经验与交流 EXPERIENCE AND EXCHANGE CHINA NEW TELECOMMUNICATIONS AR 模型功率谱估计的典型 算法比较及 MATLAB 实现 储彬彬 王 琛 漆德宁 ( 炮兵学院信息工程系 合肥 230031) 摘 要 介 绍 现 代 功 率 谱 估 计 中 AR 模 型 参 数 的 几 种 典 型 求 解 算 法, 并 比 较 其 性 能 指 标, 采 用 功 能 强 大 的 MAT- LAB 软件对各种算法的功率谱估计进行仿真, 从实验的角度讨论了这几种功率谱估计法的优缺点, 以便在实际工 作中做出合理的选择。 关键词 功率谱估计 AR 模型 算法 MATLAB 功率谱估计是信息学科中的研究热点, 在过去 的 30 多年里取得了飞速的发展。现代谱估计主要是 针对经典谱估计( 周期图和自相关法) 的分辨率低和 方差性能不好的问题而提出的。其内容极其丰富, 涉 及的学科和领域也相当广泛, 大致可分为参数模型 估计和非参数模型估计, 前者有 AR 模型、MA 模型、 ARMA 模型、PRONY 指数模型等; 后者有最小方差 方法、多分量的 MUSIC 方法等。本文针对 AR 模型参 数的几种典型求解算法进行分析、比较其性能指标, 采 用 功 能 强 大 的 MATLAB 软 件 对 各 种 算 法 的 功 率 谱估计进行仿真, 从实验的角度讨论了这几种功率 谱估计法的优缺点, 以便在实际工作中做出合理的 选择。 1 AR 模型 Yule- Walker 方程 参数模型法功率谱估计的主要思想是: 将广义 平稳的过程 x( n) 表示成一个输入序列 u( n)( 白噪声 过程) 激励线性系统 H( z) 的输出; 由已知的 x( n) 或 其自相关函数 rx( m) 来估计 H( z) 的参数; 由 H( z) 的 参数估计 x( n) 的功率谱。 AR 模型又称为自回归模型, 它是一个全极点模 76 型, 其当前输出是现在输入和过去输入的加权和, 表 示如下( 其中 u( n) 为白噪声序列; p 为 AR 模型的阶 数) : p X( n) =- x( n- k) +u( n) ( 1) ( 2) k k = 1!a = H( z) = 1 A( z) 1 p k = 1!a 1+ z- k k 由随机信号通过线性系统理论知输出序列的功 率谱 Px( ejw) = σ2 p 1+ k = 1!a k 2 e- jwk ( 3) 其中 σ2 为白噪声序列的方差, 因此进行功率谱 估计, 必需求得 AR 模型的参数 a ( k=1, 2…p) 及 σ2。 k 根 据 AR 模 型 的 正 则 方 程 即 Yule- Walker 方 程 , 可 得: 2 AR 模型参数求解的典型算法 用线性方程组的常用解法( 例如高斯消元法) 求 CHINA NEW TELECOMMUNICATIONS September 2008 CHINA NEW TELECOMMUNICATIONS September 2008 

( 1) r x ( 0) r x ( 1) r x … ( p- 1) r x ( 2) … r r ( p) x x ( 1) … r ( p- 1) r x x ( p- 2) ( 0) … r r x x … … … ( 0 ( p- 2) … r r ) x x ( ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) * % & & & & & & & & & & & & & & & & && ’ 1 a 1 a 2 … a p = ( ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )) * σ2 0 0 … 0 % & & & & & & & & & & & & & & & & ’ 经验与交流 EXPERIENCE AND EXCHANGE 中国新通信 ( 4) ( ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) * r ( 0) x ( 1) r x ( 2) r x … r ( p) x % & & & & & & & & & & & & & & & & & & ’ 解 Yule- Walker 方程, 需要的运算量数量级为 p3, 但 若利用系数矩阵的对称性和 Toeplitz 性质, 则可构成 一些高效算法, Levinson- Durbin 算法是其中最著名、 应用最广泛的一种, 这种算法的运算量数量级为 p2。 这是一种按阶次进行递推的算法, 即首先以 AR( 0) 和 AR( 1) 模型参数作为初始条件, 计算 AR( 2) 模型 参 数 ; 然 后 根 据 这 些 参 数 计 算 AR( 3) 模 型 参 数 , 等 等, 一直到计算出 AR( p) 模型参数为止, 当整个迭代 计算结束后, 不仅求得了所需要的 p 阶 AR 模型的 参数, 而且还得到了所有各低阶模型的参数。 