怎样解题.pdf(波利亚的《怎样解题》(中文版pdf))

发布时间：2022-06-08 发布人：admin 分类：说明书资料大小：0.88M 资料格式：pdf 举报版权申诉

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第一部分在教室中

第二部分怎样解题一段对话

第三部分探索法小词典

第四部分问题，提示，解答

阎育苏译北京：科学出版社，1982年

第一部分在教室中目的 1．帮助学生教师最重要的任务之一是帮助学生。这个任务并不很简单，它需要时间、实践、热忱以及健全合理的原则。学生应当有尽可能多的独立工作经验。但是如果让他独自面对问题而得不到任何帮助或者帮助得不够。那么他很可能没有进步。但若教师对他帮助过多，那么学生却又无事可干，教师对学生的帮助应当不多不少，恰使学生有一份合理的工作。如果学生不太能够独立工作，那末教师也至少应当使他感觉自己是在独立工作。为了做到这一点，教师应当考虑周到地、不显眼地帮助学生。不过，对学生的帮助最好是顺乎自然。教师对学生应当设身处地，应当了解学生情况，应当弄清学生正在想什么，并且提出一个学生自己可能会产生的问题，或者指出一个学生自己可能会想出来的步骤。 2．问题、建议、思维活动在打算对学生进行有效、不显眼而又自然的帮助时，教师不免一而再，再而三地提出一些相同的问题，指出一些相同的步骤。这样，在大量的问题中，我们总是问：未知数是什么?我们可以变换提法，以各种不同的方式提问同一个问题：求什么?你想找到什么?你假定求的是什么?这类问题的目的是把学生的注意力集中到未知数上。有时，我们用一条建议：看着未知数，来更为自然地达到同一效果。问题与建议都以同一效果为目的：即企图引起同样的思维活动。从作者看来，在与学生讨论的问题中，收集一些典型的有用问题和建议，并加以分类是有价值的。前面这张表就包含了这类经过仔细挑选与安排的问题和建议；它们对于那些能独立解题的人也同样有用。读者充分熟悉这张表并且看出在建议之后所应采取的行动之后，他会感到这张表中所间接列举的是对解题很有用的典型思维活动。这些思维活动在表中的次序是按其发生的可能性大小排列的。 3．普遍性表中所提问题与建议的重要特点之一是普遍性，例如：未知数是什么?已知数是什么?条件是什么?这些问题都是普遍适用的，对于所有各类问题，我们提出这些问题都会取得良好效果。它们的用途不限于任何题目。我们的问题可以是代数的或几何的，数学的或非数学的，理论的或实际的，一个严肃的问题或仅仅是个谜语。这没什么差别，上述问题都是有意义的，而且有助于我们解题。事实上，还存在一个限制，不过这与论题无关。表中某些问题与建议，只能用于“求解题”而不能用于“求证题”。如果我们的问题属于后者，则必须采用别的提问方法，见第三部分“求解题，求证题”这一段。

4．常识我们这张表中的问题与建议是具有普遍性的，但是除去其普遍性以外，它们也是自然的、简单的、显而易见的并且来自于普通常识。例如这条建议：看着未知数!试想出一个具有相同未知数或类似未知数的熟悉的问题，这条建议不管怎样总是劝告你去做你想做的事，而对于你认真要解决的问题并未提出具体的劝告。你是不是肚子饿了?如果你希望搞点吃的，你就会想起你所熟悉的搞到食物的一些办法。你是不是有一个几何作图题?如果你想作一个三角形，你也会想起你所熟悉的一些作三角形的办法。你是否有一个任意的问题?你若希望找出某个未知数，你就会想起找出这样一个未知数或你所熟悉的类似未知数的一些办法。如果你这样做了，那你的路子也是对头的；这个建议是个好建议，它向你提出一个常能成功的程序。我们表中的所有问题与建议都是自然的、简单的、显而易见的，而且只不过是普通常识；但是这张表把常识概括地加以叙述。这张表所提出的处理办法对于那些认真对待其问题并有某些常识的人来说是很自然的。然而按正确道路行动的人往往不注意用明确的语言来表达其行动，而且他可能根本不会这样做；我们这张表却尝试去表达这些。 5．教师与学生，模仿与实践当教师向学生提出表中的问题或建议时，他可能有两个目的：第一，帮助学生解决手头的问题；第二，培养学生将来能够独立解题的能力。经验证明，适当使用我们表中的问题与建议，常能对学生有所裨益。此表有两个特点：常识性与普遍性。由于此表来源于普通常识，所以显得很自然，学生自己也会提出这类问题。由于此表具有普遍性，所以它们对学生的帮助并非强加于人；它们只不过指出了一般的方向，而留给学生去做的还很多。上述两个目的是密切相关的。如果学生在解决手边的问题中获得成功，他就提高了一些解题的能力。这时，我们不应该忘记我们所提问题具有普遍性而且可适用于许多情况。如果同一个问题反复地对学生有所帮助，那么他就会注意到这个问题，于是在类似的情况下，他自己就会提出这个问题。通过反复地提出这个问题，他总会有一次成功地诱导出正确的念头。通过这样一次成功，他便发现了利用这个问题的正确途径，于是，他真正地领会了它。学生可能对我们表中的一些问题领会得很好，以致他最终能够在恰当的时刻向自己提出正确的问题，并进行相应的自然而活跃的思维活动。这样，学生就无疑从我们的表中得到了尽可能多的收获。为了得到尽可能好的结果，教师可以做些什么事呢? 解题，譬如，就好象游泳一样，是一种实际技能。当你学习游泳时，你模仿其他人的手足动作使头部保持在水面上并最后通过实践(实地练习游泳)来学会游泳。当试图解题时，你也必须观察并模仿其它人在解题时的所作所为，并且最后通过实践来学会解题。

