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ROF算法用于去噪.pdf

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P h y s i c a D 6 0 ( 1 9 9 2 ) 2 5 9 - 2 6 8 N o r t h - H o l l a n d N o n l i n e a r t o t a l v a r i a t i o n b a s e d n o i s e r e m o v a l a l g o r i t h m s * L e o n i d I . R u d i n 1 , S t a n l e y O s h e r a n d E m a d F a t e m i 2 C o g n i t e c h I n c . , 2 8 0 0 , 2 8 t h S t r e e t , S u i t e 1 0 1 , S a n t a M o n i c a , C A 9 0 4 0 5 , U S A A c o n s t r a i n e d o p t i m i z a t i o n t y p e o f n u m e r i c a l a l g o r i t h m f o r r e m o v i n g n o i s e f r o m i m a g e s i s p r e s e n t e d . T h e t o t a l v a r i a t i o n o f t h e i m a g e i s m i n i m i z e d s u b j e c t t o c o n s t r a i n t s i n v o l v i n g t h e s t a t i s t i c s o f t h e n o i s e . T h e c o n s t r a i n t s a r e i m p o s e d u s i n g L a g r a n g e m u l t i p l i e r s . T h e s o l u t i o n i s o b t a i n e d u s i n g t h e g r a d i e n t - p r o j e c t i o n m e t h o d . T h i s a m o u n t s t o s o l v i n g a t i m e d e p e n d e n t p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n o n a m a n i f o l d d e t e r m i n e d b y t h e c o n s t r a i n t s . A s t - - - ~ 0 o t h e s o l u t i o n c o n v e r g e s t o a s t e a d y s t a t e w h i c h i s t h e d e n o i s e d i m a g e . T h e n u m e r i c a l a l g o r i t h m i s s i m p l e a n d r e l a t i v e l y f a s t . T h e r e s u l t s a p p e a r t o b e s t a t e - o f - t h e - a r t f o r v e r y n o i s y i m a g e s . T h e m e t h o d i s n o n i n v a s i v e , y i e l d i n g s h a r p e d g e s i n t h e i m a g e . T h e t e c h n i q u e c o u l d b e i n t e r p r e t e d a s a f i r s t s t e p o f m o v i n g e a c h l e v e l s e t o f t h e i m a g e n o r m a l t o i t s e l f w i t h v e l o c i t y e q u a l t o t h e c u r v a t u r e o f t h e l e v e l s e t d i v i d e d b y t h e m a g n i t u d e o f t h e g r a d i e n t o f t h e i m a g e , a n d a s e c o n d s t e p w h i c h p r o j e c t s t h e i m a g e b a c k o n t o t h e c o n s t r a i n t s e t . 1 . I n t r o d u c t i o n T h e p r e s e n c e o f n o i s e i n i m a g e s i s u n a v o i d - a b l e . I t m a y b e i n t r o d u c e d b y t h e i m a g e f o r m a - t i o n p r o c e s s , i m a g e r e c o r d i n g , i m a g e t r a n s m i s - s i o n , e t c . T h e s e r a n d o m d i s t o r t i o n s m a k e i t d i f - f i c u l t t o p e r f o r m a n y r e q u i r e d p i c t u r e p r o c e s s i n g . F o r e x a m p l e , t h e f e a t u r e o r i e n t e d e n h a n c e m e n t i n t r o d u c e d i n r e f s . [ 6 , 7 ] i s v e r y e f f e c t i v e i n r e - s t o r i n g b l u r r y i m a g e s , b u t i t c a n b e " f r o z e n " b y a n o s c i l l a t o r y n o i s e c o m p o n e n t . E v e n a s m a l l a m o u n t o f n o i s e i s h a r m f u l w h e n h i g h a c c u r a c y i s r e q u i r e d , e . g . a s i n s u b c e l l ( s u b p i x e l ) i m a g e a n a l y s i s . I n p r a c t i c e , t o e s t i m a t e a t r u e s i