考研高数历年真题分类解析.pdf-资料库

让有理想的人更加卓越！第一章函数、极限与连续综述：极限是高等数学的基本运算，函数是高等数学的研究对象，而连续函数则是高等数学最主要的“活动基地”.本章在理论上有着重要的意义，是理解后续章节的理论基础.可以毫不夸张地说：正确地理解了极限，高数的学习就成功了一半.同时，它们也是非常重要的考点，平均每年直接考查所占的分值在 10 分左右.而事实上，由于这一部分内容的基础性，每年间接考查或与其它章节结合出题的比重也很大. 本章的主要知识点有：函数的概念，极限的概念、性质及其计算方法，函数的连续性及间断点的分类.其中极限的计算是核心的考点，考题所占的比重最大，并且其余知识点如函数的连续性和间断点的分类也是以它为基础的. 本章常考的题型有：1.对极限的概念以及基本性质的考查；2.无穷小的比较；3.极限的计算；4.极限中参数的确定；5.对函数连续性的考查；6.确定间断点的类型；7.渐近线的计算. 常考题型一：函数的基本性质 1.【92—2 3 分】设 f x ( )     2 x , 2  x x , x x   0 0 ，则（）  A f (  x ) 2 x ,     x 2    x , x x   0 0  B f (  x ) (     2 x   x , 2 x ), x x   0 0  C f (  x )     x 2  2 x  , x , x x   0 0  D f (  x ) x ,     x 2  x , 2 x x   0 0 2.【01—2 3 分】 xf )(  1   0  x x   1 1 则 f f [{ xf ( )]} =（）  A 0  B 1  C 1   0  x x   1 1  D 0   1  x x   1 1 ．常考题型二：极限的基本性质 3.【12—2 4 分】设 na  0,( n  1,2,...) ， s n  a 1   ，则数列 ns 有界是数列 na 收敛的（） ... a n  A 充分必要条件.  C 必要非充分条件.  B 充分非必要条件.  D 即非充分地非必要条件. 4.【08—12 4 分】设函数 ( ) f x 在 (   内单调有界， nx 为数列，下列命题正确的是（） ) ,  A 若 nx 收敛，则 f x 收敛.  (  )n B 若 nx 单调，则 f x 收敛. (  )n  C 若 f x 收敛，则 nx 收敛. (  )n  D 若 f x 单调，则 nx 收敛. (  )n 5.【03—12 4 分】设 a { b {}, }{}, n c n n 均为非负数列，且 a lim   n n 0 , b lim   n n 1 , c lim  n n  ,则必有（） a  对任意 n 成立.  b n n B  A b  对任意 n 成立. n c n 1

精勤求学自强不息  C 极限 lim n  ca nn 不存在.  D 极限让有理想的人更加卓越！不存在. lim n  cb nn 6.【07—12 4 分】设函数 ( ) f x 在 (0, ) 上具有二阶导数，且 ( ) 0 x  ，令 f nu  f n ( ) ，则下列结论正确的是：（） A 若 1  u u 2 ，则 nu 必收敛  B 若 1 u u 2 ，则 nu 必发散  C 若 1 u u 2 ，则 nu 必收敛  D 若 1 u u 2 ，则 nu 必发散 7.【99—2 3 分】“对任意给定的 (0,1)  ，总存在正整数 N ，当 n N 时，恒有 nx  nx 收敛于 a 的（）  A 充分条件但非必要条件  B 必要条件但非充分条件  C 充分必要条件  D 既非充分条件又非必要条件   ”，是数列 2  a 8.【00—3 3 分】设对任意的 x ，总有     x   f x   g x  ，且 lim x     g x    x     ，则 0 lim x    f x （）  A 存在且等于零  B 存在但不一定零  C 一定不存在  D 不一定存在【小结】： 1.保号性必须是对足够大的 n 才成立，并不一定对所有 n 都成立. 2.收敛的数列一定有界，有界的数列不一定收敛；有界并且单调的数列一定收敛，但收敛的数列不一定是单调的。 3. 极限的四则运算法则的进一步深化： 1）乘法： 0 0,     0) c ( c , c   c     收敛+发散=发散 0 c       c 0), c 0 0,  c ( , c   0 2）加法： 3）除法：常考题型三：无穷小量的比较 9.【92—2 3 分】当  A 低阶无穷小  x  时， sin B 高阶无穷小   0 x 是 2x 的（） x C 等价无穷小  D 同阶但非等价无穷小 10.【99—2 3 分】设 5 x    x ( ) 0 t sin t dt ，   x ( ) sin x  0 1 t t dt ) (1  ，则当 x  时， ( )x 是 ( )x 的（） 0  A 高阶无穷小  B 低阶无穷小  C 同阶但不等价的无穷小  D 等价无穷小 cos 11.【01—2 3 分】阶的无穷小，则正整数n 等于（） 0x 时， 1(  x ) 1ln(  2x ) 是比 xsin 高阶的无穷小，而 nx xsin 是比 nx 2 xe 1 高 2

