第1页 / 共7页
第2页 / 共7页
第3页 / 共7页
第4页 / 共7页
第5页 / 共7页
第6页 / 共7页
第7页 / 共7页
应用于JPEG2000的97（53）提升小波算法及仿真原代码.doc
应用于JPEG2000的9/7（5/3）提升小波算法及MATLAB仿真
摘 要:提升算法(Lifting Scheme)是一种新的双正交小波构造方法。在JPEG2000标准中, 采
用了基于提升算法的9/7（5/3）滤波器。详细地介绍了提升算法的原理及实现步骤，推导了9/7
小波滤波器的提升格式，并对文中的提升算法进行了MATLAB仿真，实验表明此提升算法降低了计
算复杂度，有效地完成了对图像的压缩。
关键词:小波变换；提升算法；JPEG2000 ；MATLAB仿真
Matlab emulation of 9/7(5/3) Lifting-Based Wavelet Transform for JPEG2000
Abstract: The lifting scheme is a kind of new method of biorthogonal wavelet structure.
According to the JPEG2000 standards adopts the 9/7(5/3) filters based on the lifting
scheme. Introduces the principle and realization of the lifting scheme in detail and
deduces the 9/7 filters, and carries out Matlab emulation. It confirms that the lifting
scheme makes the complications of calculation lower and the image compression
efficiently.
Key words: Wavelet transform; Lifting scheme; JPEG2000; Matlab emulation
1 引言
小波变换是近几年发展起来的一种信号分析工具，由于其良好的时频局部特性和多分辨分析
特性已成为图像压缩和处理的基础。新一代静止图像压缩标准JPEG2000 也将小波变换纳入标准
之中，并采用二维离散小波变换(2D DWT)作为系统编码算法的核心。二维离散小波变换最有效的
实现方法之一是采用Mallat的塔式分解方法，通过在图像的水平和垂直方向交替采用低通和高通
滤波得到，如图1 所示。这种传统的基于卷积的
离散小波变换计算量大，对存储空间的要求高,提
升小波的出现有效地解决了这一问题。提升算法
相对于Mallat算法而言，是一种更为快速有效的
小波变换实现方法，它不依赖于傅里叶变换，完
全在空域完成了对双正交小波滤波器的构造。
Daubechies已经证明，任何离散小波变换或具有
有限长滤波器的两阶滤波变换都可以被分解成为
一系列简单的提升步骤，所有能够用Mallat算法
实现的小波，都可以用提升算法来实现。在JPEG2000标准中, 用一维的提升运算, 先纵向处理,
再横向处理, 以此来完成二维图像的离散小波变换。在提升运算执行之前, 必须对原始数据进行
对称的周期性扩展, 以利于图像边界的处理。
2 提升算法的实现
Mallat 算法用于二维离散小波分解
图1
提升算法是第二代离散小波变换方法, 避免了复杂的卷积运算，便于实现；还可以进行整系
数和无损滤波[2]。提升方法主要有3个步骤：分裂（Split）、预测（Predict）和更新（Update），
如图2 所示。分裂是把输入信号s(n)分为两个子信号，即由其偶序号采样组成的子信号se=s2k（k
∈Z）和由其奇序号采样组成的子信号so=s2k+1（k∈Z）；预测是通过近似信号来计算细节信号；更
新是通过细节信号来计算近似信号。其中预测和更新可以重复多次，最后还有可能再经过一个缩
放步骤。这整个过程完成一次小波变换，得到输入信号s(n)的近似分量c(n)和细节分量d(n)。在
JPEG2000 标准中, 采用了基于提升
算法的5/3可逆滤波器和9/7不可逆滤
波器[1]。
基于提升算法的离散小波变换的
主要特点在于将低通和高通滤波器分
解成为一系列上三角或下三角矩阵，
从而将滤波器的实现转换为矩阵的联
合乘积。Daubechies 9/7小波滤波器
是一种常用的双正交小波滤波器，在
JPEG2000中采用了这种滤波器对图像进行有损压缩。9/7小波滤波器的系数为:
图2 小波变换的提升方法示意图
g0=1.115087052456994
g1=-0.5912717631142470
g2=-0.05754352622849957
g3=0.09127176311424948