根 据 线 性 预 测 理 论 及 Wiener- Hopf 方 程 知 : 一 个 p 阶 AR 模型的 p+1 个参数同样可用来构成一个 p 阶的最佳线性预测器, 其预测的最小均方误差等于 AR 模型激励白噪声的能量, 即 AR 模型是在最小平 方意义上对数据的拟合。 “前向预测”是利用 n 之前的 p 个值对 x( n) 做线 性预测, 如公式( 5)( 6)( 7) 所示; 与之对应的“后向预 测 ”公 式 为( 8)( 9)( 10) , 其 中 e( n) 为 预 测 误 差 , ρ为 预测误差功率, f 表示前向预测, b 表示后向预测。模 型参数算法就是基于上述最小均方误差时由模型参 数估计信号功率的方法, 主要有以下几种经典算法: f ( n) =- x! p k = 1!af( k) x( n- k) ef( n) =x( n) - x! f=E ρ ef( n) " f ( n) 2 # b ( n) =- x! p k = 1!ab( k) x( n+k) b ( n- p) eb( n) =x( n- p) - x! b =E ρ eb( n) 2 " $ ( 5) ( 6) ( 7) ( 8) ( 9) ( 10) ( 1) 自 相 关 法( BT 法) 。用 自 相 关 法 进 行 功 率 谱 中国新通信 2008.9 中国新通信 2008.9 估计时令前向预测误差功率最小, 即对 ef( n) 前后都 加 窗, Wiener- Hopf 方 程 系 数 为 Toeplitz 矩 阵, 使 用 Levinson- Durbin 算 法 可 方 便 快 速 的 求 解 AR 系 数 。 因此自相关法也是已知所有 AR 系数求解方法中最 简单的一种, 但谱分辨率相对较差。 ( 2) Burg 算法。用 Burg 算法进行功率谱估计时 令前后向预测误差功率之和最小, 即对 ef( n) , eb( n) 前后都不加窗, 使用 Levinson- Durbin 递推可快速的 求解 AR 系数。Burg 算法是建立在数据基础之上的, 避免了先计算自相关函数从而提高计算速度; 是较 为通用的方法, 计算不太复杂, 且分辨率优于自相关 法, 但对于白噪声加正弦信号有时会出现谱线分裂 现象。 ( 3) 改进协方差算法。同 Burg 算法一样, 改进协 方差算法进行功率谱估计时令前后向预测误差功率 之和最小, 即 对 ef( n) , eb( n) 前 后 都 不 加 窗, 但 得 到 的协方差矩阵不是 Toeplitz 矩阵, 因此正则方程不能 用 Levinson 递推算法求解。Marple 于 1980 年提出了 实现协方差方程求解的快速算法, 大大提高了谱估 计的性能。 3 AR 模型功率谱估 MATLAB 实现 基于上述分析, 选取一个具有两种频率成分的 复合信号为仿真信号 x( n) : x( n) =4.1cos(2π300n)+3.8cos(2π305n)+0.5randn (n), 即此信号为混有随机噪声的两个正弦信号。使用 MATLAB 对这个复合信号进行功率谱估计, 直观展 现上述三种算法的优劣。程序代码如下( 仿真结果见 图 1) : %- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - fs=1000; n=0:1/fs:1; 77 

经验与交流 EXPERIENCE AND EXCHANGE CHINA NEW TELECOMMUNICATIONS xn=4.1*cos(2*pi*300*n)+3.8*cos(2*pi*305*n)+0. 5*randn(size(n)); nfft=2048; %随机信号 xn subplot(411);plot(n,xn); title(' 仿真信号 x(n)') %自相关法功率谱估计 [px1,f1]=pyulear(xn,30,nfft,fs);subplot(412); plot(f1,px1);title(' 自相关法功率谱估计 ') %Burg 算法功率谱估计 [px2,f2]=pburg(xn,30,nfft,fs);subplot(413); plot(f2,px2);title('Burg 算法功率谱估计 ') %改进协方差算法功率谱估计 [px3,f3]=pmcov(xn,30,nfft,fs);subplot(414); plot(f3,px3);title(' 改进协方差算法功率谱估计 ') %- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 由仿真结果可知: 对相隔仅有 5 Hz 的 2 个混合 信号进行谱估计时, 自相关法不容易看出其频率成 份, 而 Burg 算法和改进协方差算法提高了参数估计 的精度和频率分辨率。 