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2005年湖南高考理科数学真题及答案.doc
2005 年湖南高考理科数学真题及答案
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择）题两部分，满分 150 分.考试用时 120 分钟.
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共 10 小，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1．复数 z＝i＋i2＋i3＋i4 的值是
A．－1
B．0
C．1
D．i
2．函数 f(x)＝
x21 的定义域是
（
）
（
）
A． ( －∞，0]
B．[0，＋∞ )
C．（－∞，0）
D．（－∞，＋∞）
3．已知数列{log2(an－1)}（n∈N*）为等差数列，且 a1＝3，a2＝5，则
lim
n
(
1
a
1
1
a
2
a
3
a
2
1
=
a
n
a
n
1
A．2
B．
3
2
4、已知点 P（x，y）在不等式组
C．1
x
y
x
,0
2
,01
2
2
y
0
（
）
D．
1
2
表示的平面区域内，则 z＝x－y 的取值
范围是
A、[－2，－1]
（
）
B、[－2，1]
C、[－1，2]
D、[1，2]
5、如图，正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 1，O 是底面
A1B1C1D1 的中心，则 O 到平面 AB C1D1 的距离为 （ ）
A、
1
2
B、
2
4
C、
2
2
D、
3
2
D1
O
D
B1
B
A1
A
C1
C
6．设 f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则 f2005(x)
＝（ ）
A．sinx
B．－sinx
C．cosx
D．－cosx
7．已知双曲线
2
2
x
a
－
2
2
y
b
＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为 F，右准线与一条渐近线交于点 A，
△OAF 的面积为
2a
2
（O 为原点），则两条渐近线的夹角为
（
）
A．30º
B．45º
C．60º
D．90º
8．集合 A＝｛x|
件，
x ＜0＝，B＝｛x|| x-b|＜a} ，若“a＝1”是“A∩B≠”的充分条
x
1
1
则 b 的取值范围是
（
）
A．－2≤b＜0
B．0＜b≤2
C．－3＜b＜－1
D．－1≤b＜2
9．4 位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲．乙两道题中任选一
题作答，选甲题答对得 100 分，答错得－100 分；选乙题答对得 90 分，答错得－90 分.
若 4 位同学的总分为 0，则这 4 位同学不同得分情况的种数是
（
）
A．48
B．36
C．24
D．18
10．设 P 是△ABC 内任意一点，S△ABC 表示△ABC 的面积，λ1＝
S
PBC
， λ2＝
S
ABc
S
S
PCA
，
ABC
λ3＝
S
S
PAB
，定义 f(P)=(λ1, λ, λ3),若 G 是△ABC 的重心，f(Q)＝（
ABC
则
A．点 Q 在△GAB 内
C．点 Q 在△GCA 内
B．点 Q 在△GBC 内
D．点 Q 与点 G 重合
第Ⅱ卷（非选择题）
1
2
，
1
3
，
1
6
），
（
）
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分（第 15 小题每空 2 分），共 20 分，把答案填在
答题卡中对应题号后的横线上.
11．一工厂生产了某种产品 16800 件，它们来自甲．乙．丙 3 条生产线，为检查这批产品的
质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，已知甲．乙．丙三条生产线抽取的个体数组
成一个等差数列，则乙生产线生产了
件产品.
12．在（1＋x）＋（1＋x）2＋……＋（1＋x）6 的展开式中，x2 项的系数是
.（用
数字作答）
13．已知直线 ax＋by＋c＝0 与圆 O：x2＋y2＝1 相交于 A、B 两点，且|AB|＝ 3 ，则
OA
OB
＝
.
14．设函数 f(x)的图象关于点（1，2）对称，且存在反函数 f－1(x)，f (4)＝0，则 f－1(4)
＝
.
15．设函数 f(x)的图象与直线 x=a，x=b 及 x轴所围成图形的面积称为函数 f(x)在[a，b]
上的面积，已知函数 y＝sinnx在[0，
n
]上的面积为
2（n∈N*），（i）y＝sin3x 在[0,
n
2
3
]
上的面积为
；（ii）y＝sin（3x－π）＋1 在[
3
，
4
3
]上的面积为
.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16．（本小题满分 12 分）
已知在△ABC 中，sinA（sinB＋cosB）－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角 A、B、C 的
大小.