h0=0.6029490182363579
h1=0.2668641184428723
h2=0.07822326652898785
h3=0.01686411844287495
h4=0.02674875741080976
提升变换的第一步是取得与滤波器相对应的多项矩阵。9/7小波滤波器的z变换为：
~
h z
z
z
z
z
1
2
2
3
4
4
h z
4
h
0
3
h z
3
g z
3
2
z
2
3
z
3
4
z
2
h z
1
g z
1
h z
2
g z
2
0
1
z
g
~
g z
变换可表示为如下所示：
~
h
z
z
2
2
h
0
g
h z
2
g z
2
~
g
z
则可以得到：
0
h z
4
1
z
2
z
2
~
h
~
h
~
g
~
g
e
o
e
o
z
z
z
z
h
0
h z
1
g
0
g z
1
h z
2
1
g z
2
1
1
z
h z
3
2
2
h z
4
z
1
1
z
g z
3
2
z
1
2
1
h z
3
z
2
4
4
z
g z
1
2
1
z
1
h z
1
g z
3
4
2
z
得到了变换的多项矩阵：
~
p
z
h
0
h z
2
g
0
1
z
g z
2
h z
4
1
z
2
z
2
h z
1
g z
1
1
1
第二步是将多项矩阵转化为提升步骤：
h z
3
g z
3
2
2
1
1
z
z
'
g z
'
h z
x z
x
g z
h z
z
2
e
2
h z s z
2
g z t z
1
z x
z
o
2
s z 、
t z --劳伦多项式
可得：
~
p
z
~
'
h
e
~
'
g
e
z
z
h z
1
1
g z
1
1
h z
3
g z
3
2
1
z
2
1
z
1
z
~
t
0
1
由劳伦多项式的欧几里得定理，可以计算得到:
r
0
h
0
2
h h h
4 1
3
/
r
1
h
2
h
4
3/
h h h
4 1
s
0
h
1
h
3
h r
3 0
1/
r
t
0
r
0
12
r
定义：
/
h h
4
3
-1.586134342
1/
h r
3
-0.0529801186
r
1
0/
s
0.882911075
s
0
0/
t
0.443506852
k
t
0
~
p
z
1
0
r
0
1
2
r
1
z
1
1.230174105
1
1
z
图3
9/ 7 小波滤波器的提升实现结构
图4 原始数据的周期性对称延拓
从而可以得到：
0
1
1
0
1
1
z
1
1
1
z
0
1
0
k
0 1
k
如图3 所示给出了9/7小波滤波器的提升实现结构。对于5/3小波滤波器同理可得，此时提升
系数α=-0.5、β=0.25。
3 对称数据延拓算法
在JPEG2000 标准中, 离散小波变换包含两步：数据延拓和提升运算。为了提升运算能够顺
利进行, 在被处理的原始数据两端应分别做周期性的对称延拓[3](图4)。通过在起始与结尾端改变
小波的计算过程，将数据的对称延拓嵌入到数据的计算过程中。采用对称延拓处理后的9/7小波
的计算过程如下：
s
s
1,2
0,2 1
2
s
s
1,2
0,2 1
l
l
(1)
d
1,
l
对称延拓（偶数结束）
(1)
d
1, 1
l
(1)
d
1,
l
s
0,2
(1)
s
1,
l
s
1,2
正常
正常
l
2
l
l
l
(1)
s
1, 1
l
d
1, 1
l
对称延拓（奇数开始）
正常
对称延拓（偶数结束）
正常
对称延拓（奇数开始）
s
1,
l
d
1,
(1)
2
s
d
1,
0,2
l
l
(1)
(1)
d
s
1,
1,
l
l
(1)
(1)
2
d
s
1,
1,
l
l
(1)
d
s
1,
1,
l
(1)
2
d
s
1,
1,
l
kd
1,
s
k
1,
4 实验及结果
d
1,
s
1,
l
l
l
l
l
l
l
本文分别对5/3可逆滤波器和9/7不可逆滤波器的提升算法进行了MATLAB仿真。仿真结果如图
5、图6所示。9/7小波滤波器对图像进行了有损压缩，相对于5/3小波滤波器压缩比更大。
图 5
5/3 小波变换--依次为原图、行变换后、列变换后、小波系数按 LL,HL,LH,HH 子带重排后
图 6
9/7 小波变换--依次为原图、行变换后、列变换后、小波系数按 LL,HL,LH,HH 子带重排后
5 结论
提升算法是一种新的双正交小波构造方法,它完全在空域对信号进行变换，完成了对信号频
域特性的分析。并且，由于其独特的结构，有效地减少了运行时间，获得了较大的压缩效果，是
一种快速有效的小波实现方法。在JPEG2000标准中, 采用了基于提升算法的5/3可逆滤波器和9/7
不可逆滤波器。
参考文献
[1] ISO/IEC.FCD15444-1: 2000v1.0, JPEG2000 Image Coding System [S].
