Computer Engineering and Applications 计算机工程与应用 2007, 43( 35) 61 混沌时间序列改进的加权一阶局域预测法 孟庆芳, 彭玉华 MENG Qing- fang, PENG Yu- hua 山东大学 信息科学与工程学院, 济南 250100 School of Information Science and Engineering, Shandong University, Ji’nan 250100, China MENG Qing- fang, PENG Yu - hua .Impr oved adding weight fir st or der Computer Engineer ing and Applications, 2007, 43( 35) : 61- 64. local pr ediction method for chaotic time ser ies . Abstr act: Adding weight first order local prediction method is the most usually used method to predict chaotic time series.Based on phase space delay- coordinate reconstruction of a chaotic dynamics system, an improved adding weight first order local predic- tion method is proposed to predict chaotic time series in this paper.Simulation results show that the improved method can effec- tively make multi- step and one- step prediction of chaotic time series and the multi- step prediction performance and one- step prediction accuracy of the improved method are superior to those of the adding weight first order local prediction method. Key wor ds: adding weight first order local prediction method; phase space reconstruction; chaotic time series 摘 要: 加权一阶局域预测法是目前最常用的一种混沌时间序列预测方法。基于延迟坐标相空间重构理论, 提出了混沌时间序列 改进的加权一阶局域预测法。仿真结果表明该方法的多步预测性能与一步预测性能明显好于加权一阶局域预测法的多步预测性 能与一步预测性能。 关键词: 加权一阶局域预测法; 相空间重构; 混沌时间序列 文章编号: 1002- 8331( 2007) 35- 0061- 04 文献标识码: A 中图分类号: TP183 1 引言 速 地 反 映 在 输 出 中, 所 以 混 沌 模 型 更 接 近 现 实 世 界 的 情 况 , 即 混沌现象是自然界和社会中广泛存在的一种不规则运动, 混 沌 理 论 提 供 了 一 种 更 符 合 现 实 世 界 情 况 的 非 线 性 分 析 方 是一种由确定的非线性动力系统生成的复杂行为。随着混沌理 论和应用技术研究的不断深入, 混沌系统的建模和混沌信号的 预测[1- 10]已成为混沌信息处理领域中近几年来的一个重要 研 究 热点, 并 在 信 号 处 理 、通 信 、控 制 、电 力 系 统 、社 会 经 济 、边 坡 位 移、水文、生物医学等领域中有着越来越重要的应用。 近 二 十 年 来, 许 多 预 测 混 沌 时 间 序 列 的 方 法 被 提 出 , 它 们 可被分为两类: 全局预测法、局域预测法[4- 10]。全局预测法 利 用 全部的过去的信息来预测未来值, 用全部已知数据来拟合动力 方程。例如用神经网络建立的全局预测模型, 它通过全部的输 入- 输出对神经网络进行训练。但当加入新的数据时, 预测模型 须重新估计参数, 因此计算量较大。并且全局动力方程难于拟 合。而局域预测法仅利用部分的过去的信息来预测未来值, 局 域动力方程较容易拟合, 且计算量较小。加权一阶局域预测法 [4- 10]是目前最常用的一种混沌时间序列预测方法。本文对 加 权 法 。 相 空 间 重 构 是 用 动 力 系 统 方 法 分 析 非 线 性 时 间 序 列 的 基 础[1- 3]。 为了研究未知系统的动力特性, 人们需要从观测数据重构 原系统相空间。