 A 1  B 2  C 3  D 4． 12.【97—2 3 分】 x  时， 0 e tan x  x e 与 nx 是同阶无穷小，则 n 为（）让有理想的人更加卓越！  A 1.  B 2.  13.【00—2 3 分】若  A 0  sin 6 C 3.  D 4 x  x 3 C 36  B 6   ，则 xf x ( ) lim x 0  0 6  lim x 0  f x ( ) x 2 D  为（） 14.【09—123 4 分】当 x  时，   f x 0   x sin ax 与   g x  x  2 ln 1  等价无穷小，则（） bx   A a b 1,   .  1 6 B a 15.【93—1 3 分】设   f x  .  1 6 sinx t dt 2 b 1, sin   0 C a   1, b   .  1 6 ，   g x  3 x 4  ，则当 x  . b a 1,   D 1 6 x  时，   0 f x 是  g x 的（）   A 等价无穷小  B 同阶但非等价的无穷小  C 高阶无穷小  D 低阶无穷小 16.【96—1 3 分】设  f x 有连续的导数，  0  f  ，   0 ' 0 f  ，   0 F x  时，   'F x 是与 kx 是同阶无穷小，则 k  （）  A . 1  B .2  C .3  D .4 x  0  2 x 2  t  f   t dt ，且当 x  0 17.【04—12 4 分】把 x  0 时的无穷小量   x  0 cos t 2 dt ,   2 x  0 tan t dt ,   x  0 sin t 3 dt 排列，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是（） D A  .  .  .   ,  ,  , B C , , ,  , , . 18.【07—123 4 分】当 x  时，与 x 等价的无穷小量是（） 0  A 1 e x  B x x 0 B 1 cos x  19.【92—3 3 分】当  A 2x   1ln  1  x  时，下列四个无穷小量中，哪一个是比其它三个更高阶的无穷小量（） D 1 cos x   1x C 1   C 1 x 2   1 D x  tan x 20.【97—3 3 分】设   f x 1 cos   0 x sin   t dt g x 2 ,  x 5 5  x 6 6 ，则当 x  时，  f x 是   g x 的（） 0   A 低阶无穷小  B 高阶无穷小  C 等阶无穷小  D 同阶但不等价的无穷小 21.【10—3 4 分】设 f (x)=ln10 x , g (x)= x , h (x)= A g (x)< h (x)< f (x) .   B h (x)< g (x)< f (x) . x 10 e , 则当 x 充分大时有（） 3