g n a l i n n o i s e , t h e m o s t f r e q u e n t l y u s e d m e t h o d s a r e b a s e d o n t h e l e a s t s q u a r e s c r i t e r i a . T h e r a t i o n a l e c o m e s f r o m t h e s t a t i s t i c a l a r g u m e n t t h a t t h e l e a s t s q u a r e s e s t i m a t i o n i s t h e b e s t o v e r a n e n t i r e * R e s e a r c h s u p p o r t e d b y D A R P A S B I R C o n t r a c t # D A A H 0 1 - 8 9 - C 0 7 6 8 a n d b y A F O S R C o n t r a c t # F 4 9 6 2 0 - 9 0 - C - 0 0 1 1 . 1 E - m a i l : c o g n i ! l e o n i d @ a e r o s p a c e . a e r o . o r g . 2 C u r r e n t a d d r e s s : I n s t i t u t e f o r M a t h e m a t i c s a n d i t s A p p l i - c a t i o n s , U n i v e r s i t y o f M i n n e s o t a , M i n n e a p o l i s , M N 5 5 4 5 5 , U S A . e n s e m b l e o f a l l p o s s i b l e p i c t u r e s . T h i s p r o c e d u r e i s L 2 n o r m d e p e n d e n t . H o w e v e r i t h a s b e e n c o n j e c t u r e d i n r e f . [ 6 ] t h a t t h e p r o p e r n o r m f o r i m a g e s i s t h e t o t a l v a r i a t i o n ( T V ) n o r m a n d n o t t h e L 2 n o r m . T V n o r m s a r e e s s e n t i a l l y L 1 n o r m s o f d e r i v a t i v e s , h e n c e L 1 e s t i m a t i o n p r o c e d u r e s a r e m o r e a p p r o p r i a t e f o r t h e s u b j e c t o f i m a g e e s t i m a t i o n ( r e s t o r a t i o n ) . T h e s p a c e o f f u n c t i o n s o f b o u n d e d t o t a l v a r i a t i o n p l a y s a n i m p o r t a n t r o l e w h e n a c c u r a t e e s t i m a t i o n o f d i s c o n t i n u i t i e s i n s o l u t i o n s i s r e q u i r e d [ 6 , 7 ] . H i s t o r i c a l l y , t h e L ~ e s t i m a t i o n m e t h o d s g o b a c k t o G a l i l e o ( 1 6 3 2 ) a n d L a p l a c e ( 1 7 9 3 ) . I n c o m p a r i s o n t o t h e l e a s t s q u a r e m e t h o d s w h e r e c l o s e d f o r m l i n e a r s o l u t i o n s a r e w e l l u n d e r s t o o d a n d e a s i l y c o m p u t e d , t h e L 1 e s t i m a t i o n i s n o n - l i n e a r a n d c o m p u t a t i o n a l l y c o m p l e x . R e c e n t l y t h e s u b j e c t o f L 1 e s t i m a t i o n o f s t a t i s t i c a l d a t a h a s r e c e i v e d r e n e w e d a t t e n t i o n b y t h e s t a t i s t i c a l c o m m u n i t y , s e e e . g . r e f . [ 1 3 ] . D r a w i n g o n o u r p r e v i o u s e x p e r i e n c e w i t h s h o c k r e l a t e d i m a g e e n h a n c e m e n t [ 6 , 7 ] , w e p r o - p o s e t o d e n o i s e i m a g e s b y m i n i m i z i n g t h e t o t a l v a r i a t i o n n o r m o f t h e e s t i m a t e d s o l u t i o n . W e d e r i v e a c o n s t r a i n e d m i n i m i z a t i o n a l g o r i t h m a s a 0 1 6 7 - 2 7 8 9 / 9 2 / $ 0 5 . 0 0 © 1 9 9 2 - E l s e v i e r S c i e n c e P u b l i s h e r s B . V . A l l r i g h t s r e s e r v e d
