2009年天津高考理科数学试题及答案.doc

发布时间：2022-10-02 发布人：admin 分类：说明书资料大小：1.26M 资料格式：doc 举报版权申诉

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2009 年天津高考理科数学试题及答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）i 是虚数单位， = 5 i 2 i （B）-1-2i （A）1+2i （C）1-2i （D）-1+2i 【考点定位】本小考查复数的运算，基础题。解析： 5 i 2  i  i ) 2(5 i  5  21 i ，故选择 D。（2）设变量 x，y 满足约束条件： 3 x y        1 x y   2 3    x y .则目标函数 2  z x  的最小值为 y 3 （A）6 （B）7 （C）8 （D）23 【考点定位】本小考查简单的线性规划，基础题。解析：画出不等式 f x  3 x y    g x      h x   1 y x   q x  2 3    x y  表示的可行域，如右图，让目标函数表示直线 y  -15 2 x 3  z 3 在可行域上平移，知 -10 -5 x 2 y  x  3  y     3 得在点 B 自目标函数取到最小值，解方程组 )1,2( ，所以 z min  34 7 ，故选择 B。（3）命题“存在 0x R， 02x  0”的否定是 8 6 4 x+y=3 2 -2 -4 A x-y=1 B 2x-y=3 5 10 （A）不存在 0x R, 02x >0 （B）存在 0x R, 02x  0 （C）对任意的 x  R, 2x  0 （D）对任意的 x  R, 2x >0 【考点定位】本小考查四种命题的改写，基础题。解析：由题否定即“不存在 x 0 R ，使 2 0 x 0 ”，故选择 D。（4）设函数 A. 在区间  1 3 x  ln ( x x  则 0), y  ( ) f x ,1),(1, )e 内均有零点。 ( ) f x 1( e

B. 在区间 C. 在区间 D. 在区间 1( e 1( e 1( e ,1),(1, )e 内均无零点。 ,1) 内有零点，在区间 (1, )e 内无零点。 ,1) 内无零点，在区间 (1, )e 内有零点。【考点定位】本小考查导数的应用，基础题。解析：由题得 f `( x )  1 3  1 x  3 x  3 x ，令 f `( ) x 0 得 3x ；令 f `( ) x 0 得 0  x  3 ； f `( ) x 0 得 3x ，故知函数 (xf 在区间 ) )3,0( 上为减函数，在区间 ,3(  为增函数， ) 在点 3x 处有极小值 1  3ln  0 ；又 f )1(    ef  , 1 3 e 3  1 ,0 f )1( e  1 3 e  1 0 ，故选择 D。（5）阅读右图的程序框图，则输出的 S= A. 26 B. 35 C. 40 D. 57 【考点定位】本小考查框架图运算，基础题。解：当 1i 时， T  ,2 S  2 ；当 2i T 时，  ,5 S  7 ；当 3i 时， T  ,8 S  15 ；当 4i 时， T  ,11 S  26 ；当 5i 时， T  ,14 S  40 ；当 6i 时， T  ,17 S  57 ，故选择 C。 (6）设 0, b a  若 0. 3 3 是与的等比中项，则 b 3 a A 8 B 4 C 1 D 1 4 1 a  1 b 的最小值为【考点定位】本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力。【解析】因为 a 3  b 3  3 ，所以 a 1 b ， 1 a  1 b  ( a  b 1)( a  )1 b  2 b a  a b  22 b a  a b  4 ，当且仅当 b  即 a a b a 1 b 2 时 “=”成立，故选择 C （ 7 ）已知函数 ( ) f x  sin( x    )( 4 x R  ,   的最小正周期为 ，为了得到函数 0)

( ) g x x cos 的图象，只要将 y  ( ) f x 的图象 A. 向左平移 C. 向左平移  8  4 个单位长度 B. 向右平移个单位长度 D. 向右平移  8  4 个单位长度个单位长度【考点定位】本小题考查诱导公式、函数图象的变换，基础题。解析：由题知 2 ，所以 ( xf )  sin( 2 x   ) 4  cos[  2  2( x   )] 4  cos( 2 x   ) 4  cos (2 x   ) 8 ，故选择 A。（8）已知函数 ( ) f x     x 4 2 x   4 , x x 2 , x x   0 0 若 f (2  a 2 )  ( ), f a 则实数 a 的取值范围是 A (     , 1) (2, ) B ( 1,2)  C ( 2,1)  D (     , 2) (1, ) 【考点定位】本小题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。解析：由题知 (xf 在 R 上是增函数，由题得 ) 2  2 a  a ，解得  a ，故选择 C。 1 2 （9）设抛物线 2 y x 的焦点为 F，过点 M（ 3 ，0）的直线与抛物线相交于 A，B 两点， 2 与抛物线的准线相交于 C，BF =2，则  BCF 与  ACF 的面积之比 BCF ACF f y    = g y  2 2 S S （A） 4 5 （B） 2 3 （C）  h x  4 7 （D） 1 2 【考点定位】本小题考查抛物线的性质、三点共线的坐标关系，和综合运算数学的能力，中档题。解析：由题知 S S  BCF  ACF  BC AC  F: (0.51, 0.00) x B  -10  x A 1 2 1 2  2 2 x x B A   1 1 ， -5 又 | BF |  x B  1 2  2 x B y B 3 2 3 由 A、B、M 三点共线有 y x M M   y x A A  y x M M   y x B B 即 0  3 2 x x  A 0  A  3  C x=-0.5 6 4 2 -2 -4 A F ，故 2Ax -6 ， 3 3 2 5 B