17、（本题满分 12 分）
如图 1，已知 ABCD 是上、下底边长分别为 2 和 6，高为 3 的等腰梯形，将它沿对称轴
OO1 折成直二面角，如图 2。
（Ⅰ）证明：AC⊥BO1；
（Ⅱ）求二面角 O－AC－O1 的大小。
D
O1
C
A
O
B
O1
C
O
B
D
A
18．（本小题满分 14 分）
某城市有甲、乙、丙 3 个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是 0.4，0.5，
0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有
游览的景点数之差的绝对值.
（Ⅰ）求ξ的分布及数学期望；
（Ⅱ）记“函数 f(x)＝x2－3ξx＋1 在区间[2，＋∞ ) 上单调递增”为事件 A，求事件
A 的概率.
19．（本小题满分 14 分）
已知椭圆 C：
2
2
x
a
＋
2
2
y
b
＝1（a＞b＞0）的左．右焦点为 F1、F2，离心率为 e. 直线
l：y＝ex＋a与 x轴．y 轴分别交于点 A、B，M 是直线 l与椭圆 C 的一个公共点，P 是点 F1
关于直线 l的对称点，设 AM ＝λ AB .
（Ⅰ）证明：λ＝1－e2；
（Ⅱ）确定λ的值，使得△PF1F2 是等腰三角形.
20．（本小题满分 14 分）
自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能
力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用 xn 表示某鱼群在第 n 年年初的总量，n∈N*，且 x1＞0.
2 成正比，
不考虑其它因素，设在第 n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与 xn 成正比，死亡量与 xn
这些比例系数依次为正常数 a，b，c.
（Ⅰ）求 xn+1 与 xn 的关系式；
（Ⅱ）猜测：当且仅当 x1，a，b，c 满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？
（不
要求证明）
（Ⅱ）设 a＝2，b＝1，为保证对任意 x1∈（0,2），都有 xn＞0，n∈N*，则捕捞强度 b 的
最大允许值是多少？证明你的结论.
21．（本小题满分 14 分）
已知函数 f(x)＝lnx，g(x)＝
1 ax2＋bx，a≠0.
2
（Ⅰ）若 b＝2，且 h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求 a的取值范围；
（Ⅱ）设函数 f(x)的图象 C1 与函数 g(x)图象 C2 交于点 P、Q，过线段 PQ 的中点作 x轴的
垂线分别交 C1，C2 于点 M、N，证明 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线不平行.
参考答案
一、选择题：1—5：BACCB
二、填空题：
6—10： CDDBA
11．5600
12．35
13．
三、解答题：
1
2
14．－2
15．
4 ，
3
2
3
16．解法一 由
sin
(sin
A
B
cos
B
)
sin
C
0
得
sin
所以
即
sin
A
sin
B
sin
B
sin
B
A
cos
sin
A
sin
A
)
cos
A
B
cos
.0
A
(sin
B
sin(
sin
)
BA
cos
A
.0
B
cos
A
sin
B
.0
因为
,0( B
),
所以
由
,0( A
),
知
A
由
sin
B
cos
2
C
0
得
sin
B
cos
B
)
.0
即
sin
B
2sin
B
.0
亦即
sin
B
cos
B
.0
sin B ，从而
0
A
sin
.
A
.
4
从而
CB
.
cos
3
4
3(2
4
sin2
B
由此得
cos
B
所以
A
B
,
C
,
1
2
cos
,
C
3
0
得
B
2
C
5
.
12
B
,
4
2
C
解法二：由
sin
B
cos
sin(
2
C
由 B0
、 c
，所以
B
2
BC
或
2
C
5
.
12
).
3
3
2
.
2
sin
3
2
.
2
C
2
C
3
2
B
sin
B
A
(sin
A
(sin
A
sin
B
即
B
由
sin
所以
即
sin
或
2
BC
)
cos
B
sin
A
)
cos
A
sin
cos
.0
O1
C
O
B
y
0
sin
sin
cos
得
A
B
A
B
sin
sin
B
cos
B
sin
sin
A
0
A
B
cos
.0
cos
，所以
A
sin
.