通常混沌系统可用低阶微分方程描述, 假设原 混沌系统的动力方程是由 n 个一阶微分方程组成的方程组, 该 方 程 组 通 过 求 导 和 消 元 可 化 为 一 个 只 含 一 个 变 量 的 n 阶 微 分 方 程, 所 以, 决 定 系 统 长 期 演 化 的 任 一 变 量 的 时 间 序 列 均 包 含 了 系 统 所 有 变 量 长 期 演 化 的 信 息, 因 此, 可 以 通 过 决 定 系 统 长 期演化的任一单变量时间序列来研究系统的混沌行为。 在 Whitney 拓 扑 嵌 入 定 理 的 基 础 上 , Packard 首 次 提 出 了 用延迟坐标重构原系统相空间的方法, Takens 证明了用延迟坐 标重构的动力轨迹相空间与原动力系统保持微分同胚, 即单变 量 时 间 序 列 在 无 限 长 且 无 噪 声 的 情 况 下 , 延 迟 时 间 取 任 意 值 都 能 重 构 原 系 统 相 空 间 , 重 构 的 相 空 间 都 与 原 动 力 系 统 拓 扑 一阶局域预测法进行改进。仿真结果表明改进后方法的预测性 等 价。 能明显好于原方法。 2 相空间重构 混 沌 系 统 对 初 值 敏 感 的 特 性 使 混 沌 系 统 输 入 的 变 化 能 迅 实际上观测数据是有限长的, 且不可避免地被噪声污染, 因此, 由观测数据重构相空间时应选取合适的延迟时间和嵌入 维数。假设已知序列{x( i) , i=1, 2, …, N}, 由延迟坐标相空间 重 构法可得延迟矢量及轨迹矩阵为: 基金项目: 教育部留学回国人员科研启动基金( The Project- sponsored by SRF for ROCS, SEM No.2004.176.4) ; 山 东 省 自 然 科 学 基 金( the Natural Science Foundation of Shandong Province of China under Grant No.2004G01, No.2004ZRC03016) 。 作者简介: 孟庆芳( 1979- ) , 女, 博士研究生, 研究方向: 混沌时序重构、建模、预测及其工程应用。 

62 2007, 43( 35) Computer Engineering and Applications 计算机工程与应用 , …, X N ]= 2+( m- 1) ! x( 2+( m- 1) !) … x( 2+( m- 2) !) … ! 1+( m- 1) X=[X , X x( 1+( m- 1) !) x( 1+( m- 2) !) ! " " " " " " " " " " # … x( 1) … x( 2) x( N) x( N- !) … ( 1) $ % % % % % % % % % % & … x( N-( m- 1) ! ) 其中 m 为嵌入维数, ! 为延迟时间。 3 改进的加权一阶局域预测法 在重构相空间里, 某点与其邻近点有空间相关性。局域预 测法就是根据这种邻近点的空间相关性进行预测的。零阶局域 预测法直接用最后一个延迟矢量 XN 的邻域内的最近几个点的 1 次迭代后的像来拟合延迟矢量 XN+1。一阶局域预测法则通过 拟合延迟矢量 XN 的邻域内的几个邻近点和其 1 次迭代后的像 的线性对应关系来得到对未来值 x( N+1) 的预测值。将邻域内 的 最 近 几 个 点 与 中 心 点 之 间 的 空 间 距 离 作 为 一 个 拟 合 参 数 引 入局域预测过程, 相应地可得到加权零阶局域预测法和加权一 阶局域预测法。加权一阶局域法是目前最常用的一种混沌时间 序列预测方法。 用加权一阶局域法对已知序列进行预测时 , 首先需要知道 延迟矢量 Xn 的邻域内的最近的几个点。根据重构轨迹, 计算延 迟矢量 Xn 与前面的 n- 1 个延迟矢量 Xi( i=1, 2, 3, …, n- 1) 的距离 ( 2) 找 出 q 个 最 近 的 延 迟 矢 量 Xnr( r=1, 2, … , q) 。 并 且 记 Xnr 与 Xn 的距离为 dr, 设 dmin 是 dr 中的最小值, 其中 r=1, 2, …, q, 则基于 距离的延迟矢量 Xnr 的权值为: d( i) =‖Xi- Xn‖2 Pr= exp( - l( dr- dmin) ) i=1(exp( - l( dr- dmin) ) q , r=1, 2, …, q ( 3) 其中 l 为参数, 一般取 l=1。然后对 Xnr 和 Xnr+1 进行一阶局域线 性拟合, 得: Xnr+1=ae+bXnr, r=1, 2, …, q ( 4) 其中 e=( 1, 1, …, 1) T, 为 m×1 阶矩阵。式( 4) 写成向量的形式为: 解方程组( 8) 求得参数 a、b, 然后代入式( 4) , 得X! n+1=a+bXn, 再分 离得到预测值x"( n+1) 。