∴ （10） S S 0   BCF  ACF 2 2 x x B A   1 1  13  14   4 5 ，故选择 A。  b 1 a ,若关于 x 的不等式 ( x b ＞ ) 2 ( 2 )ax 的解集中的整数恰有 3 个，则（A）  a 1 0 （B） 0  a 1 （C） 1  a 3 （D） 3  a 6 【考点定位】本小题考查解一元二次不等式，解析：由题得不等式 ( x b ＞ ) 2 ( 2 )ax 即 ( a 2  )1 x 2  2 bx  2 b  0 ，它的解应在两根之间，故有  2 4 b  4 2 ( ab 2  )1  4 2 ba 2  0 ，不等式的解集为 b  1 a   x  b  1 a 或 0  0  b  b  1 1 a a  x  b  1 a  。若不等式的解集为 b  1 a   x  b  1 a ，又由 0  1 ，故  3 b  1 a   2 ，即 2  b  1 a  3 二、填空题：（6 小题，每题 4 分，共 24 分）  b 1 a 得（11）某学院的 A，B，C 三个专业共有 1200 名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为 120 的样本。已知该学院的 A 专业有 380 名学生，B 专业有 420 名学生，则在该学院的 C 专业应抽取____名学生。【考点定位】本小题考查分层抽样，基础题。解析：C 专业的学生有 1200  380  420  400 ，由分层抽样原理，应抽取 120  400 1200  40 名。（12）如图是一个几何体的三视图，若它的体积是 3 3 ，则 a _______ 【考点定位】本小题考查三视图、三棱柱的体积，基础题。解析：知此几何体是三棱柱，其高为 3，底面是底边长为 2 ，底边上的高为 a 的等腰三角形，所以有 2 a 2  3 33  a 3 。

(13) 设直线 1l 的参数方程为 1 x t       1 3 y t  距离为_______ （t 为参数），直线 2l 的方程为 y=3x+4 则 1l 与 2l 的【考点定位】本小题考查参数方程化为普通方程、两条平行线间的距离，基础题。解析：由题直线 1l 的普通方程为 3 x  y 2 0 ，故它与与 2l 的距离为 |24|  10 3  10 5 。 (14) 若圆 2 x 2 y  与圆 2 x 4  2 y  2 ay   （ a>0 ）的公共弦的长为 2 3 ，则 6 0 a ___________。【考点定位】本小题考查圆与圆的位置关系，基础题。解析：由知 2 x  2 y  2 ay   的半径为 6 0 6 a 2 ，由图可知 6  2 a  a ( 2 )1  )3( 2 解之得 1a  (15)在四边形 ABCD 中， AB  = DC =（1，1），  BA  1  BA 1  BC  BC   BD 3  BD ，则四边形 ABCD 的面积是【考点定位】本小题考查向量的几何运算，基础题。解析：由题知四边形 ABCD 是菱形，其边长为 2 ，且对角线 BD 等于边长的 3 倍，所以 cos ABD  622 2 2    2  1 2 ，故 sin ABD  3 2 ， SABCD  )2( 2  3 2  3 。（16）用数字 0，1，2，3，4，5，6 组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有个（用数字作答）【考点定位】本小题考查排列实际问题，基础题。解析：个位、十位和百位上的数字为 3 个偶数的有： CAC 3 3 2 3 1 4  3 CA 3 1 3  90 种；个位、十位和百位上的数字为 1 个偶数 2 个奇数的有： 90  234  324 个。 CAC 3 3 2 3 1 4  CACC 3 3 1 3 2 3 1 3  234 种，所以共有三、解答题：本大题共 6 小题，共 76 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分 12 分）在⊿ABC 中，BC= 5 ，AC=3，sinC=2sinA