A
B
sin(
BA
)
.0
因为
3
4
5
.
12
.
4
A
1
2
B
3
,
C
由
A
,0(
),
知
从而
CB
，知 B+2C=
再由
2
BC
，得
所以
A
17．解法一（I）证明 由题设知 OA⊥OO1，OB⊥OO1.
所以∠AOB 是所折成的直二面角的平面角，
即 OA⊥OB. 故可以 O 为原点，OA、OB、OO1
所在直线分别为 x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
如图 3，则相关各点的坐标是 A（3，0，0），
D
3
2
4
,
不合要求.
B
3
,
C
5
.
12
z
B（0，3，0），C（0，1， 3 ）
O1（0，0， 3 ）.
x
A
图 3
从而
AC
),3,1,3(
BO
1
),3,3,0(
AC
BO
1
3
3
3
.0
所以 AC⊥BO1.
（II）解：因为
BO
1
OC
3
3
3
,0
所以 BO1⊥OC，
由（I）AC⊥BO1，所以 BO1⊥平面 OAC， 1BO 是平面 OAC 的一个法向量.
设
n
),
,(
zyx
是 0 平面 O1AC 的一个法向量，
由
ACn
COn
1
0
0
y
y
3
x
.0
3
z
,0
z
取
,3
得
)3,0,1(n
.
设二面角 O—AC—O1 的大小为，由 n 、 1BO 的方向可知 n ， 1BO >，
所以 cos
cos
n ， 1BO >=
BOn
1
|
n
BO
1
|
|
|
3
4
.
O1
C
O
B
D
A
即二面角 O—AC—O1 的大小是
arccos
3
4
.
解法二（I）证明 由题设知 OA⊥OO1，OB⊥OO1，
所以∠AOB 是所折成的直二面角的平面角，
即 OA⊥OB. 从而 AO⊥平面 OBCO1，
OC 是 AC 在面 OBCO1 内的射影.
1
tan
因为
BOO
OB
OO
1
CO
1
OO
1
所以∠OO1B=60°，∠O1OC=30°，从而 OC⊥BO1
由三垂线定理得 AC⊥BO1.
OCO
1
tan
3
图 4
，
3
3
（II）解 由（I）AC⊥BO1，OC⊥BO1，知 BO1⊥平面 AOC.
设 OC∩O1B=E，过点 E 作 EF⊥AC 于 F，连结 O1F（如图 4），则 EF 是 O1F 在平面 AOC
内的射影，由三垂线定理得 O1F⊥AC.
所以∠O1FE 是二面角 O—AC—O1 的平面角.
由题设知 OA=3，OO1= 3 ，O1C=1，
所以
AO
1
2
OA
2
OO
1
,32
AC
2
COAO
2
13
，
1
1
从而
COAOFO
1
1
1
AC
32
13
， 又 O1E=OO1·sin30°=
3
2
，
所以
sin
FEO
1
EO
1
FO
1
13
4
.
即二面角 O—AC—O1 的大小是
arcsin
3
4
.
18．解：（I）分别记“客人游览甲景点”，“客人游览乙景点”，“客人游览丙景点”
为事件 A1，A2，A3. 由已知 A1，A2，A3 相互独立，P（A1）=0.4，P（A2）=0.5，
P（A3）=0.6.
客人游览的景点数的可能取值为 0，1，2，3. 相应地，客人没有游览的景点数的可能
取
值为 3，2，1，0，所以的可能取值为 1，3.
P（=3）=P（A1·A2·A3）+ P（
AAA
1
3
2
）
= P（A1）P（A2）P（A3）+P（
=2×0.4×0.5×0.6=0.24，
APAPA
1
3
(
)
(
)
2
)
）
P（=1）=1－0.24=0.76.
所以的分布列为
E=1×0.76+3×0.24=1.48.
P
1
3
0.76
0.24
（Ⅱ）解法一 因为
)(
xf
所以函数
)(
xf
2
x
2
(
x
)
3
2
1
91
4
3[
3
,
x
在区间
2
要使
)(
)
在xf
,2[
上单调递增，当且仅当
从而
(
)
AP
P
(
4
3
)
P
(
)1
.76.0
解法二：的可能取值为 1，3.
