小，所以通用阈值在实际应用中的效果并不十分理 想。基于以上考虑，采用分层阈值，即每个分解尺度采取不同的 阈值。粒子群优化是一种有效的全局寻优算法，采用粒子群优 化算法来确定最佳分层阈值，避免了计算含噪信号的噪声方 差，并运用 non-negative garrote 阈值函数[5]处理小波分解系数， 最后通过实验仿真验证了该方法的有效性。 2 小波阈值去噪 1995 年，D.L.Dohono 在小波变换的基础上提出了阈值去 噪的方法，该方法计算量小且实现起来简单，因而得到了广泛 的应用。 一维含噪信号模型表示为： y（n）=s（n）+σ·e（n），n=0，1，…，N-1 其中，y（n）为含噪信号，s（n）为有用信号，σ 是噪声强度，e（n） 为噪声信号，其小波变换为： - j 2 wj，k=2 Σy（n）ψ（2-j-k），j，k∈Z N-1 n=0 即为含噪信号的小波系数，其中，ψ（t）是小波函数。因为小 wj，k 波变换是线性变换，所以 y（n）经离散小波变换后可得： wj，k=wj，k 式中，wj，k （s）+wj，k （s）和 wj，k （e） （e）分别为有用信号和噪声的小波变换系数。 小波阈值收缩法去噪的主要理论依据是：小波变换特别是 正交小波变换具有很强的去数据相关性，它能够在小波域中使 信号的能量集中在一些大的小波系数中；而噪声的能量却分布 于整个小波域内。因此，经小波分解后，信号的小波系数幅值要 基金项目：国家自然科学基金（the National Natural Science Foundation of China under Grant No.60674029）。 作者简介：郭晓霞（1983-），硕士生，主要研究方向：小波分析，信号处理；杨慧中（1955－），教授，博士生导师，主要研究方向：工业过程建模与优化 控制及相关理论与技术的研究。 收稿日期：2008-06-16 修回日期：2008-10-12 

郭晓霞，杨慧中：基于粒子群优化算法的小波阈值去噪方法研究 2009，45（31） 123 大于噪声的系数幅值。可以认为，幅值比较大的小波系数一般 以信号为主，而幅值比较小的系数在很大程度上是噪声。于是， 采用阈值的方法可以把信号系数保留，而把大部分噪声系数减 少至零。其具体处理过程为：选择一个小波并确定分解层数，然 后将含噪信号在各尺度上进行小波分解，保留大尺度低分辨率 下的全部小波系数；对于各尺度高分辨率下的小波系数，可以 设定一个阈值，幅值低于该阈值的小波系数置零，高于该阈值 的小波系数或者完整保留（即硬阈值法），或者作相应的“收缩 （shrinkage）”（即软阈值法），最后将处理后获得的小波系数利 用逆小波变换进行重构，恢复出有效的信号。 3 粒子群优化算法 粒子群优化算法[6-7]（Particle Swarm Optimization，PSO）是由 Eberhart 博士和 Kennedy 博士发明，源于对鸟群捕食的行为研 究，是一种基于群体智能理论的全局寻优算法。它通过群体中 粒子间的合作与竞争产生的群体智能指导优化搜索。PSO 采用 的是速度-位移模型，避免了复杂的遗传操作，它特有的记忆使 其可以动态跟踪当前的搜索情况调整其搜索策略。由于每代种 群中的解具有“自我”学习提高和向“他人”学习的双重优点，从 而能在较少的迭代次数内找到最优解。 ，xi2 PSO 算法数学表示如下：设搜索空间为 D 维，总粒子数为 n。第 i 个粒子位置表示为向量 Xi=（xi1 ）；第 i 个粒子 “飞行”历史中的过去最优位置（即该位置对应解最优）为 Pi= （pi1 为所有 （i=1，…，n）中的最优；第 i 个粒子的位置变化率（速度）为向 Pi ）。每个粒子的位置按如下公式进行变化： 量 Vi=（vi1 （t）+c1×r1×（pid ），其中第 g 个粒子的过去最优位置 Pg ，…，viD （t+1）=W×vid vid ，…，piD （t）-xid ，…，xiD （t））+ ，pi2 ，vi2 ，c2 （t）） （t）-xid （t+1） c2×r2×（pgd （t）+vid 为正常数，称为学习因子；r1 （1） （2） （t+1）=xid xid 其中，c1 为[0，1]之间的随机 数；W 称为惯性因子。从式（1）和（2）可以看出，粒子的移动方 向由三部分决定：自己原有的速度 vid （t）、与自己最佳经历的距 离（pid （t）），并分 别由权重系数 W，c1 （t））和与群体最佳经历的距离（pgd 决定其相对重要性。 （t）-xid （t）-xid 和 c2 ，r2 和 c2、最大迭 可视为加速 PSO 的性能依赖于权重系数 W、学习因子 c1 ，c2 代次数 T 和粒子群的初始化等参数的设置。c1 度常量：c1 反映了粒子飞行过程中所记忆的最好位置对粒子飞 行速度的影响，称为“认知系数”；c2 反映了整个粒子群所记忆 的最好位置对粒子飞行速度的影响，称为“社会学习系数”。权 重系数 W 使粒子保持运动的惯性，使其有能力探索新的区域， W 较大时，前一速度的影响较大，全局搜索能力比较强；W 较 小时，前一速度的影响较小，局部搜索能力比较强。通过调整动 量系数 W 的大小，可以使粒子群跳出局部极小值，W 通常取值 在 0.1 到 0.9 之间。 4 基于 PSO 的阈值去噪 采用文献[5]提出的 non-negative garrote 阈值函数，该阈值 函数定义如下： 0，|w|≤λPSO G （w）= λ δ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ 2 w- λ w ，|w|>λPSO 式中，w，δ λ G （w）分别为量化前后的小波系数，λPSO （3） 为经 PSO 得到 的分层阈值。由式（3）可知，该阈值函数同软阈值函数一样具有 连续性，比硬阈值函数更加稳定，而且随着|w|的增加，接近于硬 阈值函数，却减小了软阈值函数中估计小波系数与分解小波系 数之间存在的恒定偏差，所以它是软、硬阈值函数之间一个良 好的折中。 利用粒子群优化算法寻找最优分层阈值的具体步骤如下： 步骤 1 初始化 预先设定粒子种群维数（即小波分解层数）、粒子规模（成 员数）、最大迭代次数等参数，并将种群位置和速度随机初始化。 步骤 2 计算目标函数值 该文采用去噪信号的均方误差 MSE 作为目标函数 （适应 度函数），表达式如下：f=1/nΣ（s-s赞）2 ，式中，s 为纯净信号，s赞 为 去噪后的估计信号，n 为信号长度。此处，适应度值 f 越小，表示 分层阈值选得越好。在此步骤中将小波阈值去噪方法与 PSO 联系了起来：把 PSO 中的位置参数 X 作为要寻优的小波阈值， 并采用 non-negative garrote 阈值函数的小波阈值去噪法对含 噪信号进行去噪，即可得估计信号s赞 ，最后由纯净信号 s 和已得 到的估计信号s赞 ，根据目标函数式计算各个粒子的目标函数值。 步骤 3 评价粒子的个体极值 比较粒子以前最优位置对应的目标函数值与当前目标函 数值，如果当前值更小（更好），则将其作为当前的最好位置 Pi 否则，Pi 保持不变。 ； 步骤 4 评价种群的全局极值 对每个粒子，将它的适应值和全局所经历最好位置即全局 保持不变。 作比较，如果较好，则重新设置 Pg ；否则，Pg 最优 Pg 步骤 5 粒子的更新 根据式（1）和式（2）对每个粒子的速度和位置进行更新。 步骤 6 检验是否符合结束条件。 如果当前的迭代次数达到了预先设定的最大次数 （或结果 满足了所需精度），则停止迭代，输出最优解，否则重复步骤 2~5。 通过上述过程就可找到最优分层阈值 λPSO。然后将阈值 应用到小波阈值去噪方法中，用 λPSO 和某种阈值函数对含 λPSO 噪信号的小波分解系数进行阈值量化，再根据处理后的小波系 数进行一维小波重构，即可得去噪信号。 5 仿真实验 采用去噪信号的信噪比（SNR）作为衡量去噪效果的一个 指标，SNR 的计算公式如下： SNR=10 log 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Σs赞（n）2 n Σ（s（n）-s赞（n））2 n 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 式中，s（n）为纯净信号，s赞（n）为去噪信号。 为了说明该文方法的有效性，将文献[8]和文献[9]使用的分 层阈值： λ（j）= σ 2 log（N） 姨 log（j+1） 式中，σ 是噪声方差，N 是信号长度，j 是分解层数。分别与传统 软、硬阈值法以及 garrote 阈值函数法相结合，并在 MATLAB7.0 平台上将其和提出的方法进行了仿真实验。 

