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2016全国Ⅲ卷高考文科数学真题及答案.doc
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2016 全国Ⅲ卷高考文科数学真题及答案
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至 3 页，第Ⅱ卷 3 至 5 页.
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一. 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）设集合 {0,2,4,6,8,10},
A
B
{4,8}
，则 ABð
=
（A）{4 8}，
（B）{0 2 6}，，
（C）{0 2 6 10}，，，
（D）{0 2 4 6 810}
，，，，，
（2）若 4 3i
z ，则
z
z
|
|
=
（A）1
（B） 1
（C）
4 3+ i
5 5
4
5
3i
5
（D）
（3）已知向量 BA
=（
1
2
，
3
2
）， BC
=（
3
2
，
1
2
），则∠ABC=
（A）30°（B）45°
（C）60°（D）120°
（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷
达图.图中 A 点表示十月的平均最高气温约为 15℃，B 点表示四月的平均最低气温约为 5℃.下面叙述
不正确的是
（A）各月的平均最低气温都在 0℃以上
（B）七月的平均温差比一月的平均温差大
（C）三月和十一月的平均最高气温基本相同
（D）平均最高气温高于 20℃的月份有 5 个
（5）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是 M，I,N 中的一个字母，第二位是
1,2,3,4,5 中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是
8
15 （B）
1
8 （C）
1
15 （D）
1
30
（A）
（6）若 tanθ=
1
3 ，则 cos2θ=
4
5
（A）
（7）已知
a
(A)b
为 C上一点，且 PF⊥x轴.过点 A的直线 l与线段 PF交于点 M，与 y轴交于点 E.若直线 BM经过 OE的中点，
则 C的离心率为
（A）
1
3
（B）
1
2
（C）
2
3
（D）
3
4
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)
题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分
第 II卷
（13）设 x，y满足约束条件
2
x
x
x
1 0,
y
2
1 0,
y
1,
则 z=2x+3y–5 的最小值为______.
（14）函数 y=sin x–cosx的图像可由函数 y=2sin x的图像至少向右平移______个单位长度得到.
（15）已知直线 l：
x
3
y
6 0
与圆 x2+y2=12 交于 A、B 两点，过 A、B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 C、
D 两点，则|CD|=
.
（16）已知 f(x)为偶函数，当 0
x 时，
( )
f x
e
1
x
，则曲线 y= f(x)在点(1,2)处的切线方程式
x
_____________________________.
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分 12 分）
已知各项都为正数的数列 na 满足 1 1
a ， 2
a
n
(2
a
n
1
1)
a
n
2
a
n
1
0
.
（I）求 2
,a a ；
3
（II）求 na 的通项公式.
（18）（本小题满分 12 分）
下图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.
注：年份代码 1–7 分别对应年份 2008–2014.
（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系，请用相关系数加以说明；
（Ⅱ）建立 y 关于 t 的回归方程（系数精确到 0.01），预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量.
附注：
参考数据：
7
y
i
i
1
9.32
，
7
t y
i
i
i
1
40.17
，
7
i
1
(
y
i
2
y
)
0.55
，≈2.646.
n
i
1
(
t
i
t
)(
y
i
y
)
n
(
t
i
t
2
)
n
i
1
，
(y
i
2
y)
参考公式：
r
回归方程 y
1
i
a bt
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
n
i
1
b
(
t
i
t
)(
y
i
y
)
n
i
1
(
t
i
t
2
)
， =
a y bt
.
（19）（本小题满分 12 分）
如图，四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥地面 ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M 为线段 AD 上一点，AM=2MD，
N 为 PC 的中点.
（I）证明 MN∥平面 PAB;
（II）求四面体 N-BCM 的体积.
（20）（本小题满分 12 分）
已知抛物线 C：y2=2x的焦点为 F，平行于 x轴的两条直线 l1，l2 分别交 C于 A，B两点，交 C的准线于
P，Q两点.
（Ⅰ）若 F在线段 AB上，R是 PQ的中点，证明 AR∥FQ；
（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求 AB中点的轨迹方程.
（21）（本小题满分 12 分）
设函数 ( )
f x
ln
x
1
.
x
（I）讨论 ( )
f x 的单调性；
（II）证明当 (1,
x 时，
)
1
1
x
ln
x
；
x
（III）设 1c ，证明当 (0,1)
x
时，1 (
c
1)
x
x
c
.
请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号
（22）（本小题满分 10 分）选修 4—1：几何证明选讲
如图，⊙O 中 的中点为 P，弦 PC，PD分别交 AB于 E，F两点。
（Ⅰ）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；
（Ⅱ）若 EC的垂直平分线与 FD的垂直平分线交于点 G，证明 OG⊥CD。
（23）（本小题满分 10 分）选修 4—4：坐标系与参数方程
在直线坐标系 xoy中，曲线 C1 的参数方程为
（ 为参数）。以坐标原点为极点，x轴正半轴为
极轴，建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为ρsin（
）=
.
（I）写出 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程；
（II）设点 P在 C1 上，点 Q在 C2 上，求∣PQ∣的最小值及此时 P 的直角坐标.
（24）（本小题满分 10 分），选修 4—5：不等式选讲
已知函数 f(x)=∣2x-a∣+a.