(Ⅰ) 求 AB 的值；  (Ⅱ) 求 sin 2   A    4  的值本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦、两角差的正弦等基础知识，考查基本运算能力。满分 12 分。（Ⅰ）解：在△ABC 中，根据正弦定理，于是 AB  sin sin C A BC  2 BC  2 5 AB sin C  BC sin A （Ⅱ）解：在△ABC 中，根据余弦定理，得 AB cos A  于是 sin A  1 cos  2 A  5 5 BD 2 2 AC   2 AB AC  2  2 5 5 从而 sin 2 A  2sin cos A A  ,cos 2 A  cos 2 A  sin 2 A  3 5 所以 sin(2 A   ) 4  sin 2 cos A  cos 2 sin A  4  2 10 4 5  4 （18）（本小题满分 12 分）在 10 件产品中，有 3 件一等品，4 件二等品，3 件三等品。从这 10 件产品中任取 3 件，求：（Ⅰ）取出的 3 件产品中一等品件数 X 的分布列和数学期望；（Ⅱ）取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数的概率。本小题主要考查古典概型及计算公式、离散型随机变量的分布列和数学期望、互斥事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力。满分 12 分。（Ⅰ）解：由于从 10 件产品中任取 3 件的结果为 kC ，从 10 件产品中任取 3 件，其中恰有 3 k 件一等品的结果数为 k ，那么从 10 件产品中任取 3 件，其中恰有 k 件一等 k 3 3 7 C C  C C C 3 10 k 3 品的概率为 ( P X k  )  3 7  k , k  0,1,2,3 所以随机变量 X 的分布列是 X 0 1 2 3

P 7 24 X 的数学期望 0 EX   21 40 1   7 24 21 40 7 40 7 40 2   3   1 120 1 120 9  10 （Ⅱ）解：设“取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件 A，“恰好取出 1 件一等品和 2 件三等品”为事件 A1“恰好取出 2 件一等品“为事件 A2，”恰好取出 3 件一等品”为事件 A3 由于事件 A1，A2，A3 彼此互斥，且 A=A1∪A2∪A3 而 ( P A 1 )  1 3 C C C 3 10 2 3  3 40 , ( P A 2 )  ( P X  2)  7 40 , ( P A 3 )  ( P X  3)  1 120 , 所以取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为 ( ) P A  ( P A 1 )  ( P A 2 )  ( P A 3 )  （19）（本小题满分 12 分） 3 40  7 1 40 120   31 120 + 7 + 40 1 = 120 31 120 如图，在五面体 ABCDEF 中， FA  平面 ABCD , AD//BC//FE，AB  AD，M 为 EC 的中点，AF=AB=BC=FE= 1 2 AD （Ⅰ）求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小；（Ⅱ）证明平面 AMD  平面 CDE；（Ⅲ）求二面角 A-CD-E 的余弦值。本小题要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想像能力、运算能力和推理论证能力。满分 12 分. 方法一：（Ⅰ）解：由题设知，BF//CE，所以∠CED（或其补角）为异面直线 BF 与 DE 所成的角。设 P 为 AD 的中点，连结 EP， PC。因为 FE // AP，所以 FA //  EP，同理 AB // PC。又 FA⊥平面 ABCD，所以 EP⊥平面 ABCD。而 PC，AD 都在平面 ABCD 内,故 EP ⊥ PC ， EP ⊥ AD 。由 AB ⊥ AD ，可得 PC ⊥ AD 设 FA=a ，则 EP=PC=PD=a,CD=DE=EC= a2 ，故∠CED=60°。所以异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小为 60° （Ⅱ）证明：因为 DC DE 又 MP DM M 且 M 为CE 的中点，所以 DM CE ，连接 MP ，则 MP CE ，，故 CE  平面 AMD ,而 CE  平面 CDE ，所以平面 AMD  平面  CDE

（Ⅲ）解：设 Q 为 CD 的中点，连结 PQ ， .EQ 因为 CE  DE ，所以 EQ  .CD 因为 PC  PD ，所以 PQ  CD ，故  EQP 为二面角 A  CD  E . 的平面角由（Ⅰ）可得， EP  PQ ， EQ  于是在 Rt EPQ 中， cos  EQP  所以二面角 A CD E  的余弦值为  6 2 a ， PQ  2 2 . a PQ EQ  ， 3 3 3 3 方法二：如图所示，建立空间直角坐标系，点 A 为坐标原点。设  ，，，011C  ，，，001B ，1AB 依题意得 ，，，020D  ，，，110E   ，，，100F 1M 11  ，，  2 2   .   （Ⅰ）解：   BF    1 0 1 ，，，于是 cos   BF DE ，   DE    BF DE   BF DE •  0  ，，，  11  0 0 1   2 2   1 2 . 所以异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小为 060 . （Ⅱ）证明：由  AM     1 2 11 ，，， 2      CE    1 0 1 ，，，  AD   0 2 0 ，，，可得 •    CE AM  0 ，   CE AD  • 0 ，因此，CE  AM CE ， AD ，又 AM AD A   ，故 CE  平面 AMD 而 CE  平面 CDE ，所以平面 AMD  平面 CDE .    u CE    D E u     0 ， 0. （Ⅲ）解：设平面CDE 的发向量为 u  ( x ，，，则 y z ) 于是 z x        z y  0 ， u 令，可得 0. 1  x  (111 . ，，）又由题设，平面 ACD 的一个法向量为 ).100( ，，v

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