2 6 0 L . I . R u d i n e t a l . / N o i s e r e m o v a l a l g o r i t h m s t i m e d e p e n d e n t n o n l i n e a r P D E , w h e r e t h e c o n - s t r a i n t s a r e d e t e r m i n e d b y t h e n o i s e s t a t i s t i c s . T r a d i t i o n a l m e t h o d s a t t e m p t t o r e d u c e / r e m o v e t h e n o i s e c o m p o n e n t p r i o r t o f u r t h e r i m a g e p r o c e s s i n g o p e r a t i o n s . T h i s i s t h e a p - p r o a c h t a k e n i n t h i s p a p e r . H o w e v e r , t h e s a m e T V / L 1 p h i l o s o p h y c a n b e u s e d t o d e s i g n h y b r i d a l g o r i t h m s c o m b i n i n g d e n o i s i n g w i t h o t h e r n o i s e s e n s i t i v e i m a g e p r o c e s s i n g t a s k s . 2 . N o n l i n e a r p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s b a s e d d e n o i s i n g a l g o r i t h m s . L e t t h e o b s e r v e d i n t e n s i t y f u n c t i o n u 0 ( x , y ) d e n o t e t h e p i x e l v a l u e s o f a n o i s y i m a g e f o r x , y ~ O . L e t u ( x , y ) d e n o t e t h e d e s i r e d c l e a n i m a g e , s o U o ( X , y ) = u ( x , y ) + n ( x , y ) , ( 2 . 1 ) w h e n n i s t h e a d d i t i v e n o i s e . W e , o f c o u r s e , w i s h t o r e c o n s t r u c t u f r o m u 0 . M o s t c o n v e n t i o n a l v a r i a t i o n a l m e t h o d s i n v o l v e a l e a s t s q u a r e s L 2 f i t b e c a u s e t h i s l e a d s t o l i n e a r e q u a t i o n s . T h e f i r s t a t t e m p t a l o n g t h e s e l i n e s w a s m a d e b y P h i l l i p s [ 1 ] a n d l a t e r r e f i n e d b y T w o m e y [ 2 , 3 ] i n t h e o n e - d i m e n s i o n a l c a s e . I n o u r t w o - d i m e n s i o n a l c o n t i n u o u s f r a m e w o r k t h e i r c o n - s t r a i n e d m i n i m i z a t i o n p r o b l e m i s m i n i m i z e f ( U x x + U y y ) 2 ( 2 . 2 a ) s u b j e c t t o c o n s t r a i n t s i n v o l v i n g t h e m e a n f u = f U o ( 2 . 2 b ) a n d s t a n d a r d d e v i a t i o n f ( u - u 0 ) 2 = t r z . ( 2 . 2 c ) T h e r e s u l t i n g l i n e a r s y s t e m i s n o w e a s y t o s o l v e u s i n g m o d e r n n u m e r i c a l l i n e a r a l g e b r a . H o w - e v e r , t h e r e s u l t s a r e a g a i n d i s a p p o i n t i n g ( b u t b e t t e r t h a n t h e M E M ) w i t h t h e s a m e c o n s t r a i n t s ) - s e e e . g . r e f . [ 5 ] . T h e L 1 n o r m i s u s u a l l y a v o i d e d s i n c e t h e v a r i a t i o n o f e x p r e s s i o n s l i k e S a l u [ d x p r o d u c e s s i n g u l a r d i s t r i b u t i o n s a s c o e f f i c i e n t s ( e . g . 6 f u n c - t i o n s ) w h i c h c a n n o t b e h a n d l e d i n a p u r e l y a l g e - b r a i c f r a m e w o r k . H o w e v e r , i f L 2 a n d L 1 a p p r o x i - m a t i o n s a r e p u t s i d e b y s i d e o n a c o m p u t e r s c r e e n , i t i s c l e a r t h a t t h e L 1 a p p r o x i m a t i o n l o o k s b e t t e r t h a n t h e " s a m e " L 2 a p p r o x i m a t i o n . T h e " s a m e " m e a n s s u b j e c t t o t h e s a m e c o n s t r a i n t s . T h i s m a y b e a t l e a s t p a r t l y p s y c h o l o g i c a l ; h o w - e v e r , i t i s w e l l k n o w n i n s h o c k c a l c u l a t i o n s t h a t t h e L 1 n o r m o f t h e g r a d i e n t i s t h e a p p r o p r i a t e s p a c e . T h i s i s b a s i c a l l y t h e s p a c e o f f u n c t i o n s o f