2007年安徽高考理科数学真题及答案.doc-资料库

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2007 年安徽高考理科数学真题及答案本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷第 1 至第 2 页，第Ⅱ卷第 3 至第 4 页。全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。考生注意事项： 1. 答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。 2. 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3. 答第Ⅱ卷时，必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．书写。在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。 4. 考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。参考公式：如果事件 A、B互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件 A、B 相互独立，那么 P(A·B)=P(A)+P(B) 球的表面积公式 S=4Πr2 其中 R 表示球的半径球的体积公式 )1 ( nn 2 ( nn  1+2+…+n 12+22+…+n2= n  )1 V= 3 4 R 3 其中 R表示球的半径 2)(1 6 2 13+23++n3= ( 2 nn 4 )1 第Ⅰ卷（选择题共 55 分）一、选择题：本大题共 11 小题，每小题 5 分，共 55 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 (1)下列函数中，反函数是其自身的函数为 (A) )( xf  x 3 x ,   ,0  （B） )( xf   , 3 x , x  ,1 x x (C) )( xf  x c , x  ( ,  ) (D) )( xf   ,0(  ) (2)设 l,m,n均为直线，其中 m,n在平面  内，“l  ”是 l m 且“l n”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件 (C)充分必要条件（D）既不充分也不必要条件 (3)若对任意 x R,不等式 x ≥ax恒成立，则实数 a的取值范围是 (A)a＜-1 (B) a ≤1 (C) a ＜1 （D）a≥1 （4）若 a 为实数， 2  1  ai 2 i ＝- 2 I，则 a 等于（A） 2 （B）- 2 （C）2 2 （D）-2 2

) （B）1 π 2 x  3 11x  12 π( π5, 12 12 ) ①图象C 关于直线对称; ②函灶 )(xf 在区间内是增函数; ③由 y 2sin3 x 的图象向右平移（B）1 2 y x y x 2 0 x  2 01   0 2 y       （A）0 （7）如果点 P 在平面区域的最小值为（A） 15  π 个单位长度可以得到图象C . 3 （C）2 （D）3 上，点Q 在曲线 x 2 (  y  2 )2  1 上，那么 QP （5）若  x  2 A 2  2 x 8  ，  x  B （A）0 （6）函数 3)( xf  sin( 的图象为 C logR x x 1 ，则 A  (CR B ) 的元素个数为（C）2 （D）3 （B） 4  5 1 （C） 122  （D） 12  （8）半径为 1 的球面上的四点为 , DCBA , , 是正四面体的顶点，则 A 与 B 两点间的球面距离（A） arccos( 3 3 ) （B） arccos( 6 3 ) （C） arccos( （D） ) 1 3 arccos( 1 4 ) （9）如图， 1F 和 2F 分别是双曲线 2 2 x a  2 2 r b  (1 a ,0  b  )0 的两个焦点， A 和 B 是以O 为圆心，以 1FO 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△ ABF2 是等边三角形，则双曲线的离心率为（A） 3 （B） 5 （C） 5 2 （D） 1 3 （10）以 )(x 表示标准正态总体在区间（ x, ）内取值的概率，若随机变量服从正态分布 2N ( , ) ，则概率 P ( )    等于（A） (   ) - (   ) （B）  )1( )1( 

（C） 1(   )   （D） (2 )   （11）定义在 R 上的函数 )(xf 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期.若将方程 )( xf 0 在闭区间  TT,  上的根的个数记为 n ，则 n 可能为（A）0 （B）1 （C）3 （D）5 注意事项: 第Ⅱ卷(非选择题共 95 分) 请用 0.5 毫米黑色水签字笔在答题卡．．．上书写作答,在试题卷上书写作答无效．．．．．．．．．．．. 二、填空题:本大共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在答题卡的相应位置. (12)若(2x3+ 1 x )a 的展开式中含有常数项,则最小的正整数 n等于 . （13）在四面体 O-ABC中， AB  , OBa  , OCb  , Dc 为 BC的中点，E 为 AD 的中点，则OE = （14）如图，抛物线 y=-x2+1 与 x轴的正半轴交于点 A，将线段 OA的 n等分点从左至（用 a，b，c表示）. 右依次记为 P1,P2,…,Pn-1,过这些分点分别作 x 轴的垂线，与抛物线的交点依次为 Q1，Q2，…，Qn-1，从而得到 n-1 个直角三角形△Q1OP1, △Q2P1P2,…, △Qn-1Pn-1Pn-1,当 n→∞时，这些三角形的面积之和的极限为 . (15)在正方体上任意选择 4 个顶点，它们可能是如下各种几何形体的 4 个顶点，这些几何形体是（写出所有正确结论的编号．．）. ①矩形； ②不是矩形的平行四边形； ③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体； ④每个面都是等边三角形的四面体； ⑤每个面都是直角三角形的四面体. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 79 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （16）（本小题满分 12 分） , )( xf为   cos( 2 x   ) 8 的最小正周期， a  (tan( a  ),1),  1 4 求已知 0＜a＜  4 2    cos  (2sin sin  )  2 cos . (17) (本小题满分 14 分) 如图，在六面体 ABCD－A1B1C1D1 中，四边形 ABCD是边长为 2 的正方形，四边形 A1B1C1D1 是边长为 1 的正方形，DD1⊥平面 A1B1C1D1，