[2] Sweldens W. The lifting scheme: construction of second generation wavelets. SIAM
J Math Anal [J],1997; 29(2): 511-546.
[3] K.C.B Tan and T.Arslan. Low power embedded extansion algorithm for lifting_based
discrete wavelet transform in JPEG2000. IEEE Electronics Letters,Vol.37,No.22,25th
Oct.2001:1328-1330.
附：文中所用 97/53 小波变换 MATLAB 源程序
function Dwt2d_wp(w97)
%参数 w97=1 时，使用 9/7 滤波器；w97=0 时，使用 5/3 滤波器；
clc;
Image=imread('lena.bmp');
column=256;
row=256;
figure(1),imshow(Image);
if w97==1
%97 小波变换
ParaA = -1.586134342; ParaB = -0.052980118; ParaC = 0.882911075;
ParaD = 0.443506852; ParaE = 1.230174105; ParaEN = 0.812893066;
%**************************行 变 换************************************
%step 1： ParaA = -1.5;
for j = 2:2:column
if j~=column
Image(:,j) = Image(:,j) + (ParaA*(Image(:,j-1)+Image(:,j+1)));
else
Image(:,j) = Image(:,j) + (ParaA*(Image(:,j-1)+Image(:,j-1))); %对称延拓
end
end
%step 2：ParaB = -0.0625;
for j = 1:2:column-1
if j==1
Image(:,j) = Image(:,j) + (ParaB*(Image(:,j+1)+Image(:,j+1))); %对称延拓
else
Image(:,j) = Image(:,j) + (ParaB*(Image(:,j-1)+Image(:,j+1)));
end
end
%step 3： ParaC = 0.8;
for j = 2:2:column
if j~=column
Image(:,j) = Image(:,j) + (ParaC*(Image(:,j-1)+Image(:,j+1)));
else
Image(:,j) = Image(:,j) + (ParaC*(Image(:,j-1)+Image(:,j-1))); %对称延拓
end
end
%step 4： ParaD = 0.46875;
for j = 1:2:column-1
if j==1
Image(:,j) = Image(:,j) + (ParaD*(Image(:,j+1)+Image(:,j+1))); %对称延拓
else
Image(:,j) = Image(:,j) + (ParaD*(Image(:,j-1)+Image(:,j+1)));
end
end
%step 5,6
for j = 1:column/2
Image(:,2*j-1) = Image(:,2*j-1)*ParaEN;
Image(:,2*j)
= -Image(:,2*j)*ParaE;
end
figure(2),imshow(Image);
%**************************列 变 换************************************
%step 1： ParaA = -1.5;
for j = 2:2:row
if j~=row
Image(j,:) = Image(j,:) + (ParaA*(Image(j-1,:)+Image(j+1,:)));
else
Image(j,:) = Image(j,:) + (ParaA*(Image(j-1,:)+Image(j-1,:))); %对称延拓
end
end
%step 2：ParaB = -0.0625;
for j = 1:2:row-1
if j==1
Image(j,:) = Image(j,:) + (ParaB*(Image(j+1,:)+Image(j+1,:))); %对称延拓
else
Image(j,:) = Image(j,:) + (ParaB*(Image(j-1,:)+Image(j+1,:)));
end
end
%step 3： ParaC = 0.8;
for j = 2:2:row
if j~=row
Image(j,:) = Image(j,:) + (ParaC*(Image(j-1,:)+Image(j+1,:)));
else