希望提高学生解题能力的教师，必须培养学生的兴趣，然后给他们提供大量的机会去模仿与实践。如果教师想要在他的学生中发展相应于我们表中的问题与建议的思维活动，那么他就应该尽可能地经常而自然地向学生提出这些问题和建议。此外，当教师在全班面前解题时，他应当使其思路更吸引人一些，并且应当向自己提出那些在帮助学生时所使用的相同问题。由于这样的指导，学生将终于找到使用表中这些问题与建议的正确方法，并且这样做以后，他将学到比任何具体数学知识更为重要的东西。 6．四个阶段主要部分，主要问题在求解过程中，我们很可能再三地改变我们的观点，或者改变考虑问题的途径。我们应该不断地变更我们的出发点。当我们开始着手解题时，我们对问题的概念可能很不完整；当我们有些进展以后，我们的看法就不同了；而当我们几乎已经得到解答的时候，看法就会更不相同。为了把我们表中的问题与建议进行适当分组，我们把工作分为四个阶段。首先，我们必须了解问题；我们必须清楚地看到要求的是什么?其次，我们必须了解各个项之间有怎样的联系?未知数和数据之间有什么关系?为了得到解题的思路，应该制定一个计划。第三，实现我们的计划。第四，我们回顾所完成的解答，对它进行检查和讨论。上述每一阶段都有其重要性。可能会有这样的情况：一个学生想出了一个异常好的念头，于是跳过所有的预备步骤，解答就脱口而出了。如此幸运的念头当然是求之不得的，但是也可能发生很不如愿和很不走运的事：即，学生通过上述四阶段中的任何一个阶段都没有想出好念头。最糟糕的情况是：学生并没有理解问题就进行演算或作图。一般说来，在尚未看到主要联系或者尚未作出某种计划的情况下，去处理细节是毫无用处的。如果学生在实行其计划的过程中检查每一步，就可以避免许多错误。如果学生不去重新检查或重新考虑已完成的解答，则可能失去某些最好的效果。 7、弄清问题回答一个你尚未弄清的问题是愚蠢的。去做一件你不愿干的事是可悲的。在校内外，这种愚蠢和可悲的事情却经常发生，但教师应力求防止在他的班级里发生这样的事。学生应当弄清问题，然而他不仅应当弄清它，而且还渴望解出它。如果学生对问题没弄清或不感兴趣，这并不是他的过错，问题应当精选，所选的题目不太难但也不要太容易，应顺乎自然而且趣味盎然，并且有时在叙述方式上也应当自然而有趣。首先，必须了解问题的文字叙述。教师在某种程度上可以检查这一点，他可以要求学生重新叙述这题目，而学生应能流利地重新叙述这个问题。学生还应当能够指出问题的主要部分，即未知数，已知数据，条件。所以老师提问时，不要错过这样的问题：未知数是什么?已知数据是什么?条件是什么? 学生应该仔细地、重复地并且从各个方面来考虑问题的主要部分。如果问

