2009 数学建模C题参考答案.doc-资料库

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数学实验与建模卫星和飞船的跟踪测控

卫星和飞船的跟踪测控问题 1 背景一问题重述卫星和飞船在国民经济和国防建设中有着重要的作用，对它们的发射和运行过程进行测控是航天系统的一个重要组成部分，理想的状况是对卫星和飞船（特别是载人飞船）进行全程跟踪测控。 2 问题条件测控设备只能观测到所在点切平面以上的空域，且在与地平面夹角 3 的范围内测控效果不好，实际上每个测控站的测控范围只考虑与地平面夹角 3 以上的空域。在一个卫星或飞船的发射与运行过程中，往往有多个测控站联合完成测控任务。 3 问题 1. 在所有测控站都与卫星或飞船的运行轨道共面的情况下至少应该建立多少个测控站才能对其进行全程跟踪测控？ 2.如果一个卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面有固定的夹角，且在离地面高度为 H 的球面 S 上运行。考虑到地球自转时该卫星或飞船在运行过程中相继两圈的经度有一些差异，问至少应该建立多少个测控站才能对该卫星或飞船可能飞行的区域全部覆盖以达到全程跟踪测控的目的？二模型假设假设地球为标准的球体；且地球自转时为刚体运动；卫星的环绕运动以地心为中心点的圆；假设在地球表面各地都有建立监控站的条件，忽略地理因素，及经济政治影响。三参数设置及符号说明 R ：地球半径； h ：运行轨道距离地球表面的距离； ：观测站所能观测到得最大倾角的一半，=87°； 1

：卫星运行轨道与赤道平面之间的夹角；四模型的建立及求解一、忽略地球自转，共面条件下建立的监控站点个数求解首先根据题目要求，假设所有测控站建在地球赤道，且都与卫星或飞船的运行轨道共面的情况下，假设卫星环绕地球且与赤道平面共面做圆周运动，做切面图，如下所示，内圆表示地球，外圆表示运行轨道。图形 1.1 B γ β O α C A 由图可知： OA  R h ;  OC  ;R 如图 1.1，假设 C 点为观测站所在的位置，那么  87  。且 ;   故有即 sin  R  sin( )   hR  sin( )   R  sin  hR  2

   arcsin( sin R  ) hR     arcsin( sin R  ) hR  由于监测站检测的位置要覆盖整个卫星的运行轨道，故有 N 2 2  所以，至少要设立监测站的数目 N  [   1]  个。二、考虑地球自转，卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面有固定的夹角测控站求解。假设卫星在离地面高度为 h 的球面 S 上运行。此时该卫星或飞船在运行过程中相继两圈的经度有一些差异，根据运动的相对性，卫星运行所覆盖的区域极 S 为球面上去掉两端球盖的一个环带形区域。 1）首先考虑运行轨道与赤道夹角小于监控站的观测角的情况：通过分析可知，此时，监测站建在赤道上，只要个数足够多，就能满足全程检测要求。图 2.1： 'O O A B D E C 3

)1( 我们从上图中摘出一部分：如图 2.2 所示图 2.2 'O 1 O A B OA ，而角 1 为卫星运行轨道与赤道平面之间的夹由题目条件知，角时，当运行轨道确定时，的值是确定的，因此可以作为已知条件。由几何三角知识可知，满足下列条件： hR OB    ' AO  ( hR  ) cos  1 ； ' OO  ( hR 1 sin)  ； (2)从图 2.3 中我们可以发现更多的几何规律： OC  OE  hR  OH 1 OH  2 IH  0 OO ' 从 )1( 中可以求出；而从第一问中，我们可以根据观测站的最大检测角度求出的值，在这里 D 为监测站的位置，所以； OI  ( hR  ) cos  1 再由勾股定理得 ( OH 2 ) 0  ( IH 0 2 )  ( OB ) 2 ；在此应用勾股定理 ( HH 1 0 2 )  ( hR  ) 2  ( OH 2 ) 0 ；图 2.3 2H 0H E I 1H C  D O (3)现在，沿着 OO ' 的方向观察图 2.1 得到截面图如下图 2.4 4

 O 2H A 0H 1H 显然， OH 1 OA ,这在 )1( 中已经求出，现在，我们只需求出角，便可以将问题回溯到 HH 0 OH 1 1  arcsin HH 0 OA 1 第一问的模型上；由简单的三角知识得：  arcsin 故，所需的监测站至少为 N   [  1]  图 2.5 （上图表示我们在卫星或飞船运行轨迹与赤道夹角较小时采用的轨迹覆盖方案。） 2）、当运行平面与赤道平面夹角超出观测角，此时简单的将监测站并列排列在赤道上不再能再满足全程观测要求，我们采用第二种覆盖方案，如图 2.6： 5

图 2.6 P T Q S 正如平面图所示的轨迹覆盖方案，我们将在赤道的两侧建立相等数量的检测站，并尽量使检测的范围覆盖所有卫星或者飞船所能够到达的上空。如图，在 )1 的基础上，我们只需求出 PT 就可以确定最少需要用多少检测站了，而我们发现，当角时，此时，监测站的检测范围最大。故有   PQT  60 QS  ;R ST 3 2 R ； ( PT ) 2  2 R  ( ST  R 2 ;) 1 0HH ，而 ST 就相当于 )1 中的 0 而这里的 PT 就相当于 )1 中的 IH ；故可以将求解出的 PT 代入 )1 的公式中进行下一步的求解；此时由于检测站的位置发生了变化，故卫星能够达到的相对地心的高度也改变了；但我们事先知道卫星运行轨迹与赤道之间的夹角，故可以将 )1 中的算式做相应的调整：（其中 0 为已知的轨迹与赤道夹角）；又因为此时我们是在赤道的两侧建立检测站，故至少需要检测站的个数 hR 0 sin) IH   ( N '  。 N 2 1 、)3( 当第二种情况下仍无法完全覆盖卫星运行的轨迹时，我们认为应采用如下方案，如图 2.7：即在赤道上建立一定数量的检测站，并在赤道两侧建立相等数量的检测站。图 2.7 6

)1( 在赤道上，显然应建立 N  [ 1  3 R 0 hR  ) (2 arcsin 1]  ；其中 R  0 h tan ；为监测站所能检测的最大角度的一半。 )2( 考虑赤道两侧的监测站的个数，由于对称，只考虑一侧：首先，我们将上图简化如下：图 2.9 g c e a b f d 为了尽量用最少的监测站检测尽量广的范围，我们在延展时发现只有当赤道上检测站的检测范围与其他地方的检测站的检测范围的交点组成一个规则的六边形时，所能检测的范围最大。于是， ab  2 ce  2 df  R 0 ；其中 R  0 h tan ；为监测站所能检测的最大角度的一半。由于监测站的检测范围不变，故在卫星与赤道平面最远的点组成的圆上的有效检测长度不变，于是在赤道一侧需要最少的监测站个数： N 2  [  arcsin 0 3 R 2 r 1]  ； r  ( hR  sin) ；其中，为已知的卫星运行轨道与赤道平面之间的夹角。 )3( 、综上所述，在这种覆盖方案下，我们需要建立的监测站最少个数为： NN  0  2N 1 7

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