Image(j,:) = Image(j,:) + (ParaC*(Image(j-1,:)+Image(j-1,:))); %对称延拓
end
end
%step 4： ParaD = 0.46875;
for j = 1:2:row-1
if j==1
Image(j,:) = Image(j,:) + (ParaD*(Image(j+1,:)+Image(j+1,:))); %对称延拓
else
Image(j,:) = Image(j,:) + (ParaD*(Image(j-1,:)+Image(j+1,:)));
end
end
%step 5,6
for j = 1:column/2
Image(2*j-1,:) = Image(2*j-1,:)*ParaEN;
Image(2*j,:)
= -Image(2*j,:)*ParaE;
end
Image = floor(0.5 + Image);
figure(3),imshow(Image);
else %5/3 小波变换 整数可逆变换 ************************************
ParaA = 0.5; ParaB = 0.25;
%**************************行 变 换*****************************
%step 1： ParaA = 0.5;
for j = 2:2:column
if j~=column
Image(:,j) = Image(:,j) - floor(ParaA*(Image(:,j-1)+Image(:,j+1)));
else
Image(:,j) = Image(:,j) - floor(ParaA*(Image(:,j-1)+Image(:,j-1))); %对称延拓
end
end
%step 2：ParaB = 0.25;
for j = 1:2:column-1
if j==1
Image(:,j) = Image(:,j) + floor(ParaB*(Image(:,j+1)+Image(:,j+1)+2)); %对称延拓
else
Image(:,j) = Image(:,j) + floor(ParaB*(Image(:,j-1)+Image(:,j+1)+2));
end
end
figure(2),imshow(Image);
%**************************列 变 换******************************
%step 1： ParaA = 0.5;
for j = 2:2:row
if j~=row
Image(j,:) = Image(j,:) - floor(ParaA*(Image(j-1,:)+Image(j+1,:)));
else
Image(j,:) = Image(j,:) - floor(ParaA*(Image(j-1,:)+Image(j-1,:))); %对称延拓
end
end
%step 2：ParaB = 0.25;
for j = 1:2:row-1
if j==1
Image(j,:) = Image(j,:) + floor(ParaB*(Image(j+1,:)+Image(j+1,:)+2)); %对称延拓
else
Image(j,:) = Image(j,:) + floor(ParaB*(Image(j-1,:)+Image(j+1,:)+2));
end
end
figure(3),imshow(Image);
%***************************************************************
end
for i = 1:row/2
%小波系数重排，分别放入四个子带中，LL,HL,LH,HH
for j = 1:column/2
LL(i,j) = Image(2*i-1,2*j-1);
HL(i,j) = Image(2*i-1,2*j);
LH(i,j) = Image(2*i,2*j-1);
HH(i,j) = Image(2*i,2*j);
end
end
temp=[LL,HL;LH,HH];
figure(4),imshow(temp); %显示变换后的图像
相关推荐
2023年江西萍乡中考道德与法治真题及答案.doc
2012年重庆南川中考生物真题及答案.doc
2013年江西师范大学地理学综合及文艺理论基础考研真题.doc
2020年四川甘孜小升初语文真题及答案I卷.doc
2020年注册岩土工程师专业基础考试真题及答案.doc
2023-2024学年福建省厦门市九年级上学期数学月考试题及答案.doc
2021-2022学年辽宁省沈阳市大东区九年级上学期语文期末试题及答案.doc
2022-2023学年北京东城区初三第一学期物理期末试卷及答案.doc
2018上半年江西教师资格初中地理学科知识与教学能力真题及答案.doc
2012年河北国家公务员申论考试真题及答案-省级.doc
2020-2021学年江苏省扬州市江都区邵樊片九年级上学期数学第一次质量检测试题及答案.doc
2022下半年黑龙江教师资格证中学综合素质真题及答案.doc
