2008——2009年数理方程试卷与答案.doc-资料库

… … … … 线封密卷评 … … … … … … 理处分 0 按绩成试考者违，息信生考写填准不外线封密，题答要不内线封密 … … … … … … 线封密卷评 … … … … ---○---○--- 学院专业班级学号姓名 ---○---○--- 中南大学考试试卷 200 8~2009 学年二学期数学物理课程时间 110 分钟学时，学分，闭卷，总分 100 分，占总评成绩 % 年月日题号一二三四五六七八九十合计满分得分评卷人复查人得分评卷人一、解下列定解问题 t 2  u a u  tt xx  ( ,0) u x     (0, ) 0 u t   ( ) x  0,0 u x t x    ( ,0)   ( ) x 解：（1）式的通解为 ( , ) u x t  ( f x at 1  )  由（2），（4）可得 f x at 2  ( ) ( ) f x 1  ( ) f x 2  1 2 1 2  ( ) x   ( ) x  1 2 a 1 2 a   0 0 x    ( ) d x    ( ) d c 2 c 2 ( f x at 1  )   时 ( 0 f x at 2  )  1 2 1 2 (  x at  )  (  x at  )  1 2 a 1 2 a x at   0    ( ) d x at   0    ( ) d 100 （4）（5）（6）（7）（8） (1) (2) (3) c 2 c 2 从而有当 x at 当 x at 即 0  时，由（3），（4），有 ( f ( f at 1  ) 2  at )  ( ) g t ( at  0) f 2 (  x )  g ( x a )  ( ) f x 1 ( x  at  0) （9）所以，当 x at 0  时，由（9）式可得： ( )] f x at x 2 [ (  at    ) f 2 (5) ( g t  ) x a  (  at  x )  将（7），（8），（10）代入（4），有  g 1 2 a  ) x  at  a at x     ( f at 1 c 2 ( ) d (  0 x ) （10）

x at  x at  x at  at x      ( ) d    ( ) d ( , ) u x t      1 2 1 2 [ (  x at  )  (  x at  )]  [ (  x at  )  (  x at  )]  1 2 a 1 2 a 得分评卷人二、解下列定解问题 au u  t ( ,0) u x 0  x sin     x 解：将（1）式对t ， x 求导，得   au xt au   u tt u tx xx     x , t 0 0 0 x  at ( g t  ) x a 0   x at 0 (1) (2) （4）*a-（3）有（5）式的通解为 u tt 2 a u xx  0 ( , ) u x t  ( f x at 1  )  f x at 2  ( ) af x at   ( 2 )   af 1 ( x at  )  将（6）代入（1），有  af 1 ( x at  )  即  12 af ( x at  ) 0  所以 1( f x at  )  c af x at   ( 2 （4） (5) （6）（7） ) 0  将（6）式代入（2），得 ( ) f x 1  ( ) f x 2  sin x ( x  0) 所以： 2( f x at  )  sin( x at  )  c （8）由（6）、（7）、（8）式，有 ( u x t   ) sin( x at  ) … … … … 线封密卷评 … … … … … … 理处分 0 按绩成试考者违，息信生考写填准不外线封密，题答要不内线封密 … … … … … … 线封密卷评 … … … … ---○---○--- 学院专业班级学号姓名 ---○---○---

… … … … 线封密卷评 … … … … … … 理处分 0 按绩成试考者违，息信生考写填准不外线封密，题答要不内线封密 … … … … … … 线封密卷评 … … … … ---○---○--- 学院专业班级学号姓名 ---○---○--- 得分评卷人三、解下列定解问题 2   0 0 u a u  xx t  ( , ) 0 (0, ) u l t u t    x  ( ) 0 ( ,0) u x x    x , l t   0 t  l   x 解：令 ( , ) u x t  ( ) ( ) X x T t 代入（1），（2），有 a T t ( ) T t ( ) 0   2  ( ) X x  X (2) 0  X (0) 0,  X l ( ) 0  解特征值问题（6），（7）得   n 2 2  2 l ( ) X x n  C n sin n l x  将   n 2 2  2 l 代入（5），有  ( ) T t n   0 (1) (2) (3) n  0,1,2,....... （4）（5）（6）（7） 2  2 n a 2 l T t n ( ) 0  解得所以于是 ( ) T t n  b n exp(  2 n a 2 / l 2 t 2 ) ( , ) u x t n  A n exp[  2 n a 2 2  t / l 2 ]sin n x  l ( , ) u x t  代入（3），有   n  0 A n exp[  2 n a 2 2  t / l 2 ]sin n x  l (8)   n  0 A n sin n x  l   ( ) x 将（9）代入（8）既得原定解问题的解。

