2018 西藏高考理科数学真题及答案
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.作答时,务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的.
1.
1 2i
1 2i
A.
4
5
3 i
5
B.
4
5
3 i
5
C.
3
5
4 i
5
D.
3
5
4 i
5
2.已知集合
A
x
,
y x
2
y
2 3
x
≤ ,
Z
y
,
Z
,则 A 中元素的个数为
A.9
B.8
C.5
D.4
3.函数
f x
x
e
x
e
2
x
的图像大致为
4.已知向量 a , b 满足|
| 1a ,
a b
1
,则 (2
a
a b
)
A.4
B.3
C.2
D.0
5.双曲线
2
2
x
a
2
2
y
b
1(
a
0,
b
的离心率为 3 ,则其渐近线方程为
0)
A.
y
2
x
B.
y
3
x
C.
y
2
2
x
D.
y
3
2
x
6.在 ABC△
中,
cos
C ,
2
5
5
BC ,
1
AC ,则 AB
5
A. 4 2
7.为计算
S
1
B. 30
1
1
99 100
…
1
2
1
3
1
4
则在空白框中应填入
A.
B.
C.
D.
i
i
i
i
i
i
i
i
1
2
3
4
C. 29
D. 2 5
,设计了右侧的程序框图,
开始
N
T
0,
0
1i
是
i
100
否
N N
T T
i
1
i
1
1
S N T
S输出
结束
8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每
个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”,如 30 7 23
.在不超过 30 的素数中,随
机选取两个不同的数,其和等于 30 的概率是
A.
1
12
9.在长方体
B.
1
14
C.
1
15
D.
1
18
ABCD A B C D
1
1 1
1
中,
AB BC
1
, 1
AA ,则异面直线 1AD 与 1DB 所成角
3
的余弦值为
A.
1
5
10.若 ( )
f x
cos
x
B. 5
6
在[
a a
x
,
sin
C. 5
5
]
是减函数,则 a 的最大值是
D. 2
2
D. π
A.
π
4
B.
π
2
,
C.
3π
4
f
11.已 知 ( )
f x 是定 义域为 (
的奇 函数,满 足 (1
)
x
)
f
(1
.若 (1) 2
,则
x
)
f
f
(1)
f
(2)
f
(3)
…
f
(50)
A. 50
12.已知 1F , 2F 是椭圆
B.0
x
C
:
a
2
2
2
2
y
b
C.2
D.50
0)
的左、右焦点, A 是 C 的左顶点,点 P 在
1(
a b
过 A 且斜率为 3
6
的直线上,
PF F△
1 2
A.
2
3
B.
1
2
为等腰三角形, 1
F F P
2
120
,则 C 的离心率为
C.
1
3
D.
1
4
二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13.曲线 2ln(
y
x
1)
在点 (0, 0) 处的切线方程为__________.
14.若 ,x y 满足约束条件
2
x
y
2
x
y
5 0
x
5 0
3 0
,
,
则 z
,
的最大值为__________.
x
y
15.已知 sin
α
cos
β
1
, cos
α
sin
β
,则 sin(
0
α
β
)
__________.
16.已知圆锥的顶点为 S ,母线 SA ,SB 所成角的余弦值为
7
8
,SA 与圆锥底面所成角为 45°,
若 SAB△ 的面积为 5 15 ,则该圆锥的侧面积为__________.
三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题,
每个试题考生都必须作答.第 22、23 为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共 60 分。
17.(12 分)
记 nS 为等差数列{ }na 的前 n 项和,已知 1
(1)求{ }na 的通项公式;
a , 3
7
S .
15
(2)求 nS ,并求 nS 的最小值.
18.(12 分)
下图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额 y (单位:亿元)的折线图.
为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额,建立了 y 与时间变量 t 的两个线性回
归模型.根据 2000 年至 2016 年的数据(时间变量 t 的值依次为1 2
, ,…, )建立模型
17
①:ˆ
y
30.4 13.5
t
;根据 2010 年至 2016 年的数据(时间变量 t 的值依次为1 2
, ,…, )
7
建立模型②: ˆ
y
99 17.5
t
.