b o u n d e d t o t a l v a r i a t i o n : B V . F o r f r e e , w e g e t t h e r e m o v a l o f s p u r i o u s o s c i l l a t i o n s , w h i l e s h a r p s i g - n a l s a r e p r e s e r v e d i n t h i s s p a c e . I n r e f . [ 6 ] t h e f i r s t a u t h o r h a s i n t r o d u c e d a n o v e l i m a g e e n h a n c e m e n t t e c h n i q u e , c a l l e d S h o c k F i l t e r . I t h a d a n a l o g y w i t h s h o c k w a v e c a l c u l a t i o n s i n c o m p u t a t i o n a l f l u i d m e c h a n i c s . T h e f o r m a t i o n o f d i s c o n t i n u i t i e s w i t h o u t o s c i l l a - t i o n s a n d r e l e v a n c e o f t h e T V n o r m w a s e x - p l o r e d h e r e . I n a p a p e r w r i t t e n b y t h e f i r s t t w o a u t h o r s [ 7 ] , t h e c o n c e p t o f t o t a l v a r i a t i o n p r e s e r v i n g e n - h a n c e m e n t w a s f u r t h e r d e v e l o p e d . F i n i t e d i f f e r - e n c e s c h e m e s w e r e d e v e l o p e d t h e r e w h i c h w e r e u s e d t o e n h a n c e m i l d l y b l u r r e d i m a g e s s i g n i f i - c a n t l y w h i l e p r e s e r v i n g t h e v a r i a t i o n o f t h e o r i g i - n a l i m a g e . A d d i t i o n a l l y , i n [ 8 ] , A l v a r e z , L i o n s a n d M o r e l d e v i s e d a n i n t e r e s t i n g s t a b l e i m a g e r e s t o r a t i o n a l g o r i t h m b a s e d o n m e a n c u r v a t u r e m o t i o n , s e e a l s o r e f . [ 9 ] . T h e m e a n c u r v a t u r e i s j u s t t h e E u l e r - L a g r a n g e d e r i v a t i v e o f t h e v a r i a t i o n . W e t h e r e f o r e s t a t e t h a t t h e s p a c e o f B V f u n c - t i o n s i s t h e p r o p e r c l a s s f o r m a n y b a s i c i m a g e p r o c e s s i n g t a s k s . T h u s , o u r c o n s t r a i n e d m i n i m i z a t i o n p r o b l e m i s : d x d y ( 2 . 3 a ) m i n i m i z e ~ x 2 + U y 2 a s u b j e c t t o c o n s t r a i n t s i n v o l v i n g u 0 .
L . I . R u d i n e t a l . / N o i s e r e m o v a l a l g o r i t h m s 2 6 1 I n o u r w o r k s o f a r w e h a v e t a k e n t h e s a m e t w o c o n s t r a i n t s a s a b o v e : f u d x d y = f u o d x d y . ( 2 . 3 b ) n 1 2 T h i s c o n s t r a i n t s i g n i f i e s t h e f a c t t h a t t h e w h i t e n o i s e n ( x , y ) i n ( 2 . 1 ) i s o f z e r o m e a n a n d f l ( u _ u 0 ) 2 d x d y 0 = O r 2 w h e r e o " > 0 i s g i v e n ( 2 . 3 c ) A s t i n c r e a s e s , w e a p p r o a c h a d e n o i s e d v e r s i o n o f o u r i m a g e . W e m u s t c o m p u t e A ( t ) . W e m e r e l y m u l t i p l y ( 2 . 5 a ) b y ( u - u 0 ) a n d i n t e g r a t e b y p a r t s o v e r 1 2 . I f s t e a d y s t a t e h a s b e e n r e a c h e d , t h e l e f t s i d e o f ( 2 . 5 a ) v a n i s h e s . W e t h e n h a v e A - 2 o . 2 + U y ( ( u ° ) x u x ( u ° ) r u Y ~ ] d x d y . ( 2 . 