精勤求学自强不息让有理想的人更加卓越！  C f (x)< g (x)< h (x) .  D g (x)< f (x)< h (x) . 22.【05—2 4 分】当 0x 时， x  )( 2 kx 与  x )( 1  x arcsin x  cos x 是等价无穷小，则 k  23.【03—2 4 分】若 0x 时， 1(  ax 2 ) 1 4  1 与 xsin 是等价无穷小，则 a  x 24.【 06—2 10 分】试确定 , ,A B C 的常数值，使 xe (1  Bx Cx  2 ) 1   Ax o x (  3 ) 其中 3( o x 是当 ) x  时比的高阶无穷小. 3 x 0 25.【02—2 8 分】设函数 )(xf 在 x ＝０的某邻域具有二阶连续导数，且 f )0( f )0(  f )0(   0 ．证明：存在惟一的一组实数 cba , , ，使得当 0h 时， haf )(  bf h )2(  cf h )3(  f )0(  2ho ( ) ．【小结】： 1.无穷小的相关性质： 1）有限个无穷小的代数和为无穷小； 2）有限个无穷小的乘积为无穷小； 3）无穷小与有界变量的乘积为无穷小. x x  时 2. 0 , x 21 x 2 ~ sin ~ arcsin ~ tan ~ arctan ~ ln(1 x x x  x ) ~ e 1x  ， x a  1  x ln ,(1 a  a x )  1  ax ,1 cos ~  x 这些是考试大纲明确要求考生掌握的等价无穷小。除此之外，下面这些等价无穷小应用也比较常用，记住它们对解题，尤其是选择题和填空题，会带来很大便利： x   0, x  ln 1  x   1 2 x x , 2  sin x  1 6 3 x , tan x  x  1 3 3 x ,tan x  sin x  1 2 3 x 3. 对于上述的等价无穷小，通常用到的是将其中的 x 替换成函数 ( )u x 的形式，如对于 ~ sin x x（ x  ）， 0 u x 一般用到的是 ( )  u x sin ( ) ，但要注意该公式只有当 ( ) u x  才成立。除此之外，我们还经常用到如 0 u x 下的特殊形式： ln ( )  u x  ( ) 1 ，当 ( ) u x  时；  1 u x ( ) a   1   a u x  ( ) 1  ，当 ( ) u x  时； 1 u x ( ) v x ( )   1 v x u x ( )ln ( ) ，当 u x  时。 ( ) 1 v x ( ) 4. 当出现无穷小相加时，我们还有如下的运算法则： x x 1）设 ( ), ( ) x  的无穷小量，并且有   都为 x ( )  0  o x ( )   x ，则 ( )    x x ( ) ~ ( )  ； x 2）设 ( ),    都为 x x ( ), ( ) x  的无穷小量，并且有 ( ) ~  0 x a x ( ),   x ( ) ~ b x ( )  ，当 a b  时，有 0   x ( )  x ( ) ~  a b    x ( ) . 5. 确定无穷小的阶数及计算极限时，经常需要用到带皮亚诺余项的泰勒公式，现对其内容总结如下： 1）设函数 ( ) f x 在点 0x 处有 n 阶导数则在 0x 的某邻域内有 f x ( )  f x ( 0 )  f x ( ' 0 )  x  x   f ) x ( '' 0 2!  x  2 x  ...   f ) ( '' n x 0 !  x  n x   o   x  n x    。 4

如果其中的 0 x  ，则称之为麦克劳林公式。 0 2）考生需要记住五种常见函数的麦克劳林公式：让有理想的人更加卓越！ x e    1 x x 2 2! ...   x n n !   o x n  ， sin x   x cos x 1   x 3 3! x 2 2!    ( 1) ...    ( 1) ... n n x 2 n (2 n 1  1)!   o x ( 2 n  2 ) ， x n 2  n 2 !   o x ( 2 n 1  ) ， ln(1  x )   x x 2 2 (1  a x ) 1   ax     ( 1) ... n 1  x n n  n o x ( ) ， 1) a a (  2! 2 x   ... a a (    a n 1)....( n ! 1) n x   ... n o x ( ) 6. 无穷小量的比较实质上也是无穷大量的比较，记住常见的无穷大量之间的关系是考研数学的基本要求： 1）当 x   时，以下各函数趋近于无穷的快慢  2）当 n   时，以下各数列趋近于无穷的快慢 x a b b ( ( 由慢到快 x x ln , 1),  0),  x a x a n n ln ,  b b a (  由慢到快 n n 1), !,  0), ( n 常考题型四：极限的计算  和直线 y x 及 4 x 在第一象限中所围图形的面积为 y 1． 0 0 型未定式 26.【12—3 4 分】由曲线 y 27.【06—1 4 分】 28.【97—1 3 分】 lim x 0  lim x 0   x x x ) x ln(1  1 cos   2 x x cos 3sin (1 cos )ln(1  x   1 x x )  29.【98—12 3 分】 lim x 0  1 x   x 1 2   x 2  30.【92—2 3 分】 lim x 0  1  e x x 1 2  x cos   5

精勤求学自强不息 31.【00—2 3 分】 32.【07—2 4 分】 33.【01—2 3 分】 lim x 0  lim x 0  lim x 1  34.【09—3 4 分】 lim x 0  3  1 35.【08—3 4 分】求极限 36.【08—12 10 分】求极限   lim x 0  让有理想的人更加卓越！  x x arctan  x ln(1 2 ) 3  arctan sin x  x 3 x 1  2   x x 2 3 cos x e e  x 1  2  1 x 2 lim ln x  0 x x  __________. = sin x x x  sin  sin sin  x 4 x    sin x . 37.【92—1 5 分】 lim x 0  x e 1   x sin  x 1 2  1 38.【09—2 9 分】求极限  1 cos  x  x  sin 4  x ln(1 tan ) x  lim x 0  39.【05—2 11 分】设函数 ( ) f x 连续，且 f )0(  0 ，求极限 x  0 x lim x 0   t ) f t )( dt xf (  t ) dt . x x (  0 40.【95—2 5 分】求 41.【99—2 5 分】求 lim  x 0 lim x 0  x x x 1 cos   1 cos  x 1 tan   x x ln(1  )  1 sin  x  2 x 42.【02—3 8 分】求极限 lim x 0  x  0    2 u  0   arctan 1  1 cos  x     t dt du  x 【小结】： 1.等价无穷小量替换一般和其他方法结合使用，在应用时要注意被替换的部分一定要是整个极限独立的因子.也即如下情形： f x g x lim ( ) ( ) x  f x g x lim ( ) ( ) x  u x g x lim ( ) ( ) x  u x ( ) 存在且 f x ( )  .   0 0 0 2．洛必达法则是最常用的方法，运用时不要忘记对公式适用的条件进行检验，应用前一般要通过等价无穷小替换，变量代换等方法对原式进行化简； f b 3. 当极限式出现同一函数在两个不同点的函数值相减时（也即形式 ( ) ），可以考虑利用中值定 f a ( )  理； 4．抓大头的运用步骤：找出分子分母中趋于 0 的速度最慢的项（其他项都是该项的高阶无穷小量），再相 6