题和某一图形有关，那末他应该画张图并在上面标出未知数与已知数据。如果对这些对象需要给以名称，他应该引入适当的符号。适当地注意选择符号，他就会被迫考虑这些必须选择符号的对象。在此预备阶段中，假定我们并不期望有一个明确的回答，而只不过想有一个临时性的回答或一个猜测，那么另外还有一个问题可能是有用的，即：满足条件是否可能呢? (在本书第二部分中，把“弄清问题”分成两个阶段：“熟悉问题”和“深人理解问题”)。 8、例子让我们说明上节中的某几点内容。我们选下列简单问题：已知长方体的长、宽、高，求其对角线长度。为了对此问题作有益的讨论，学生必须熟悉毕达哥拉斯定理及其在平面几何中的某些应用。他们对立体几何可能只有很少的系统知识。教师这时可以依赖学生对空间关系的朴素知识。教师可以通过使问题具体化而使之有趣。如教室就是个长方体，其尺寸可以测量，也可以估计，要求学生不作测量，间接地求出教室的对角线长度。教师指出教室的长、宽、高，用手势说明什么是对角线，通过不断地和教室相联系而使他画在黑板上的图变得更加形象。以下是老师与学生间的对话： “未知数是什么?” “长方体对角线的长度。” “已知数是什么?” “长方体的长、宽、高。” “引入适当的符号，用哪个字母表示未知数?” “x” “长、宽、高应选哪些字母?” “a，b，c” “联系a，b，c与x的条件是什么?” “x是长方体的对角线，长方体的长、宽、高为a，b，c” “这是个合理的问题吗?我意思是说，条件是否充分，足以确定未知数吗?” “是的，是充分的。如果我们知道a，b，c，我们就知道平行六面体。如果平行六面体被确定，则对角线也被确定了。” 9．拟定计划当我们知道，或至少大体上知道，为了求解未知数，必须完成哪些计算、要作哪些图的时候，我们就有了一个计划。从弄清问题到想出一个计划，其过程可能是漫长而曲折的。事实上，求解一个问题的主要成绩是构想出一个解题计划的思路。这个思路可能是逐渐形成的。或者，在明显失败的尝试和一度犹豫不决之后，突然闪出了一个“好念头”。老师为学生所能做的最大的好事是通过比较自然的帮助，促使他自己想出一个好念头。我们下面就要讨论的问题与建议正是要诱发这样一种好念头。

为了弄清学生的心理活动，老师应当回想他自己的经验，回顾他自己在解题时碰到的困难与取得成功的经验。我们当然知道，如果我们对该论题知识贫乏，是不容易产生好念头的。如果我们完全没有知识，则根本不可能产生好念头。一个好念头的基础是过去的经验和已有的知识。仅仅靠记忆不足以产生好念头。但若不重新收集一些有关事实，则也不会出现好念头。只有材料还不足以盖房子，但是不收集必需的材料也盖不了房子。解决数学问题所必需的材料是我们早已获得的数学知识的某些有关内容，如以前解决的问题，以前证明过的定理。因此，以下列问题开始工作常常是合适的：你知道一个与此有关的问题吗? 困难就在于：通常有相当多的问题与我们现在手上的问题有关，即，与它有某种共同之处。我们怎样挑出其中一个或几个确实有用的问题呢?我们建议把力量放在主要的共同之处上：看着未知数!试想起一个具有相同或相似未知数的熟悉的问题来。如果我们成功地回想起一个与当前问题密切相关的早已解决的问题，那是很幸运的。我们应当争取这样的运气；通过探索我们是可以得到它的。这里有个问题与你的问题有关，且早已解决，你能利用它吗? 上述问题，如能很好地理解和认真地加以考虑，常常有助于激发起一连串正确的想法；但它们并不总是有用的，它们并非魔法。如果这些问题不行，我们必须寻找某些其他的适当接触点，并且探索问题的各个方面；我们不得不变化、变换、修改该问题。你能否重述这个问题?我们表中的某些问题提示了改变问题的专门方法，例如普遍化、特殊化、应用类比、舍去一部分条件等等；具体细节是重要的，但我们现在不能深入讨论。改变问题可能导致提出某种适当的辅助问题：如果你不能解决所提出的问题，则应首先尝试去解决某些与此有关的问题。尝试去应用各种已知的问题或定理，考虑各种修改，对各种辅助问题进行试验，我们可能离开原来的问题太远，甚至最后有失掉它的危险。但是还有一个很好的问题可以把我们带回原处：你是否利用了所有的已知数据?你是否利用了整个条件? 10．例子我们回到第8节中的例子。 “你是否知道一个与此有关的问题?” …… “看着未知数，你是否知道一个具有相同未知数的问题?” “好，未知数是什么?” “平行六面体的对角线。” “你是否知道任何具有相同未知数的问题?” “不，我们还没有任何关于平行六面体对角线的问题” “你是否知道任何具有相似未知数的问题?”