6 ) 2 2 q ' - 2 2 , / 3 T h e s e c o n d c o n s t r a i n t u s e s a p r i o r i i n f o r m a t i o n t h a t t h e s t a n d a r d d e v i a t i o n o f t h e n o i s e n ( x , y ) i s o r . T h u s w e h a v e o n e l i n e a r a n d o n e n o n l i n e a r c o n s t r a i n t . T h e m e t h o d i s t o t a l l y g e n e r a l a s r e - g a r d s n u m b e r a n d s h a p e o f c o n s t r a i n t s . W e a r r i v e a t t h e E u l e r - L a g r a n g e e q u a t i o n s - A 1 - A 2 ( u - U o ) i n 1 2 , w i t h ( 2 . 4 a ) O u O n 0 o n t h e b o u n d a r y o f 1 2 = 0 1 2 . ( 2 . 4 b ) T h e s o l u t i o n p r o c e d u r e u s e s a p a r a b o l i c e q u a - t i o n w i t h t i m e a s a n e v o l u t i o n p a r a m e t e r , o r e q u i v a l e n t l y , t h e g r a d i e n t d e s c e n t m e t h o d . T h i s m e a n s t h a t w e s o l v e u y - A ( u - u 0 ) , f o r t > O , x , y E / 2 , ( 2 . 5 a ) u ( x , y , O ) g i v e n , ( 2 . 5 b ) O n O n 0 o n a 1 2 . ( 2 . 5 c ) N o t e , t h a t w e h a v e d r o p p e d t h e f i r s t c o n s t r a i n t ( 2 . 3 b ) b e c a u s e i t i s a u t o m a t i c a l l y e n f o r c e d b y o u r e v o l u t i o n p r o c e d u r e ( 2 . 5 a - c ) i f t h e m e a n o f u ( x , y , 0 ) i s t h e s a m e a s t h a t o f u 0 ( x , y ) . T h i s g i v e s u s a d y n a m i c v a l u e A ( t ) , w h i c h a p p e a r s t o c o n v e r g e a s t - - - ~ o o . T h e t h e o r e t i c a l j u s t i f i c a t i o n f o r t h i s a p p r o a c h c o m e s f r o m t h e f a c t t h a t i t i s m e r e l y t h e g r a d i e n t - p r o j e c t i o n m e t h o d o f R o s e n [ 1 4 ] . W e a g a i n r e m a r k t h a t ( 2 . 5 a ) w i t h A = 0 a n d r i g h t p a r t m u l t i p l i e d b y [ V u I w a s u s e d i n r e f . [ 8 ] a s a m o d e l f o r s m o o t h i n g a n d e d g e d e t e c t i o n . F o l l o w i n g r e f . [ 9 ] w e n o t e t h a t t h i s e q u a t i o n m o v e s e a c h l e v e l c u r v e o f u n o r m a l t o i t s e l f w i t h n o r m a l v e l o c i t y e q u a l t o t h e c u r v a t u r e o f t h e l e v e l s u r f a c e d i v i d e d b y t h e m a g n i t u d e o f t h e g r a d i e n t o f u . O u r a d d i t i o n a l c o n s t r a i n t s a r e n e e d e d t o p r e v e n t d i s t o r t i o n a n d t o o b t a i n a n o n t r i v i a l s t e a d y s t a t e . W e r e m a r k t h a t G e m a n a n d R e y n o l d s , i n a v e r y i n t e r e s t i n g p a p e r [ 1 0 ] , p r o p o s e d m i n i m i z i n g v a r i o u s n o n l i n e a r f u n c t i o n a l s o f t h e f o r m f q ~ ( ~ x 2 + u 2 ) d x d y 1 2 w i t h c o n s t r a i n t s . T h e i r o p t i m i z a t i o n i s b a s e d o n s i m u l a t e d a n n e a l i n g , w h i c h i s a c o m p u t a t i o n a l l y s l o w p r o c e d u r e u s e d t o f i n d t h e g l o b a l m i n i m u m . W e , b y c o n t r a s t , s e e k a f a s t P D E s o l v e r t h a t c o m p u t e s a " g o o d " l o c a l m i n i m u m o f t h e T V f u n c t i o n a l . T h e r e i s r e a s o n t o b e l i e v e t h a t t h e l o c a l e x t r e m a a p p r o a c h i s m o r e r e l e v a n t t o t h i s i m a g e p r o c e s s i n g t a s k . F i n a l l y , w e n o t e t h a t w e o r i g i n a l l y i n t r o d u c e d t h i s m e t h o d i n t w o c o n f i d e n t i a l c o n t r a c t r e p o r t s [ 1 1 , 1 2 ] .
