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2008年全国卷Ⅰ高考理科数学真题及答案.doc
2008 年全国卷Ⅰ高考理科数学真题及答案
本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分．第 I 卷 1 至 2 页，第 II
卷 3 至 9 页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
考生注意：
1．答题前，考生在答题卡上务必用 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、
填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．
2．每小题选出答案后，用 2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效
．．．．．．．．．．
3．本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
参考公式：
如果事件 A B， 互斥，那么
(
P B
(
P A B
(
)
P A
)
)
如果事件 A B， 相互独立，那么
(
P A B
)
(
(
P A P B
)
)
球的表面积公式
S
2
4π
R
其中 R 表示球的半径
球的体积公式
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P ，那么
V
n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率
0 1,2
n
， ， ，
C P
( )
P k
n
(1
P
n k
k
n
(
k
)
k
)
一、选择题
3
4 π
R
3
其中 R 表示球的半径
1．函数
(
x x
y
A．
C．
|
x x≥
|
x x
≥
x
1)
的定义域为（
B．
0
D．
1
0
）
|
x x≥
1
| 0
x≤ ≤
1
x
2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶
路程 s 看作时间t 的函数，其图像可能是（
s
）
s
s
s
O
t
O
t
O
t
O
t
A．
B．
C．
D．
3．在 ABC△
中， AB
c ， AC
b ．若点 D 满足
BD
DC
2
，则 AD
（
）
A．
2
3
b
1
3
c
4．设 a R ，且
(
B．
5
3
c
2
3
b
C．
2
3
b
1
3
c
D．
1
3
b
2
3
c
a i
2
)
i
为正实数，则 a （
D． 1
a
a
， 3
5
a
C．0
4
4
）
10
，则它的前 10 项的和 10S （
）
B．1
A．2
5．已知等差数列 na 满足 2
a
A．138
B．135
C．95
D．23
6．若函数
y
(
f x
1)
的图像与函数 ln
y
x
1
的图像关于直线 y
x 对称，则 ( )
f x
（
）
A．e2x-1
7．设曲线
y
x
x
A．2
B．e2x
1
1
8．为得到函数
y
C．e2x+1
D． e2x+2
在点 (3 2)， 处的切线与直线
ax
y 垂直，则 a （
1 0
）
B．
1
2
x
cos 2
C．
1
2
D． 2
π
3
的图像，只需将函数 sin 2
y
x
的图像（
）
A．向左平移
C．向左平移
5π
12
5π
6
个长度单位
B．向右平移
个长度单位
D．向右平移
5π
12
5π
6
个长度单位
个长度单位
9．设奇函数 ( )
f x 在 (0
) ， 上为增函数，且 (1) 0
，则不等式
f
集为（
）
A．( 1 0)
， ，
(1
)
B．(
，
1)
(0 1)
，
C．(
，
1)
(1
，
)
D．( 1 0)
(0 1)
， ，
f
(
x
)
( )
f x
x
的解
0
10．若直线
通过点 (cos
M ， ，则（
sin )
1
）
y
x
b
a
b ≤
2
A． 2
a
1
B． 2
a
2
b ≥
1
C．
1
2
a
≤
1
2
b
1
D．
1
2
a
≥
1
2
b
1
11．已知三棱柱
ABC A B C
1 1
1
的侧棱与底面边长都相等， 1A 在底面 ABC 内的射影为
ABC△
的中心，则 1AB 与底面 ABC 所成角的正弦值等于（
）
A．
1
3
B．
2
3
C．
3
3
D．
2
3
12．如图，一环形花坛分成 A B C D
种 1 种花，且相邻的 2 块种不同的花，则不同的种法总数为（
A．96
D．48
B．84
C．60
， ， ， 四块，现有 4 种不同的花供选种，要求在每块里
）
A
B
D
C
第Ⅱ卷
注意事项：
1．答题前，考生先在答题卡上用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填