…… “你看，对角线是个线段，就是直线的一段。你从来没有解决过一个未知数是直线长度的问题?” “当然，我们曾经解决过这样的问题，例如找出直角三角形的一个边。” “好啊! 这里有一个知你的问题有关的问题，且早已解决，你能利用它吗？” “你真走运，你想起了一个与你当前问题有关的问题，而且这个问题你以前已经解决了。你愿意利用它吗?为了能利用它，你能否引进某个辅助元素?” 图1 “看这里，你所想起的是一个关于三角形的问题。图中有三角形吗?” 我们希望这最后的提示已明白得足以诱发出解题的思路(即引入一个在图 1中用阴影画出的直角三角形)。这个引入的直角三角形的斜边就是我们所要求的对角线。但是教师应当对下述情况有所准备：即使这样明白的提示也不能使学生开窍，那么他应当动用所有越来越明显的提示。 “你是否想在图1中有个三角形?” “在图中，你想有哪种三角形?” “你现在还不能求出这对角线；但你说过你能求出三角形的一个边。那么现在你该怎么办呢?” “如果对角线是三角形的一个边，你能找出它吗?” 经过或多或少的帮助后，学生终于成功地引进了决定性的辅助元素，即图中阴影三角形，在鼓励学生进入实际计算之前，教师应确信其学生对问题的理解已有足够的深度。 “我想，画出那个三角形是个好主意，你现在有了个三角形，但是你是否有未知数?” “未知数是三角形的斜边，我们可用毕达哥拉斯定理去计算它” “如果两边为已知，你会计算。但它们是已知的吗?”

“一个边已给定，是c。另一个边，我想也不难求出。是的，另一边是另一个直角三角形的斜边。” “很好!现在我看出你有个计划了。” 11．实现计划想出一个计划，产生一个求解的念头是不容易的。要成功需要有许多条件，如已有的知识、良好的思维习惯、目标集中，还要有好运气。但实现计划则容易得多，我们所需要的主要是耐心。计划仅给出一个一般性的大纲，我们必须充实细节并耐心地检查每一个细节，直到每一点都完全清楚了，没有任何可能隐藏错误的含糊之处为止。如果学生真的拟定出一个计划，则教师就比较清闲了。现在的主要危险是学生可能会忘记他的计划。因为那些从外界接受计划的和根据教师的权威来采纳某个计划的学生，很容易发生这种现象；但若是学生自己搞出来的计划(即便经过某种帮助)并且学生满意地看出了最终的思路，则他就不那么容易忘记。教师必须坚持让学生检查每一步骤。根据“直观”或“形式”上的论证，我们可以使自己相信每一步骤的正确性。我们可以集中力量在有问题的疑点上，直到完全搞清楚，毫不怀疑每一步骤都是正确的为止；或者我们可以根据形式推理的法则推导出有问题的这一点 (在许多重要的场合，直接观察与形式证明二者间的区别是足够明显的；更进一步的讨论让我们留给哲学家们去进行吧!) 主要之点是：学生应当真正地相信每一步骤的正确性。在某些情况老师可以强调“看出来”与“证明”二者之间的差别而提出：你能清楚地看出这一步骤是正确的吗?同时你也能证明这一步骤是正确的吗? 12．例子我们继续第10节末尾留下的工作。学生最后已经得到了解题的思路。他看出未知数x是直角三角形的斜边，而给定的高度c是边长之一，另一边则是六面体的一个面的对角线。很可能这刚学生被催促引入一个适当的符号。他应当选择y表示另一边，即面上的对角线，其两边为a和b。学生现在可能看得更清楚：解题的思路就是应该引进一个辅助未知数y0最后，陆续对这两个直角三角形进行考虑之后，他得到 x2=y2+c2 y2=a2+b2于是消去辅助未知数y，从而有 x2=a2+b2+c2 b 2 x= 如果学生正确地进行上述细节运算，老师没有理由去打断他，除非必要时 + 2 c 2 a + 提醒他应当检查每一步。这样，教师可以问：

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