(1)分别利用这两个模型,求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值;
(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.
19.(12 分)
设抛物线
4
C y
x:
2
|
AB .
| 8
的焦点为 F ,过 F 且斜率为 (
k k 的直线 l 与 C 交于 A ,B 两点,
0)
(1)求 l 的方程
(2)求过点 A , B 且与 C 的准线相切的圆的方程.
20.(12 分)
如图,在三棱锥 P ABC
中,
AB BC
2 2
,
点.
PA PB PC AC
,O 为 AC 的中
4
(1)证明: PO 平面 ABC ;
(2)若点 M 在棱 BC 上,且二面角 M PA C
为 30 ,求 PC 与平面 PAM 所成角的正
弦值.
P
A
O
M
B
C
21.(12 分)
已知函数
( )
f x
ex
2
.
ax
(1)若 1a ,证明:当 0
(2)若 ( )
f x 在 (0,
) 只有一个零点,求 a .
x 时, ( ) 1
f x ;
(二)选考题:共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第
一题计分.
22.[选修 4-4:坐标系与参数方程](10 分)
在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为
x
y
2cos
4sin
θ
θ
,
( θ 为参数),直线 l 的参数
方程为
1
cos
t
x
2
sin
t
y
α
α
,
( t 为参数).
(1)求 C 和 l 的直角坐标方程;
(2)若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为 (1, 2) ,求 l 的斜率.
23.[选修 4-5:不等式选讲](10 分)
设函数 ( ) 5 |
f x
x a
|
|
x
.
2 |
(1)当 1a 时,求不等式 ( )
(2)若 ( ) 1
f x ,求 a 的取值范围.
0
f x 的解集;
绝密★启用前
一、选择题
1.D
7.B
2.A
8.C
二、填空题
2018 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题参考答案
3.B
9.C
4.B
5.A
6.A
10.A
11.C
12.D
13.
y
2
x
14.9
15. 1
2
16. 40 2π
三、解答题
17.解:
(1)设{ }na 的公差为 d,由题意得 13
a
3
d
.
15
a 得 d=2.
7
由 1
所以{ }na 的通项公式为
na
2
n
9
.
(2)由(1)得
nS
2
n
8
n
(
n
2
4)
16
.
所以当 n=4 时, nS 取得最小值,最小值为−16.
18.解:
(1)利用模型①,该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为
ˆ
y
30.4 13.5 19
226.1
(亿元).
利用模型②,该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为
ˆ
y
99 17.5 9
256.5
(亿元).
(2)利用模型②得到的预测值更可靠.
理由如下:
(ⅰ)从折线图可以看出,2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线
y
30.4 13.5
t
上下.这说明利用 2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型①不能很
好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010 年相对 2009 年的环境基础设施投资额
有明显增加,2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从 2010
年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用 2010 年至 2016 年的数据
建立的线性模型 ˆ
y
99 17.5
t
可以较好地描述 2010 年以后的环境基础设施投资额的
变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.
(ⅱ)从计算结果看,相对于 2016 年的环境基础设施投资额 220 亿元,由模型①得到
的预测值 226.1 亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理.说
明利用模型②得到的预测值更可靠.
以上给出了 2 种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.
19.解:
(1)由题意得 (1,0)
F
,l的方程为
y
(
k x
1)(
k
.
0)
设
1(
A
x
,
y
1
),
B
(
,
x y
2
2
)
,
1),
由
y
y
(
k x
2
4
x
得 2 2
k x
(2
k
2
4)
x
k
2
.
0
16
k
2
16 0
x
,故 1
x
2
2
k
4
2
2
k
.
所以
|
AB
|
|
AF
|
|
BF
|
(
x
1
1)
(
x
2
1)
4
4
2
2
k
k
.
由题设知
4
4
2
2
k
k
,解得
8
k (舍去), 1k .
1
因此 l的方程为
y
x .
1
(2)由(1)得 AB的中点坐标为 (3,2) ,所以 AB的垂直平分线方程为 2
,
3)
y
x
(
即
y
x .