124 2009，45（31） Computer Engineering and Applications 计算机工程与应用 表 1 采用不同方法处理四种含噪信号的去噪结果 去噪 性能 MSE SNR blocks λ（j） 硬阈 值法 garrote 阈 值函数 该文 方法 bumps λ（j） 硬阈 值法 garrote 阈 值函数 该文 方法 doppler λ（j） 硬阈 值法 garrote 阈 值函数 该文 方法 quadchirp λ（j） 硬阈 值法 garrote 阈 值函数 软阈 值法 该文 方法 软阈 值法 软阈 值法 软阈 值法 0.442 4 0.393 6 0.405 3 0.278 6 0.246 0 0.198 0 0.217 4 0.187 0 0.244 2 0.224 9 0.224 5 0.195 8 6.480 4 5.224 5 5.809 1 0.760 9 41.329 0 42.587 0 42.231 0 46.048 0 42.242 0 44.502 0 43.488 0 45.032 0 39.473 0 40.429 0 40.348 0 41.751 0 -3.841 9 3.765 0 0.805 1 27.558 0 例 1 分别对信噪比均为 12.25 的含噪信号 blocks，bumps， doppler 和 quadchirp 进行去噪。仿真中，采用的小波函数是 db4 小波基，分解层数为 3 层，取 PSO 的群体个体数目为 25，搜索 空间维数（即分解层数）为 3，最大迭代次数 100，学习因子 c1 ， c2 均为 1.501 2，W 为 0.730 5，仿真结果如表 1 所示。 例 2 对信噪比为 12.334 的三角形+正弦+白噪声信号，即 s（t）= ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ [3.9×（t-1）]+sin（1.7t）+1.5×randn 1≤t＜300 1 300 [3.9×（600-t）]+sin（1.7t）+1.5×randn 300≤t≤60 0 1 300 进行去噪实验。仿真中，采用的小波函数是 db4 小波基，分解层 数为 3 层，取 PSO 的群体个体数目为 15，搜索空间维数（即分 解层数）为 3，最大迭代次数 100，学习因子 c1 均为 1.539 8， W 为 0.892 5，仿真结果如表 2 所示。 ，c2 表 2 采用不同方法处理三角形+正弦+白噪声 信号的去噪结果 去噪 λ（j） 性能 软阈值法 硬阈值法 garrote 阈值函数 MSE SNR 0.753 4 0.810 5 19.64 6 19.130 0 0.752 2 19.66 8 该文方法 0.724 2 20.208 0 从上面两表可以看出，提出的方法无论是在均方误差还是 在信噪比上，都比其他三种方法优越，而且该方法在均方误差 减小的同时使信噪比也得到了提高，从而验证了把均方误差作 为适应度函数的可行性。然而，观察 quadchirp 信号的去噪结果， 由于阈值和阈值函数的选择不当，导致了信号降噪质量的下降。 6 结论 根据 PSO 具有的特性，将其用到小波阈值去噪中，用来寻 找最优分层阈值，并使用 garrote 阈值函数，对含噪信号进行去 噪。经过较多实验和仿真结果表明，该方法有效地提高了去噪 效果，使去噪后的信号更接近原始信号。同时，它比传统阈值方 法更加优越，既克服了硬阈值函数的不连续性，也减小了软阈 值函数存在的恒定偏差。因而，将 PSO 和小波理论相结合，具 有一定的实用价值。 