2 6 2 L . I . R u d i n e t a l . / N o i s e r e m o v a l a l g o r i t h m s T h e n u m e r i c a l m e t h o d i n t w o s p a t i a l d i m e n - s i o n s i s a s f o l l o w s . W e l e t : x ~ = i h , y / = j h , i , j = O , 1 , . . . , N , w i t h N h = 1 , ( 2 . 7 a ) t / 1 = n A t , n = 0 , 1 , . . . , ( 2 . 7 b ) / 1 u i j = u ( x i , y ~ , t , ) , ( 2 . 7 c ) o = U o ( i h , j h ) + c r q ~ ( i h , j h ) . ( 2 . 7 d ) u o T h e m o d i f i e d i n i t i a l d a t a a r e c h o s e n s o t h a t t h e c o n s t r a i n t s a r e b o t h s a t i s f i e d i n i t i a l l y , i . e . q ~ h a s m e a n z e r o a n d L 2 n o r m o n e . T h e n u m e r i c a l a p p r o x i m a t i o n t o ( 2 . 5 ) , ( 2 . 6 ) i s n + l n U O = U i j + - - £ , A . , 2 . + u q ) + ( m ( A + u q , A y - u n ) ) 2 ) l / 2 i j / : : A + u q + A y _ y . . . . . u n A x u n ) ) 2 ) 1 / 2 ( A + u q + ~ , m ~ a + q , _ _ 0 , , , - A t A " ( u ~ - U o ( i h , j h ) ) , ( 2 . 8 a ) f o r i , j = l , . . . , N , w i t h b o u n d a r y c o n d i t i o n s n n n n U O j ~ U l j , U N j ~ i , I N _ I , j ) ! ( a ) / 1 n n U i o ~ U i N ~ - U i , N - 1 " ( 2 . 8 b ) H e r e A X u i j = " T - ( U i Z . 1 , j - - U i j ) ( 2 . 9 a ) a n d s i m i l a r l y f o r A Y u q . r e ( a , b ) = m i n m o d ( a , b ) _ ( s g n a + s g n b ) m i n ( l a l , I b l ) ( 2 . 9 b ) a n d A / 1 i s d e f i n e d d i s c r e e t l y v i a = - - - + 2 0 . 2 . . ( A + u q ) x 0 x / 1 ( A + u q ) ( A + u , j ) x n 2 n 2 V ( A + u i j ) ~ - ( A Y + u i j ) y 0 y n ~ ] _ ( A + u q ) ( A + k u q ) ) J ( 2 . 9 c ) x n 2 y n 2 " V ( a + u . ) + ( a ÷ u , ; ) A s t e p s i z e r e s t r i c t i o n i s i m p o s e d f o r s t a b i l i t y : A t h - ~ ~ < c . ( 2 . 9 d ) 3 . R e s u l t s W e h a v e r u n o u r t w o - d i m e n s i o n a l d e n o i s i n g a l g o r i t h m o n g r a p h s a n d r e a l i m a g e s . T h e g r a p h s a n d i m a g e s d i s p l a y e d t a k e o n i n - S i g n a l F i g . 1 . ( a ) " B a r s " . ( b ) P l o t o f ( a ) . ( e ) P l o t o f n o i s y " b a r s " , S N R = 1 . 0 . ( d ) N o i s y " b a r s " , S N R = 1 . 0 . ( e ) P l o t o f t h e r e c o n s t r u c t i o n f r o m ( d ) . ( e ) T V r e c o n s t r u c t i o n f r o m ( d ) . ( g ) P l o t o f t h e r e c o n s t r u c t i o n e r r o r .