将预测值x"( n+1) 加入原始序列, 再根据 最 后 一 个 延 迟 矢 量 Xn+1 得 到 对 未 来 值 x( n+2) 的 预 测 值 , 依 此 类推, 从而实现多步预测。 加 权 一 阶 局 域 预 测 法 同 时 使 用 延 迟 矢 量 的 所 有 分 量 进 行 一阶拟合, 但是延迟矢量是由第一个分量的时间延迟序列组成 的, 未来值与中心点邻近点的延迟矢量的第一个分量相关性最 强 , 与 其 它 分 量 的 相 关 性 较 弱, 因 此 同 时 使 用 其 它 分 量 进 行 一 阶拟合将降低预测性能。本文提出只用延迟矢量的第一个分量 进行一阶拟合, 改进了加权一阶局域预测方法。本文预测方法 描述如下: 首先在重构相 空 间 里 找 出 延 迟 矢 量 Xn 的 最 近 的 q 个点, 并由式( 3) 计算权值。然后对 Xnr 和 Xnr+1 进行一阶局域线 性拟合, 得: x( nr+1) =a+bx( nr) , r=1, 2, …, q 根据加权最小二乘法, 可得: q r=1(Pr[x( nr+1) - a- bx( nr) ]2=min ( 9) ( 10) 将式( 10) 看成是关于未知数 a、b 的二元函数, 两边求偏导得 到: r=1(Pr[x( nr+1) - a- bx( nr) ]=0 0 r=1(Pr[x( nr+1) - a- bx( nr) ]x( nr) = 化简得到关于未知数 a、b 的方程组: a+b q q r=1(Pr x( nr) = r=1(Pr x( nr+1) q q q q q + - - - - - , - - - - - . + - - - - - , - - - - - . a+bx( n) , 得到预测值x"( n+1) 。 4 仿真结果及讨论 a r=1(Pr x( nr) +b 解 方 程 组( 12) 求 得 参 数 a、b, 然 后 代 入 式( 9) , 得x"( n+1) = r=1(Pr x( nr) x( nr+1 ) r=1(Pr x2( nr) = Xn1+1 Xn2+1 … Xnq+1 ! " " " " " " " " " " # e Xn1 e Xn2 e … e Xnq ! " " " " " " " " " " # = $ % % % % % % % % % % & a )*b $ % % % % % % % % % % & 下 面 就 这 种 改 进 的 加 权 一 阶 局 域 预 测 法 对 混 沌 时 间 序 列 ( 5) 的多步预测性能与一步预测精度进行仿真研究。仿真数据采用 Logistic 模 型 , Henon 映 射 和 Lorenz 模 型 的 x 分 量 生 成 的 混 沌 时间序列。 ( 11) ( 12) ( 13) ( 14) ( 15) 根据加权最小二乘法, 可得: q m- 1 r=1(Pr j=0([x( nr+1- j!) - a- bx( nr- j!) ]2=min ( 6) 将式( 6) 看成是关于未知数 a、b 的二元函数, 两边求偏导得到: r=1(Pr j=0([x( nr+1- j!) - a- bx( nr- j!) ]=0 q m- 1 q m- 1 r=1(Pr 0 j=0([x( nr+1- j!) - a- bx( nr- j!) ]x( nr- j!) = 化简得到关于未知数 a、b 的方程组: q m- 1 q q m- 1 Logistic 模型为: x( n+1) =ax( n) [1- x( n) ] a=4 Henon 映射为: +1- ax2 n a=1.4, b=0.3 =y n =bx n/ x n y n ( 7) Lorenz 模型为: x# ="( y- x) + - - - -- y# =x( R- z) - y , - - - z# =xy- b -- . z a r=1(Pr+b r=1(Pr j=0(x( nr- j!) = r=1(Pr j=0(x( nr+1- j!) q m- 1 q m- 1 a r=1(Pr j=0(x( nr- j!) +b r=1(Pr j=0(x2( nr- j!) = ( 8) q m- 1 r=1(Pr j=0(x( nr+1- j!) x( nr- j! ) 其中 "=16, R=45.92, b=4, 用四阶 Runge- Kutta 算法求解。 获得 13 000 点数据, 取其后 5 000 点 数 据 作 为 仿 真 数 据 {x( i) }。重构相空间时, 对 Logistic 模型和 Henon 映射生成的数 据嵌入维数 取 2 延 迟 时 间 取1, 对 Lorenz 模 型 生 成 的 数 据 嵌 入 维数取3 延迟时间取 8, 邻近点的个数 q 取嵌入维数个。 + - - - - - , - - - - - . + - - - - - - - -- , - - - - - - - -- . 