写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．
2．第Ⅱ卷共 7 页，请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，
在试题卷上作答无效
．．．．．．．．．．
3．本卷共 10 小题，共 90 分．
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上．
（注意：在试题卷上作答无效
．．．．．．．．．）
13．13．若 x
y， 满足约束条件
y
y
x
x
0
≥
3
x
≤ ≤
0
，
则 2
0
≥
，
3
，
z
x
的最大值为
y
．
14．已知抛物线
y
ax
2 1
的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点
的三角形面积为
．
中， AB BC
15．在 ABC△
椭圆的离心率 e
16．等边三角形 ABC 与正方形 ABDE 有一公共边 AB ，二面角 C AB D
B ．若以 A B， 为焦点的椭圆经过点 C ，则该
的余弦值为
cos
，
．
7
18
，M、N分别是 AC、BC的中点，则 EM、AN所成角的余弦值等于
3
3
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分 10 分）
（注意：在试题卷上作答无效
．
．．．．．．．．．）
的内角 A B C， ， 所对的边长分别为 a、b、c，且
a
cos
B b
cos
A
．
c
3
5
设 ABC△
（Ⅰ）求 tan cotA
（Ⅱ）求 tan(
B 的值；
)
A B 的最大值．
18．（本小题满分 12 分）
（注意：在试题卷上作答无效
．．．．．．．．．）
中，底面 BCDE 为矩形，侧面 ABC 底面 BCDE ，
BC ，
2
CD ，
2
四棱锥 A BCDE
AB AC
（Ⅰ）证明： AD CE ；
．
（Ⅱ）设CE 与平面 ABE 所成的角为 45 ，求二面角C AD E
的大小．
A
B
E
C
D
19．（本小题满分 12 分）
（注意：在试题卷上作答无效
．．．．．．．．．）
已知函数
( )
f x
3
x
2
ax
， a R ．
1
x
（Ⅰ）讨论函数 ( )
f x 的单调区间；
（Ⅱ）设函数 ( )
f x 在区间
2
3
， 内是减函数，求 a 的取值范围．
1
3
20．（本小题满分 12 分）
（注意：在试题卷上作答无效
．．．．．．．．．）
已知 5 只动物中有 1 只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验
结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方法：
方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．
方案乙：先任取 3 只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这
3 只中的 1 只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外 2 只中
任取 1 只化验．
（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；
（Ⅱ）表示依方案乙所需化验次数，求的期望．
21．（本小题满分 12 分）
（注意：在试题卷上作答无效
．．．．．．．．．）
双曲线的中心为原点O ，焦点在 x 轴上，两条渐近线分别为 1
l
l， ，经过右焦点 F 垂直于 1l
2
l
的直线分别交 1
2
l， 于 A B， 两点．已知 OA AB OB
、 、 成等差数列，且 BF
与 FA
同向．
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）设 AB 被双曲线所截得的线段的长为 4，求双曲线的方程．
22．（本小题满分 12 分）
（注意：在试题卷上作答无效
．．．．．．．．．）
设函数 ( )
f x
x
x
ln
x
．数列 na 满足
0
a
1
1
， 1
n
a
(
f a
n
)
．
（Ⅰ）证明：函数 ( )
f x 在区间 (0 1)， 是增函数；
（Ⅱ）证明：
a
n
a
n
1 1
；
（Ⅲ）设
b
a ， ，整数
1( 1)
k
a
≥
1
1 ln
a
b
b
．证明： 1ka
．
b
参考答案
一、选择题
1、C
7、D
12.B.
2、A
8、A
3、A
9.D
4、D
10.D．
5、C
6、B
11.B．
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上．
13.答案：9．
14. 答案：2.
15.答案：
案：
1
6
.
3
8
.