2 6 4 L . I . R u d i n e t a l . / N o i s e r e m o v a l a l g o r i t h m s N o i s y S i g n a l R e c o v e r e d S i g n a l ( c E r r o r ( e ) F i g . 2 . ( a ) P l o t o f f i g . l a p l u s n o i s e , S N R = 0 . 5 . ( b ) N o i s y f i g . l a , S N R = 0 . 5 . ( c ) P l o t o f t h e r e c o n s t r u c t i o n f r o m ( b ) . T V r e c o n s t r u c t i o n f r o m ( b ) . ( e ) P l o t o f t h e r e c o n s t r u c t i o n e r r o r .
L . I . R u d i n e t a l . I N o i s e r e m o v a l a l g o r i t h m s 2 6 5 t e g e r v a l u e s f r o m 0 t o 2 5 5 . W h e n G a u s s i a n w h i t e n o i s e i s a d d e d t h e r e s u l t i n g v a l u e s g e n e r a l l y l i e o u t s i d e t h i s r a n g e . F o r d i s p l a y p u r p o s e s o n l y w e t h r e s h o l d ; h o w e v e r , t h e p r o c e s s i n g t a k e s p l a c e o n a f u n c t i o n w h o s e v a l u e s g e n e r a l l y l i e a r b i t - r a r i l y f a r o u t s i d e t h e o r i g i n a l r a n g e . S i g n a l t o n o i s e r a t i o ( S N R ) i s d e f i n e d b y : S N R = Z a ( u u - t ~ ) 2 Z n ( n u ) 2 , ( 3 . 1 ) w h e r e t i i s t h e m e a n o f t h e s i g n a l u u a n d n o i s t h e n o i s e . F i g s . 1 a n d 2 c o n c e r n t h r e e p a r a l l e l s t e p s t a k e n 0 I - - I I I ' 2 ~ I I I f l l : . t I ! ! ° : ! : i l l I t l E : m 3 , , , , - m 4 - - - s = i i i I I I I l l - - : ~ t l I = ' ~ I I I ~ . ~ : ; I I 1 ~ ~ ~ . _ _ 0 " " I F i g . 3 . ( a ) " R e s o l u t i o n C h a r t " . ( b ) N o i s y " R e s o l u t i o n C h a r t " , S N R = 1 . 0 . ( c ) W i e n e r f i l t e r r e c o n s t r u c t i o n f r o m ( b ) . ( d ) T V r e c o n s t r u c t i o n f r o m ( b ) .
2 6 6 L . I . R u d i n e t a l . / N o i s e r e m o v a l a l g o r i t h m s f r o m f i g . 3 a . T h i s i s 3 8 b y 3 8 p i x e l s w i d e 2 5 6 g r a y l e v e l s b l a c k a n d w h i t e o r i g i n a l i m a g e . F i g . l a s h o w s t h e o r i g i n a l s i g n a l . F i g . l b s h o w s i t s i n t e n - s i t y p l o t . F i g . l c s h o w s t h e i n t e n s i t y o f t h e n o i s y s i g n a l w i t h a d d i t i v e G a u s s i a n w h i t e n o i s e , s i g n a l t o n o i s e r a t i o S N R 1 . F i g . l d s h o w s t h e n o i s y s i g n a l . F i g . l e s h o w s a g r a p h o f t h e r e c o v e r e d s h a r p s i g n a l a n d f i g . I f s h o w s t h e r e c o v e r e d s i g n a l . F i n a l l y , f i g . l g s h o w s t h e e r r o r w h i c h i s f a i r l y " h o l l o w " . I t i s z e r o b o t h w i t h i n t h e o r i g i - n a l s t e p s a n d a l s o b e y o n d a f e w p i x e l s o u t s i d e o f t h e m . F i g . 2 a s h o w s t h e i n t e n s i t y p l o t o f a n o i s y s i g n a l w h e n S N R = 1 , t w i c e a s m u c h G a u s s i a n w h i t e n o i s e a s s i g n a l . F i g . 2 b s h o w s t h e n o i s y F i g . 4 . ( a ) " A i r p l a n e " . ( b ) N o i s y " A i r p l a n e " , S N R = 1 . 0 . ( e ) W i e n e r f i l t e r r e c o n s t r u c t i o n f r o m ( b ) . ( d ) T V r e c o n s t r u c t i o n f r o m ( b ) .
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