DD1⊥平面 ABCD，DD1＝2. （Ⅰ）求证：A1C1 与 AC 共面，B1D1 与 BD 共面；（Ⅱ）求证：平面 A1ACC1⊥平面 B1BDD1；（Ⅲ）求二面角 A－BB1－C 的大小（用反三角函数值圾示）. (18) (本小题满分 14 分) 设 a≥0，f (x)=x－1－ln2 x＋2a ln x（x>0）. （Ⅰ）令 F（x）＝xf＇（x），讨论 F（x）在（0.＋∞）内的单调性并求极值；（Ⅱ）求证：当 x>1 时，恒有 x>ln2x－2a ln x＋1. (19) (本小题满分 12 分) 如图，曲线 G的方程为 y2=20（y≥0）.以原点为圆心，以 t（t>0）为半径的圆分别与曲线 G和 y轴的正半轴相交于点 A与点 B.直线 AB与 x轴相交于点 C. （Ⅰ）求点 A的横坐标 a与点 C的横坐标 c的关系式；（Ⅱ）设曲线 G上点 D的横坐标为 a＋2，求证：直线 CD的斜率为定值. (20) (本小题满分 13 分) 在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有 6 只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有 8 只蝇子：6 只果蝇和 2 只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到．．两只苍蝇都飞出，再关闭小孔.以ξ表示笼内还剩下的果蝇．．．．．的只数.

（Ⅰ）写出ξ的分布列（不要求写出计算过程）；（Ⅱ）求数学期望 Eξ；（Ⅲ）求概率 P（ξ≥Eξ）. (21) (本小题满分 14 分) 某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为 a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加 d（d>0），因此，历年所交纳的储务金数目 a1，a2，…是一个公差为 d的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利.这就是说，如果固定年利率为 r（r>0），那么，在第 n年末，第一年所交纳的储备金就变为 a1（1＋r）a－1，第二年所交纳的储备金就变为 a2（1＋r）a－2，……，以 Tn表示到第 n 年末所累计的储备金总额. （Ⅰ）写出 Tn与 Tn－1（n≥2）的递推关系式；（Ⅱ）求证：Tn＝An＋Bn，其中｛An｝是一个等比数列，｛Bn｝是一个等差数列.

参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题 5 分，满分 55 分． 1．Ｄ 6．Ｃ二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题 4 分，满分 16 分． 5．Ｃ 10．Ｂ 2．Ａ 7．Ａ 3．Ｂ 8．Ｃ 4．Ｂ 9．Ｄ 11．Ｄ 12．7 14． 1 3 13． 1 2 a  1 4 b  1 4 c 15．①③④⑤ 三、解答题 16．本小题主要考查周期函数、平面向量数量积与三角函数基本关系式，考查运算能力和推理能力．本小题满分 12 分．解：因为为 ( ) f x  x cos 2    π 8    的最小正周期，故 π ．因 m·a b ，又 a b·  cos     ·   tan    1 4   2 ．故 cos     ·   tan 1 4     π 4 由于 0   ，所以 2cos )   2    cos   sin 2( sin   m  2 ． 2cos  2 sin(2     sin cos    2 π)  2 2cos cos sin 2   sin      2cos sin )    cos (cos     sin  2cos  1 tan  1 tan     2cos tan    ·    π 4     2(2  ) m ． 17．本小题主要考查直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、二面角及其平面角等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力．本小题满分 14 分．解法 1（向量法）：以 D 为原点，以 DA DC DD 1 ，，所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系 D xyz 如图，则有 (2 0 0) A ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． B (2 2 0) C (0 2 0) (1 0 2) A 1 B (11 2) 1 C (0 1 2) 1 D (0 0 2) 1