16. 答
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.解析：（Ⅰ）由正弦定理得
=
a=
,
b
cos
B
sin
acosB-bcosA=(
sin
c
A
sin
C
sin
c
B
sin
C
sin
sin
B
A
sin
sin
C
C
cos
sin
cos
B
B
A
)
sin(
BA
sin
cos
cos
A
B
A
cos
sin
cos
A
B
A
(tan
cot
)1
B
c
A
cot
1
tan
A
B
)1
cot
B
A
c
1
cot
A
B
解得 tanAcotB=4
(tan
tan
sin
sin
依题设得
3
5
=
=
c
cos
A
)c
A
c
B
B
c
(II)由（I）得 tanA=4tanB，故 A、B 都是锐角，于是 tanB>0
tan(A-B)=
tan
tan
A
B
1
tan
tan
A
B
tan3
B
2
tan41
3
4
B
，
=
≤
1
2
且当 tanB=
时，上式取等号，因此 tan(A-B)的最大值为
3
4
18．解：
(I)作 AO⊥BC，垂足为 O，连接 OD，由题设知，AO⊥底面 BCDE，
且 O 为 BC 中点，
由
OC
CD
CD
DE
1
2
知，Rt△OCD∽Rt△CDE，
从而∠ODC=∠CED，于是 CE⊥OD，
由三垂线定理知，AD⊥CE
（II）由题意，BE⊥BC，所以 BE⊥侧面 ABC，又 BE 侧面 ABE，所以侧面 ABE⊥侧面 ABC。
作 CF⊥AB，垂足为 F，连接 FE，则 CF⊥平面 ABE
故∠CEF 为 CE 与平面 ABE 所成的角，∠CEF=45°
由 CE= 6 ，得 CF= 3
又 BC=2，因而∠ABC=60°，所以△ABC 为等边三角形
作 CG⊥AD，垂足为 G，连接 GE。
由（I）知，CE⊥AD，又 CE∩CG=C，
故 AD⊥平面 CGE，AD⊥GE，∠CGE 是二面角 C-AD-E 的平面角。
AC
CD
AD
2
2
2
3
6
1(
2
CG=
GE=
DE
2
AD
AD
DE
)
2
2
5
10
3
,
CE
,6
6
4
3
2
10
3
2
3
10
10
6
10
3
cos∠CGE=
CG
2
GE
2
CG
2
GE
2
CE
所以二面角 C-AD-E 为 arccos(
10
10
)
解法二：
（I）作 AO⊥BC，垂足为 O，则 AO⊥底面 BCDE，且 O 为 BC
的中点，以 O 为坐标原点，射线 OC 为 x 轴正向，建立如
图所示的直角坐标系 O-xyz.
设 A（0,0,t），由已知条件有
C(1,0,0), D(1, 2 ,0), E(-1,
2 ,0),
CE
),0,2,2(
AD
,2,1(
t
)
所以
CE
AD
0
，得 AD⊥CE
（II）作 CF⊥AB，垂足为 F，连接 FE，
设 F（x,0,z）则 CF =(x-1,0,z),
BE
),0,2,0(
CF
BE
0
故 CF⊥BE，又 AB∩BE=B，所以 CF⊥平面 ABE，
∠CEF 是 CE 与平面 ABE 所成的角，∠CEF=45°
由 CE= 6 ，得 CF= 3
又 CB=2，所以∠FBC=60°，△ABC 为等边三角形，因此 A（0，0， 3 ）
作 CG⊥AD，垂足为 G，连接 GE，在 Rt△ACD 中，求得|AG|=
2
3
|AD|
故 G[
2
3
22,
3
3,
3
]
GC
1
3
22,
3
,
3
3
,
GE
5
3
2,
3
,
3
3
又
AD
,2,1(
)3
GC
AD
,0
GE
AD
0
所以
GC与 的夹角等于二面角 C-AD-E 的平面角。
GE
由 cos(
GC,
GE
)=
GC
|
GC
GE
|
GE
|
|
10
10
知二面角 C-AD-E 为 arccos(
10
10
)
（19）解：
（Ⅰ）f´(x)=3x2+2ax+1，判别式Δ=4(a2-3)
（i）若 a> 3 或 a<
3 ，则在
a
,
2
3
a
3
上 f´(x)>0，f(x)是增函数；
a
a
在
在
a
3
a
3
2
3
,
a
2
3
a
3
内 f´(x)<0，f(x)是减函数；
2
3
,
上 f´(x)>0，f(x)是增函数。
（ii）若 3
0，故此时 f(x)在 R 上是增函数。
（iii）若 a=
3 ，则 f´(
a )=0，且对所有的 x≠
3
a 都有 f´(x)>0，故当 a=
3
3
时，f(x)在 R 上是增函数。
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