Computer Engineering and Applications 计算机工程与应用 孟庆芳, 彭玉华: 混沌时间序列改进的加权一阶局域预测法 2007, 43( 35) 63 用原始混沌时间序列前 4 000 个数据作为 训 练 样 本, 对 其 后 的 数 据 进 行 多 步 预 测 , 仿 真 结 果 如 图 1～图 3 所 示 , 在 图 1～ 图 3 中, 为 了 比 较 而 列 出 了 实 际 值, 它 们 没 有 参 与 多 步 预 测 过 程。图中横坐标 n 为预测步数, 纵坐标 x( n) 为实际值( o) , y( n) 为预测值( *) 。 取{x( i) }前 4 000 个点作为训练样本, 对其后 1 000 点混沌 时 间 序 列 进 行 一 步 预 测, 以 预 测 相 对 误 差 作 为 评 测 标 准, 仿 真 结果如表 1 和图 4 所示, 其中预测相对误差 er 定义为: er= N k=1![x"( k) - x( k) ]2 N k=1!x2( k) ( 16) 对 Logistic 模 型 生 成 时 间 序 列 , 从 图 1( a) 、( b) 可 见 , 加 权 一 阶 局 域 预 测 法 的 预 测 误 差 在 6 步 之 内 变 化 平 缓 且 绝 对 值 较 小, 预 测 误 差 从 第 7 步 开 始 急 剧 增 大, 这 说 明 加 权 一 阶 局 域 预 测 法 对 该 时 间 序 列 的 多 步 预 测 在 6 步 之 内 是 有 效 的 ; 从 图 1 ( c) 、( d) 可 见, 预 测 误 差 从 第 19 步 开 始 急 剧 增 大 , 改 进 的 加 权 一阶局域预测法的多步预测在 18 步之内是有效的。从图 2 可 见, 对Henon 映 射 生 成 时 间 序 列 , 加 权 一 阶 局 域 预 测 法 的 多 步 预测在 4 步之内是有效的, 而改进的加权一阶局域预测法的多 步预测在 9 步之内是有效的, 且改进的加权一阶局域预测法的 多步预测误差的绝对值明显小于加权一阶局域预测法。从图 3 可见, 对 Lorenz 模型 生 成 时 间 序 列, 加 权 一 阶 局 域 预 测 法 的 多 步预测仅在 5 步之内有效; 而改进的加权一阶局域预测法的多 步预测误差从第 81 步开始急剧增大, 其多步预测在 80 步之内 有效。所以改进的加权一阶局域预测法的多步预测性能明显好 于加权一阶局域预测法的多步预测性能。 从图 4 与表 1 可见, 改进的加权一阶局域法与加权一阶局 域法都能够有效地一步预测混沌时间序列, 一步预测精度高, 并 且 改 进 的 加 权 一 阶 局 域 法 的 一 步 预 测 相 对 误 差 明 显 小 于 加 权一阶局域预测法。所以改进的加权一阶局域法的一步预测性 能明显好于加权一阶局域法的一步预测性能。 表 1 对混沌模型生成时间序列的一步预测相对误差 混沌模型 Logistic Henon Lorenz 加权一阶局域法 改进的加权一阶局域法 1.129 5×10- 6 1.091 2×10- 4 0.002 9 7.899 1×10- 12 6.203 5×10- 5 3.903 1×10- 4 5 结论 加 权 一 阶 局 域 预 测 法 同 时 使 用 延 迟 矢 量 的 所 有 分 量 进 行 

64 2007, 43( 35) Computer Engineering and Applications 计算机工程与应用 一阶拟合, 这将降低预测性能。因此, 本文提出只用延迟矢量的 第一个分量进行一阶拟合, 改进了加权一阶局域预测法。数值 仿真结果表明: 改进的加权一阶局域预测法的多步预测性能与 一 步 预 测 性 能 明 显 好 于 加 权 一 阶 局 域 预 测 法 的 多 步 预 测 性 能 与 一 步 预 测 性 能, 且 改 进 的 加 权 一 阶 局 域 预 测 法 的 运 算 更 简 单。( 收稿日期: 2007 年 4 月) 参考文献: [1] Kantz H , Schreiber T.Nonlinear time series analysis[M].2nd ed. Cambridge: Cambridge University Press, 2003. [2] Takens F.Detecting strange attractors in turbulence [M]//Lecture Notes in Mathematics 898: Dynamical Systems and Turbulence. Berlin: Springer, 1981: 366- 381. [3] 孟 庆 芳 , 张 强 , 潘 金 凤.