4 结束语 功率谱估计的实现有许多方法,也有很多具体的 算 法 可 以 参 阅 , MATLAB提 供 的 算 法 函 数 为 学 习 设 计谱估计提供了方便高效的途径。 参 数 模 型 谱 估 计 方 法 是 现 代 谱 估 计 的 重 要 内 容 , AR 模 型 谱 估 计 隐 含 着 数 据 和 自 相 关 函 数 的 外 推, 其长度可能超过给定的长度, 分辨率不受信源信 号长度的限制, 这是经典谱估计无法做到的。在 AR 模型 BT 算法中由于对 ef( n) 前后 都 加 窗,使 得 自 相 关法的分辨率降低, 数据越短分辨率越差。 仿 真 结 果 直 观 说 明 了 BT 算 法 、Burg 算 法 和 改 进协方差算法各自的优缺点, 能为实际工作中做出 合理的选择提供依据。 如对本文内容有任何观点或评论, 请发 E- mail 至 s jtx@21cn.com 参 考 文 献 [1] 张旭东.离散随机信号处理.北京:清华大学出版社,2005 [2] 胡广书.数字信号处理理论算法实现.北京:清华大学出版社,2003 [3] 傅广操.MATLAB 在现代功率谱估计中的应用.电脑学习,2003,12(6)6~7 [4] 姚武川.经典谱估计方法的 MATLAB 分析.华中理工大学学报,2000,4(4)45~47 78 ( 收稿日期: 2008 年 6 月 26 日) ( 下转 79 页) CHINA NEW TELECOMMUNICATIONS September 2008 

经验与交流 EXPERIENCE AND EXCHANGE 中国新通信 基于 FP G A 的 FS K 调制与解调器设计 李艳丽 董丽凤 ( 江西理工大学信息工程学院 赣州 341000) 摘 要 在 EDA 技术开发平台 Quartus Ⅱ上设计实现了一种新型的 2FSK 信号调制解调器, 利用 m 序列的随机性 和确定性来产生输入基带信号, 用分频器把时钟信号分频成两个不同频率的信号。详细介绍了基于 FPGA 的 2FSK 信号发生器的设计方法, 提供了 VHDL 源代码在 Quartus Ⅱ环境下的仿真结果。整个系统的功能在 EDA 技术开发 平台上均调试通过, 并在 ACEX1K 系列 FPGA 上硬件实现, 具有较高的实用性和可靠性。 关键词 FSK 调制解调器 伪随机序列 FSK( Frequency Shift Keying, 频 移 键 控) 是 利 用 载波的频率变化来传递数字信息。具有抗噪声性能 好、对信道变化不敏感、误码率低等优点。在中低速 数据传输中, 特别是在衰落信道中传输数据时, 有着 广泛的应用。但传统的用硬件实现 FSK 的方法, 特别 是相干解调需要提取载波, 设备相对比较复杂, 成本 高。本文针对 FSK 信号的特点, 提出了基于 FPGA 的 2FSK 调制器的一种实现方法———分频法, 这种方法 利用数字基带信号去控制可变分频器的分频比来改 变输出载波频率, 产生一种相位连续的 FSK 信号, 而 且原理通俗易懂, 电路结构简单, 容易实现。在解调 器的设计中, 已调信号是连续的波形, 有两个不同的 频率, 在 FPGA 实验平台上, 已调信号可以通过矩形 脉冲来代替, 在一定的时间内, 通过检测时钟上升沿 来确定输入信号的频率, 从而判断出基带信号。 1 分频器 在二进制数字调制中, 若利用受矩形脉冲序列 ( 上接 78 页) Contras t of the Typical Algorithms of PSD Es timation Bas ed on AR Model and the Simulation in MATLAB Chu Binbin, Wang Chen, Qi Dening ( Department of Information Engineering, Artillery Academy, PLA, Hefei 230031, China) Abs tract The typical algorithms of PSD Estimation based on AR model are presented, and their performances are analyzed in this paper. These methods for AR model parameter algorithm are implemented by very simple m- files on MATLAB. Moreover, the advan- tages and disadvantages of these methods are discussed from the point of view in experiment for proper applications. Key words PSD estimation, AR model, algorithm, MATLAB 中国新通信 2008.9 中国新通信 2008.9 79