（I）当 a=2 时，求不等式 f(x)≤6 的解集；
（II）设函数 g(x)=∣2x-1∣.当 x∈R 时，f(x)+g(x)≥3，求 a的取值范围。
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试题类型：新课标Ⅲ
2016 年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学正式答案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）C
（2）D （3）A （4）D （5）C
（6）D
（7）A
（8）B （9）D （10）B （11）B （12）A
第 II 卷
二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分。
（13） 10
（14）
3
（15）4
（16）
y
2
x
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
解：（Ⅰ）由题意得
（17）（本小题满分 12 分）
1
2
（Ⅱ）由
a
2
2(
a
a
n
1
2
n
1
4
2
,
a
3
.
.........5 分
)1
a
n
a
n
1
0
得
2
a
(
a
n
)1
(
aa
n
n
)1
.
n
1
因为 na 的各项都为正数，所以
a
n
a
1
n
1
2
.
故 na 是首项为1，公比为
1
2
（18）（本小题满分 12 分）
学.科网的等比数列，因此
na
1
n
12
.
......12 分
解：（Ⅰ）由折线图中数据和附注中参考数据得
4t
，
7
(
t
i
1
i
t
)
2
28
，
7
y
i
(
1
i
y
)
2
55.0
，
7
i
1
(
t
i
)(
yt
i
y
)
7
i
1
yt
i
i
t
7
i
1
y
i
17.40
32.94
89.2
，
r
89.2
646.22
55.0
99.0
.
........4 分
因为 y 与t 的相关系数近似为 0.99，说明 y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟
合 y 与t 的关系.
............6 分
（Ⅱ）由
y
32.9
7
.1
331
及（Ⅰ）得
ˆ
b
ˆ
tby
ˆ
a
331.1
103.0
92.04
.
7
i
1
(
t
i
)(
yt
i
y
)
7
i
1
(
t
i
2
t
)
89.2
28
.0
103
，
所以， y 学.科网关于 t 的回归方程为：
ˆ
y
92.0
10.0
t
.
..........10 分
将 2016 年对应的 9t 代入回归方程得：
ˆ
y
92.0
10.0
82.19
.
所以预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量将约 1.82 亿吨.
.........12 分
（19）（本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ）由已知得
AD
2
，学.科网取 BP 的中点 T ，连接
AT , ，由 N 为 PC 中点知
TN
2
3
AM
1
2
TN // ，
BC
TN
BC
2
.
......3 分
又
AD// ，故TN 平行且等于 AM ，四边形 AMNT 为平行四边形，于是
BC
MN //
AT
.
因为
AT 平面 PAB ，
MN 平面 PAB ，所以
//MN 平面 PAB .
........6 分
（Ⅱ）因为 PA 平面 ABCD ， N 为 PC 的中点，
所以 N 到平面 ABCD 的距离为 PA
1
2
.
....9 分
取 BC 的中点 E ，连结 AE .由
AB
AC
3
得
，
AE
2
AB
2
BE
5
.
由
AM ∥ 得 M 到 BC 的距离为 5 ，故
BC
S
4
5
52
.
BCM
AE
BC
1
2
PA
2
所以四面体
N
BCM
的体积
V
N
BCM
1
3
S
（20）（本小题满分 12 分）
BCM
54
3
.
.....12 分
解：（Ⅰ）由题设
1(F
2
)0,
.设
l
1
:
y
,
la
2
:
by
，则
0ab ，且
2
aA
(
2
),0,
PbbB
(
),
,
2
2
1(
2
,
),
Qa
1(
2
,
),
Rb
1(
2
,
ba
2
)
.
记过 BA, 学科&网两点的直线为l ，则l 的方程为
2
x
(
)
yba
ab
0
.
.....3 分
（Ⅰ）由于 F 在线段 AB 上，故
1
ab
0
.
记 AR 的斜率为 1k ， FQ 的斜率为 2k ，则
k
1
所以
ba
ba
2
2
1
a
ab
a
AR ∥ .
FQ
1
a
ab
a
......5 分
b
k
2
.
（Ⅱ）设l 与 x 轴的交点为
( 1xD
)0,
，
则
S
ABF
1
2
FDab
1
2
xab
1
1
2
,
S
PQF
ba
2
.
由题设可得
1
2
xab
1
1
2
ba
2
，所以
1 x
0
（舍去），
11 x
.
设满足条件的 AB 的中点为
,(
yxE
)
.
当 AB 与 x 轴不垂直时，由
k
AB
可得
k
DE
而
ba
2
y
，学科&网所以
2
y
x
(1
x
y
1
x
(
x
)1
.
2
ba
)1
.
当 AB 与 x 轴垂直时， E 与 D 重合.所以，所求轨迹方程为
2
y
x
1
.
....12 分
（21）（本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ）由题设， ( )
f x 的定义域为 (0,
) ， '
( )
f x
，令 '( )
f x ，解得 1x .
0
1
1
x
f x ， ( )
f x 单调递增；当 1x 时， '( ) 0
0
.
f x ， ( )
f
f x 单调递减. ………4 分
1x 时， '( )
当 0
0
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ( )
所以当 1x 时， ln
x
故当 (1,
x 时， ln
)
f x 在 1x 处取得最大值，最大值为 (1)
1
x .
x ， 1
ln
x
1)
1
1
x
ln
x
x
，则 '( )
1
x c
g x
，即
1
1
1
x
x
c
x
. ………………7 分
（Ⅲ）由题设 1c ，设 ( ) 1 (
g x
c
c
lnx
c
，令 '( ) 0
g x ，
ln
.
1
c
ln
c
ln
c
g x ， ( )g x 单调递增；当
x 时， '( ) 0
0
x
解得 0
当
x
分
x
x 时， '( ) 0
g x ， ( )g x 单调递减. ……………9
0
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