四 阶 累 积 量 用 于 最 小 嵌 入 维 数 估 计 的 新 方 法[J].系统工程理论与实践, 2005, 25( 9) : 83- 88. [4] 吕金虎, 张锁春.加权一阶局域 法 在 电 力 系 统 短 期 负 荷 预 测 中 的 应 用[J].控制理论与应用, 2002, 19( 5) : 767- 768. [5] 吕 金 虎, 陆 金 安, 陈 士 华.混 沌 时 间 序 列 分 析 及 其 应 用[M].武 汉 : 武 汉大学出版社, 2002: 102- 104. [6] 刘 华 明, 齐 欢, 蔡 志 强.滑 坡 预 测 的 非 线 性 混 沌 模 型[J].岩 石 力 学 与 工程学报, 2003, 22( 3) : 435. [7] 李圣清, 周有庆, 朱英浩, 等.基于 加 权 一 阶 局 域 理 论 的 综 合 电 力 滤 波器谐波电流预测方法[J].中国电机工程学报, 2004, 24( 6) : 20- 21. [8] 董 超 俊, 刘 智 勇, 邱 祖 廉.基 于 混 沌 理 论 的 交 通 量 实 时 预 测[J].信 息 与控制, 2004, 33( 5) : 519- 520. [9] 相 征 , 张 太 镒 , 孙 建 成.基 于 平 稳 小 波 和 相 空 间 重 构 的 激 光 混 沌 预 测[J].光子学报, 2005, 34( 11) : 1757. [10] 相征, 张太镒, 孙建成.基于混沌吸引子的快衰落信道预测算法[J]. 西安电子科技大学学报: 自然科学版, 2006, 33( 2) : 147. ( 上接 45 页) 结论 2 该方法还可以定量地反映如基于 频 域 、 混 沌 序 列 和 Gray 码变换等非置乱加密方式的置乱程度。图 7 分别是利 用抽样加密 3 次、Arnold 变换对小 波 变 换 后 的 低 频 部 分 置 乱 3 次, 以及利用混沌序列和广义 Gray 码变换进行加密后得到的 结果。 结论 3 当加密次数 N 满足: Sr( N) =min( Sr) 置乱程度的关系, 能够帮助人们判断为了达到最好的隐藏效果 对一幅图像应该加密( 置乱) 到什么程度。但不同的图像利用同 一变换加密得到的结果却不同, 这说明这里提出衡量方法还不 够完美, 因此研究一种更完美的衡量图像置乱程度的方法仍是 今后要解决的一个重要问题。( 收稿日期: 2007 年 8 月) 参考文献: [1] Pfitzmann B.Information hiding terminology [J].Lecture Notes in Computer Science, 1996, 1174. [2] 邹建成, 铁小匀.数字图像的二维 Arnold 变换及其周期性[J].北方工 业大学学报, 2000, 12( 1) : 10- 14. [3] 李 国 富.基 于 正 交 拉 丁 方 的 数 字 图 像 置 乱 方 法[J].北 方 工 业 大 学 学 报, 2001, 13( 1) : 14- 16. [4] 柏 森, 曹 长 修, 柏 林.基 于 仿 射 变 换 的 数 字 图 像 置 乱 技 术[J].计 算 机 工程与应用, 2002, 38( 10) : 74- 78. [5] 齐东旭.分形及其计算机生成[M].北京: 科学出版社, 1994. [6] 柏森, 曹长修, 曹龙汉, 等.基于骑 士 巡 游 变 换 的 数 字 图 像 细 节 隐 藏 技术[J].中国图象图形学报, 2001, 11( 6) : 1096- 1099. [7] 邹 建 成, 李 国 富, 齐 东 旭.广 义 Gray 码 及 其 在 数 字 图 像 置 乱 中 的 应 用[J].高校应用数学学报 A 辑, 2002, 17( 3) : 363- 373. [8] 易 开 祥, 孙 鑫, 石 教 英.一 种 基 于 混 沌 序 列 的 图 像 加 密 算 法[J].计 算 机辅助设计与图形学学报, 2000, 12( 9) : 672- 676. 时, 图像的纹理性最不明显, 从而达到最佳置乱程度, 此时图像的安全 [9] 柏 森, 曹 长 修.图 像 置 乱 程 度 研 究[C]//全 国 第 二 界 信 息 隐 藏 学 术 研 性最高。 5 结束语 讨会论文集, 北京, 2000. [10] 侯启槟, 周晓旭.基于骑士巡游的图像像素置乱算法[C]//中国科学 该 方 法 能 很 好 地 反 映 各 种 方 法 的 置 乱 程 度 及 加 密 次 数 与 院自动化与信息技术学术年会, 北京, 2003.