除（在型未定式也有相应的方法）。   或 0 型未定式 2．   43.【97—2 5 分】求极限 2 4 x lim x      x 2 1 sin x x x  让有理想的人更加卓越！ 1 44.【93—2 5 分】求 x lim ( x  2 x  100  x ) 3． 1 ,0 或 0 型未定式 0 45.【03—2 4 分】设 a n 3    2 n n 0 1 x n 1  1  n x dx , 则极限 na lim 等于（） n  n  A 1(  e ) 3 2  1 .  B 1(  e 1 ) 3 2  1 .  C 1(  e 1 ) 3 2  1 .  D 1(  e ) 3 2  1 . 46.【10—1 4 分】极限 lim x     ( x 2 )( x a x b    A 1 .  B e .  x )  （）    C a be  .  D b ae  . 47.【93—2 3 分】 x lim ln  x 0 x  48.【96—2 3 分】  lim sin ln 1   x   3 x      sin ln 1    1 x        49.【93—3 3 分】 lim x  50.【05—3 4 分】极限 = x    x 23 5  x 5 3  x lim x   x 2 2  1 1 sin 2 x sin x 2  x 3 51.【07—3 4 分】 lim x  x 3  2x x  (sin x  x cos )  __________. 52.【12—3 4 分】  lim tan x   4 1  sin x cos x x   ________。 53.【02—3 3 分】设常数 a  ，则 1 2 lim ln n     n na 2 1     n a 1 2  n     54.【06—3 4 分】 n  1  lim n  1 n   n      ______ . 55.【03—1 4 分】 (cos x ) lim x 0  1 1ln(  2 x ) = . 7

精勤求学自强不息 56.【04—2 10 分】求极限 1 lim x 3 x 0 2 cos    3     x x      1    让有理想的人更加卓越！ 57.【97—3 6 分】在经济学中，称函数   Q x   x A K     1     x L  1 x    为固定替代弹性生产函数，而称函数 Q AK L 1   为Cobb douglas  生产函数（简称C - D 生产函数）.试证明：当 x  时，固定替代 0 弹性生产函数变为C - D 生产函数，即有 lim x 0  Q x Q  .   58.【10—3 10 分】求极限 1 x 1 ln x  )1 . lim x  ( x 59.【93—1 5 分】求极限 lim(sin x  2 x  cos 1 x )x 【小结】：1.解题时（不光是求极限时），遇到幂指函数 x  ( ) ( x ) 的基本处理思想是利用对数恒等式  x ( ) (  x )  e (  x )ln (  x ) ； 2.如果是1 形式的极限，则可以利用重要极限通过公式 x lim ( )  x ( )    lim ( ) 1 ( e    x x ) 来计算。 4．    型未定式 60.【99—1 3 分】 lim x 0  1 x 2    61.【94—1 3 分】 x limcot ( x  0  x 1 sin 1 tan  x x 1 x     . )  62.【12—2 10 分】已知函数 f x ( )  1  sin x x  ，记 1 x , a  f x lim ( ) x  0 （1）求 a 的值（2）若当 f x x  时， ( ) 0 a 是 kx 的同阶无穷小，求 k 63.【04—3 8 分】求 64.【05—3 8 分】求 1( lim 2 sin x 0  1(  e 1  lim x 0  x x x    2 cos 2 x ).1 x x ) 65.【06—3 7 分】设  f x y ,   y xy  1  1  y sin arctan x  y x , x  0, y  0 ,求 (Ⅰ)   g x  lim y   f x y ,  ； (Ⅱ) lim  x 0   g x . 8

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