A n  2 l l  0  ( )sin n  l d  ( n  1,2,....) （9） … 从而 … … … ( , ) u x t ---○---○--- 学院专业班级学号姓名 ---○---○--- 线封密卷评 … … … … … … 理处分 0 按绩成试考者违，息信生考写填准不外线封密，题答要不内线封密 … … … … … … 线封密卷评 … … … … 将（9）代入（8）既得原定解问题的解,所以 2 n a 2 l n  l   ( )sin exp[ d  2 l    0 n 1  l 2 2  t ]sin n x  l ( n  1,2,....) (1) (2) (3) (4) （5）得分评卷人四、解下列定解问题 0 0 u x u      yy xx  (0, ) 0 ( , ) u a y u y     ( ,0) sin u x  2 x   a ,0 a   0 y b   ( , ) 0 u x b  y b 解：令 ( , u x y )  ( ) ( ) X x Y y ，代入（1），（2）得由（5）得 Y Y   0 X X      X (0) 0,  0  ( ) 0 X a    n 2 2 ,  2 a n  1,2.... ( ) X x n  sin n  a x , n  1,2.... 将   n 2 2 ,  2 a n  1,2.... 代入（4），可得 ( ) Y y N  A ch n n  a y B sh  n n  a y 于是代入（3），有 ( , u x y )    n 1  ( A ch n n  a y B sh  n n  a y )sin n  a x （6）   1 n    n 1       于是， A n sin n  a x  sin 2  a x ( A ch n n b  a  B sh n n b  a )sin n  a x  0

A 2  1, B 2   A n ch sh 0(  2 b  a 2 b  a , n  2) B n  0( n  2) 因此 ( , u x y )  sh 2 b  a ch 2 y  ch  a sh 2 b  a 2 b  a sh 2 y  a sin 2 x  a  2 (  sh sh b y  a 2 b  a ) sin 2 x  a 得分评卷人五、求解圆的 Dirichlet 问题 u     / u    a 0    B   a sin 2  A cos (1) (2) 解：方程（1）在园内的解的一般表示为 u ( )  ,  c 0    n 1  ( A n cos n   B n sin n n  ) 代入（2）有 c 0  故有 0 c  0   n 1  ( A n cos n   B n sin ) n a  n  A cos   B sin 2  A 1  B 2  A a B 2 a A n  0 ( n  1) B n  0 ( n  2) 从而，有 u (   , ) A   B cos a 2 sin 2  2 a 封密卷评 … … … … … … 理处分 0 按绩成试考者违，息信生考写填准不外线封密，题答要不内线封密 … … … … … … 线封密卷评 … … … … … … … … 线 ---○---○--- 学院专业班级学号姓名 ---○---○---

封密卷评 … … … … … … 理处分 0 按绩成试考者违，息信生考写填准不外线封密，题答要不内线封密 … … … … … … 线封密卷评 … … … … ---○---○--- 学院专业班级学号姓名 ---○---○--- 其中令 … … … … 线代入（5），（7）有 G a G  2 t  (  x  x 0 ) ( t   t ) 0 xx G x 0 0,  G x x   0, x l  x tG   0 0, （5）（6）（7） , G x t x t ( , ; 0 ) 0    n  0 T t n ( )cos( n x  l ) （8）得分评卷人六、解下列定解问题 2   sin 2 A wt u a u  t xx  (0, ) ( , ) 0 u u l t t    x x  0 ( ,0) 0 u x   t   x , l t  0 x   0 0  l (1) (2) (3) 解：该定解问题的积分公式为 t ( , ) u x t c    0 0 A sin 2 wt G x t x t dx dt ( , ; ) , 0 0 0 0 （4） 0 G x t x t 满足 ( , ; ) , 0 0 （9）（10）  ( ) T t n  2 2  2 2 a n l ( ) T t n  ( t   t ) 0 2 l cos( n x  0 l ) (0) 0  n x e   ) l 0 nT 2 cos( l 0 ( n a  l 2 ) ( t  t 0 ) t  t 0 t  t 0 ( ) T t n 解得      代入（8），得 , G x t x t ( , ; 0 ) 0 2 l 0        n  0 cos( n x  0 l )cos( n x e  ) l  ( n a  l 2 ) ( t  t ) 0 t  t 0 t  t 0 代入（4）得 ( , ) u x t   l t   0 0 2 A l A sin 2 wt 0 2 l   n  0 cos( t  0 sin 2 wt dt 0 0 l   )cos( n x  ) l e  ( n a  l 2 ) ( t  t 0 ) dx dt 0 0 n x  0 l  w (1 cos 2 A wt )

资料库

2008——2009年数理方程试卷与答案.doc

相关推荐

存储

热门标签

最新资料