，，，  D B 1 1  (11 0) DB ，，，   (2 2 0) ，，． z 1D 1A 1C 1B D A x C y B ，（Ⅰ）证明： ∵ ∴  AC 1 1  AC  AC  AC    ( 11 0) ，，，   2 AC DB ， 1 1  1AC ( 2 2 0)    2 D B 1 1  平行， DB ．  与 1 1D B  ∴ 与 1 平行，于是 1 1AC 与 AC 共面， 1 1B D 与 BD 共面． (0 0 2) ( 2 2 0) 0 ，，，，  ·    DD AC  · （Ⅱ）证明： 1   DB AC  ·  1DD  (2 2 0) ( 2 2 0) 0  AC ，，，，  ， DB AC  ·  ． ∴ ， 1DD 与 DB 是平面 1 B BDD 内的两条相交直线． 1 AC ∴ 平面 1 B BDD ． 1 又平面 1 A ACC 过 AC ． 1 A ACC  平面 1 B BDD ． ∴平面 1 1  AA （Ⅲ）解： 1 1  BB ，，， 1   ( 1 0 2)  CC ，，， 1    ( 1 1 2)  (0  ，，． 1 2) 设 z  ，， 1 y 1 x 1 ( ) 为平面 1 1 A ABB 的法向量，  BB 1    y 1 x 1  n· 12 z  0 ．    x 1 12 z  0 ，于是 1 y  ，取 1 1 z  ，则 1 0 x  ， (2 0 1)  ，， n 2 ． z  ，， y x 2 ( 2 ) 2 为平面 1 B BCC 的法向量，    x 2 y 2  22 z  0 ， m·   y 2  22 z  0 ． 1  CC 1 n  AA 1 n· 设 m  BB 1 m· 于是 2 x  ，取 2 z  ，则 2 y  ， 0 1 2 m (0 2 1)  ，，． cos m n ，  m n · m n  1 5 ． ∴二面角 A BB C  的大小为  1 解法 2（综合法）： π arccos  1 5 ．

1D 1A 1C 1B D E A M F C O B （Ⅰ）证明： 1D D  ∵ 平面 1 1 A B C D ， 1D D  平面 ABCD ． 1 1 ∴ 1D D DA ， 1D D DC ，平面 1 1 A B C D ∥平面 ABCD ． 1 1 于是 1 1C D CD∥ ， 1 1D A DA∥ ．设 E F，分别为 DA DC，的中点，连结 EF A E C F 1 ，，， 1 有 1 1 A E D D C F D D DE ∥ ，， ∥  1 ， DF  1 ． 1 1 ∴ ∥ ， A E C F 1 1 于是 1 1AC EF∥ ．由 DE DF 1AC 1  ，得 EF AC∥ ， 1AC 与 AC 共面． AC∥ ， 1 故 1 过点 1B 作 1B O  平面 ABCD 于点O ，则 1 B O A E B O C F 1 ， ∥ ∥ 1 1 ，连结OE OF，，于是 OE B A 1 1 ∥ ， OF B C ∥ 1 1 ， OE OF∴ ． ∵ B A 1 1 A D 1 1 ， OE AD∴ ． ∵ B C 1 1 C D 1 1 ， OF CD∴ ．所以点O 在 BD 上，故 1 1D B 与 DB 共面．平面 ABCD ， 1D D AC ∴ ， ∵ （Ⅱ）证明： 1D D  又 BD AC 1D D 与 BD 是平面 1 （正方形的对角线互相垂直）， B BDD 内的两条相交直线， 1 AC ∴ 平面 1 B BDD ． 1 又平面 1 A ACC 过 AC ，∴平面 1 A ACC  平面 1 B BDD ． 1 1 1 （Ⅲ）解：∵直线 DB 是直线 1B B 在平面 ABCD 上的射影， AC DB ，根据三垂线定理，有 AC B B 1 ．过点 A 在平面 ABB A 内作 1 1 AM B B 1 于 M ，连结 MC MO，，

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