2
,
)
上单调递增，
3
2
即
,2
4
3
.
当=1 时，函数
)(
xf
2
x
3
x
1
在区间
,2[
)
上单调递增，
当=3 时，函数
)(
xf
2
x
9
x
1
在区间
,2[
)
上不单调递增.0
所以
(
)
AP
P
(
)1
.76.0
19．（Ⅰ）证法一：因为 A、B 分别是直线 l：
与 x轴、y 轴的交点，所以 A、B 的
坐标分别是
(
a
e
,0(),0,
a
).
由
y
x
a
2
2
ex
2
y
b
2
y
,
a
得
,1
ex
x
a
c
2
b
c
y
,
这里
.
c
2
a
2
b
.
所以点 M 的坐标是（
2
bc
,
a
）.
由
AM
AB
得
(
c
a
e
,
2
b
a
)
(
a
e
,
a
).
即
a
e
b
a
2
c
a
e
a
解得
1 e
2
证法二：因为 A、B 分别是直线 l：
与 x轴、y 轴的交点，所以 A、B 的坐标
分别是
(
a
e
,0(),0,
a
).
设 M 的坐标是
AM
AB
得
(
x
0
a
e
,
y
0
)
(
a
e
,
a
),
y
(
x
0
ex
,
y
a
),
由
0
a
e
所以
)1
(
a
e
.
a
因为点 M 在椭圆上，所以
2
0
2
x
a
2
0
2
y
b
,1
x
0
y
0
(
2
)]1
[
即
2
a
1(2
4
e
)
e
2
(
)
a
2
b
1(
2
,1
所以
1(
2
)
2
e
2
)
,0
解得
2
e
2
.1
2
1
e
1
即
1
e
2
.
（Ⅱ）解法一：因为 PF1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1 为钝角，要使△PF1F2 为等腰三角
形，必有|PF1|=|F1F2|，即
1
2
|
|
PF
1
.
c
设点 F1 到 l的距离为 d，由
1
2
|
PF
1
|
d
(|
e
0)
c
2
1
e
a
|
|
|
a
1
ec
2
e
,
c
所以
2
e
1
3
,
于是
1
e
2
2
3
.
得
.
e
2
2
1
e
1
e
2 时
,
3
即当
△PF1F2 为等腰三角形.
解法二：因为 PF1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1 为钝角，要使△PF1F2 为等腰三角形，必
有|PF1|=|F1F2|，
设点 P 的坐标是
(
x
,
0 y
0
)
，
则
0
c
0
y
x
y
0
0
0
2
1
e
x
0
e
c
2
.
a
解得
x
0
y
0
2
,
c
3
e
2
1
e
2
1(2
)
ae
2
1
e
.
由|PF1|=|F1F2|得
([
2
e
e
2
c
)3
1
2
c
]
1(2[
e
2
2
)
ae
1
2
]
2
,4
c
两边同时除以 4a2，化简得
(
2
e
e
2
2
2
.
e
从而
2 e
)1
1
2 时，△PF1F2 为等腰三角形.
1
3
.
于是
11
e
2
2
3
.
即当
3
20．解（I）从第 n 年初到第 n+1 年初，鱼群的繁殖量为 axn，被捕捞量为 bxn，死亡量为
2
cx
n
x
即
,
n
x
x
ax
因此
n
n
1
bax
n
1
(
1
n
cx
n
2
cx
bx
n
n
),
*
Nn
,
Nn
.(**)
*
.(*)
（II）若每年年初鱼群总量保持不变，则 xn恒等于 x1， n∈N*，从而由（*）式得
bax
n
(
cx
n
)
恒等于
,0
Nn
*,
所以
ba
cx
1
.0
即
x
1
ba
c
.
因为 x1>0，所以 a>b.
猜测：当且仅当 a>b，且
x
1
ba
c
（Ⅲ）若 b 的值使得 xn>0，n∈N*
时，每年年初鱼群的总量保持不变.
由 xn+1=xn(3－b－xn), n∈N*, 知
0
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