参考文献： [1] Donoho D L.De-noising by Soft-thresholding[J].IEEE Trans on IT， 1995，41（3）：613-627. [2] Donoho D L，Johnstone I M.Adapting to unknown smoothness via wavelet shrinkage[J].Journal of American Stat Assoc，1995，12（90）： 1200-1224. [3] 刘鲁源，韩尧松.模糊小波阈值去噪方法的研究[J].仪器仪表学报， 2004，25（4）：813-814. [4] 张荣祥.基于遗传算法的双阈值小波去噪方法研究[J].传感器与微 系统，2007，26（6）：20-25. [5] GAO Hong-Ye.Wavelet shrinkage denoising using the non-negative garrote[J].Journal of Computational and Graphical Statistics，1998， 7：469-488. [6] 吕振肃，侯志荣.自适应变异的粒子群优化算法[J].电子学报，2004， 32（3）：416-420. [7] 韩江洪，李正荣，魏振春.一种自适应粒子群优化算法及其仿真研 究[J].系统仿真学报，2006，18（10）：2969-2971. [8] 张维强，宋国乡.基于一种新的阈值函数的小波域信号去噪[J].西安 电子科技大学学报，2004，31（2）：296-299. [9] 杨慧中，钟豪.基于多重小波变换的信号去噪及其在软测量中的应 用[J].仪器仪表学报，2007，28（7）：1245-1249. （上接 117 页） 信息更能搜索到最小或次优约简。 步骤 1 由覆盖算法得 U/RC={{1，5，9，10}，{2}，{3，7，8}，{4}， {6}} 计算 H（RC|C）=0.415 9 步骤 2 CORED （C）={f} 步骤 3 H（RC|f∪{a}）=0.554 5，H（RC|f∪{b}）=0.666 1 H（RC|f∪{c}）=0.606 8，H（RC|f∪{e}）=0.797 8 把{a}选入计算 H（RC|f∪{a}∪{b}）=0.468 2，H（RC|f∪{a}∪{c}）= 0.468 2，H（RC|f∪{a}∪{e}）=0.415 9=H（RC|C）约简为{a，e，f}。 6 结束语 用覆盖算法对论域进行划分，在次划分的基础上定义新的 条件信息熵和属性重要性，证明了一致决策表下属性约简在信 息熵表示和代数表示是等价的，但是，对不一致决策表是不等 价的。同时分析了新的属性重要性和代数观点下属性重要性的 联系和差别，理论分析和实例表明，以新的属性重要性为启发 参考文献： [1] Pawlak Z，Grzymala B J，Slowinski R，et al.Rough Sets[J].Communi－ cation of the ACM，1995，38（11）：89-95. [2] Pawlak Z.Rough sets：Theoretical aspects of reasoning about data[M]． Dordrecht：Klumer Academic Publishers，1991． [3] 王国胤.Rough 集理论与知识获取[M].西安：西安交通大学出版社， 2001. [4] 王国胤，于洪，杨大春.基于条件信息熵的决策表约简[J]．计算机学 报，2002，25（7）：759-766． [5] 张文修，吴伟志，梁吉业，等.粗糙集理论与方法[M].北京：科学出版 社，2001. [6] Zhang Ling，Zhang Bo.A Geometrical representation of McCulloch- and its applications[J].IEEE Trans on Neural neural model Pitts Networks，1999，10（4）：925-929. 报，2006，28（7）：1322-1326. [7] 张旻，张铃.构造性覆盖算法的知识发现方法研究[J].电子与信息学