中国科技论文在线 http://www.paper.edu.cn 如果方向 s1、s2 平行，则满足式（2）。 s 1:2 s = s 1:1 s 2:1 2:2 = L s 1: s 2: N N 为避免被零除，判断方向 s1、s2 是否平行可判断不等式（3）是否成立。 s i 1: × s 2: j − s i 2: × s 1: j ≤ ε ( i , j = 1,2, L N i ≠ j ) （2） （3） 可依据式（4）求方向 s3，使其垂直于方向 s2。 = s s ⋅ 2 3 0 （4） 还可以采用限制寻优最短步长的方法，使算法恢复一定的渐进寻优特点。 3. 算例 对于约束优化问题： min f s t . . g 1 g g 2 3 ( ) x ( ) x ( ) x ( ) x = = = = − 2 6 ) ) ( x 1 x 2 1 x 1 10 − + − − 5 x 2 2 x 2 x 1 2 ( x 4 + 2 64 0 − ≥ 10 0 + ≥ 0 ≥ − − ]T [ 0 − 20 ]T 20 10 10 10 [ = − 、 ( ) 0 3 x [ = − 7.6458 2.3542 该优化问题存在两个约束极值点，一个是约束边界 1、2 的交点[ − ]T ]T ]T ， 另一个是由库恩塔克条件确定的约束边界 1 上的点[ 5.1994 6.0581 。取复合形顶点数为 ]T 、 ( ) 4，初始复合形顶点分别为： ( ) 0 0 x x 1 2 ( ) 0 x 。如采用映射系数确定映射点，取初始映射系数 0α 为 1.3，则寻得最优点 = 4 为[ 5.2241 6.0588 、最优解为 6.4064×10-2 的寻优结果，该点接近于优化问题的约束极值 点[ 5.1994 6.0581 。如采用一维寻优的方法确定映射点，则由于没有渐进寻优的特点而 不能进行。采用式（1）进行修正，则寻得伪最优点[ 9.9992 6.0003 ，该点在约束边界 3 上，这是由于复合形降维造成的。采用避免复合形降维的改进算法，则寻得最优点为 [ 5.2158 6.0663 ，最优解为 6.4157×10-2 的寻优结果。该优化问题的可行域及寻优过程见 图 3，其中正三角为初始复合形顶点，倒三角为一维寻优确定映射点不能进行下去的复合形， 十字形的点为最优点。 ]T ]T 10 [ 0 ]T ]T 、 = − - 3 - 

中国科技论文在线 http://www.paper.edu.cn 10 5 0 -5 -10 -15 100 10 25 5 1 5 1 0 5 2 1 0 0 25 300 500 1000 1500 2000 2500 1 0 0 30 0 50 0 10 00 100 300 500 1000 1500 2000 2500 15 00 2000 2500 15 -20 -10 -5 0 10 图 3 复合形法的寻优结果 5 Fig.3 The optimization result of complex shape method ]T 采 用 该 改 进 算 法 计 算 文 献 1 的 算 例 ， 取 初 始 复 合 形 顶 点 分 别 为 [ 、 1 1 ， 收 敛 精 度 值 ε 为 1.0×10-5 。 计 算 得 最 优 点 为 ]T 0.5 1 0.5 − 、 [ 5.5408 ]T 0.5 0.5 ]T 1− 、 [ [ − 、 最 优 解 为 ( [ ]T =x -0.85813 1.0033 f * ) 、 ( ) ( ]T =x =x 3.7163 -2.0065 1g f * * ∇ ∇ ，其对应分量的比值分别 为 1.0569、1.0525，说明 ( )* )* ( x 之间存在较小的角度，寻得的最优点较接近于 f∇ x 与 1g∇ 约束极值点。如果限制一维盲人探路算法的收敛步长和最优点更新次数，则可以恢复一部分 渐进寻优的特点，但是，通过对随机方向法的验算，这种限制不能明显改善寻优效果。 4. 结论 )* =x ]T [ 3.5163 -1.9065 ， 显 然 第 一 个 约 束 起 作 用 。 [ 本文提出的将最坏点向最好点靠拢避免复合形更新失败、移动某些顶点避免复合形降维 的改进算法有效。 本文计算实例具有非凸可行域、直线约束，采用不具有渐进寻优特点的算法易给出伪最 优点，但是，采用本文提出的改进算法之后，取得了较好的寻优效果。 限制一维盲人探路算法的收敛步长和最优点更新次数，虽然能恢复一定的渐进寻优特 点，但是不能明显改善寻优效果。 参考文献 [1] 畅延青, 张洪全, 张成芳. 伪梯度方向复合形直接搜索方法[J]. 系统工程, 1998, 16(2): 17-23 [2] 李亮, 迟世春, 林皋. 基于最大熵原理的复合形法及其在边坡稳定分析中的应用[J]. 中国工程科学, [3] 李亮, 迟世春, 林皋. 禁忌模拟退火复合形法及其在边坡稳定性分析中的应用[J]. 岩石力学与工程学报, [4] 裴锦华, 孙思诚. 约束复合形法在非凸可行域上的一种修正算法[J]. 南京理工大学学报, 2000, 24(1): [5] 韩致信, 周和平, 马历民等. 混合约束最优化问题的复合形解法[J]. 甘肃工业大学学报, 2001, 27(4): [6] Ryoo I I, Sahinidis N V. Global optimization of nonconvex NLPs and MINLPs with application in process design[J ]. Computers and Chemical Engneering ,1995, (5): 551-556 [7] 周静, 卢虎生, 陈鹏. 改进的复合形算法在产品组合优化中的应用. 计算机与现代化, 2009, (2/162): 2005, 7(4): 64-68 2005, 24(18): 3342-3349 16-19 33-36 - 4 - 

中国科技论文在线 http://www.paper.edu.cn 67-70 [8] 李春明. 一维盲人探路优化设计方法[J/OL]. 中国科技论文在线, 2006-6-25 Li Chunming. One-dimension blind-walking optimization method. China Sciencepaper Online, 2006-6-25 [9] 李春明. 具有畸形约束极值点问题的优化[J]. 中国科技论文在线, 2008, 3(8):562-565 Li Chunming. The optimization of problem with constrained monstrosity extremum point. China Sciencepaper Online, 2008, 3(8):562-565 [10] 孙靖民. 机械优化设计（第 3 版）[M]. 机械工业出版社, 2005.1 Sun Jingmin. Machine Optimization Design(printing 3)[M] Beijing: Machine Engineering Publishing House, 2005.1 Improvement on the complex shape method based on the gradual optimization College of Mechanical and Electronic Engineering in China University of Petroleum, Dongying 257061, Shandong Province, China Li Chunming Abstract The optimal point is not near to the extremum point before changing the research direction. The sequence extremum approaches to the extremum of optimization problem. The above two cases can be called gradual optimization. The optimization method with characteristic of gradual optimization can get good result. The complex shape method based on the blind-walking idea has no characteristic of gradual optimization. So its optimization result is not perfect for the problem with un-convex feasible domain and constrained monstrosity extremum points. The improvements of complex shape method are following. The bad point should close to the good point in order to avoid the updating complex failure. Some points should be moved in order to avoid the dimension deduction of complex. The computing result shows that the improved arithmetic can solve the complicated optimization problem with un-convex feasible domain or constrained monstrosity extremum points. Keywords: machine optimization design; optimization method; gradual optimization 作者简介： 李春明，男，1971 年 10 月生于山东省武城县，博士后，副教授，研究方向：机械动力学与 振动、机械优化设计、机械设计及理论、教育学等。 - 5 -