5
设所求圆的圆心坐标为 0
0
(
x y ,则
)
,
y
0
x
0
(
x
0
2
1)
5,
(
y
0
x
0
2
2
1)
16.
x
解得 0
y
0
3,
2
x
或 0
y
0
11,
6.
因此所求圆的方程为
(
x
2
3)
(
y
2
2)
16
或
(
x
11)
2
(
y
2
6)
144
.
20.解:
(1)因为
AP CP AC
,O 为 AC 的中点,所以 OP AC
4
,且
OP
2 3
.
连结OB .因为
AB BC
2
2
AC
,所以 ABC△
为等腰直角三角形,
且OB AC
,
OB
由 2
OP OB
2
2
PB
2
AC
.
1
2
知 PO OB .
由
OP OB OP
,
AC
知 PO 平面 ABC .
uuur
(2)如图,以O 为坐标原点,OB
的方向为 x 轴正方向,建立空间直角坐标系O xyz
.
由已知得取平面 PAC 的法向量
(2,0,0)
.
设 ( ,2
M a
a
,0)(0
,则
2)
a
( ,4
a
,0)
.
uuur
OB
uuur
AM a
设平面 PAM 的法向量为 ( ,
n
, )
x y z
.
uuur
AP
由
n
0,
uuur
AM
n 得 2
y
ax
0
2 3
(4
z
)
a y
0
0
所以
cos
uuur
,
OB
n
4)
2 3(
a
2
2
3
4)
a
a
2 3(
.
2
a
,可取 ( 3(
n
a
4), 3 ,
a a
)
,
由已知可得
| cos
uuur
,
OB
n
|
所以
2 3 |
2
4)
a
4|
a
2
3
a
2 3(
2
a
.
3
2
3=
2
所以
n
(
8 3 4 3
3
3
,
,
4
3
)
.
.解得
a (舍去),
4
a .
4
3
uuur
PC
又
(0,2, 2 3)
,所以
cos
uuur
,
PC
n
3
4
.
所以 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值为 3
4
.
21.解:
(1)当 1a 时, ( ) 1
f x 等价于 2(
x
1)e
x
1 0
.
设函数
( )
g x
2
(
x
1)e
1x
,则
( )
g' x
(
x
2
2
x
1)e
x
x
(
x
2
1) e
.
当 1x 时, ( )
而 (0)
0
g
g' x ,所以 ( )
g x 在 (0,
0
) 单调递减.
,故当 0x 时, ( ) 0
g x ,即 ( ) 1
f x .
(2)设函数
( ) 1
h x
2
e x
ax
.
) 只有一个零点当且仅当 ( )h x 在 (0,
) 只有一个零点.
f x 在 (0,
( )
(i)当 0a 时, ( )
h x , ( )h x 没有零点;
0
(ii)当 0a 时, ( )
h' x
(
ax x
2)e x
.
当 (0, 2)
x
时, ( )
h' x ;当 (2,
x 时, ( )
h' x .
0
0
)
所以 ( )h x 在 (0,2) 单调递减,在 (2,
) 单调递增.
故
h
(2) 1
是 ( )h x 在[0,
4
a
2
e
) 的最小值.
①若 (2)
h
,即
0
②若 (2)
h
,即
0
a , ( )h x 在 (0,
2e
4
a , ( )h x 在 (0,
2e
4
) 没有零点;
) 只有一个零点;
③若 (2) 0
,即
h
a ,由于 (0) 1
h
,所以 ( )h x 在 (0,2) 有一个零点,
2e
4
由 ( 1 ) 知 , 当
0x
时 ,
ex
2
x
, 所 以
(4 ) 1
h a
3
16
a
4
e
a
1
3
16
a
2
(e )
a
2
1
3
16
a
(2 )
a
4
1
.
0
1
a
故 ( )h x 在 (2, 4 )a 有一个零点,因此 ( )h x 在 (0,
) 有两个零点.
综上, ( )
f x 在 (0,
) 只有一个零点时,
a .
2e
4
22.解: