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2012年江西省数学建模答案.doc
1、问题重述
2、问题分析
3、模型假设
4、符号说明
5、模型的建立与求解
5.1问题1.1的解
5.2问题1.2的解
5.3问题2的模型建立
6、结果分析与检验
7、模型评价
参考文献
附录
题目：双曲抛物面薄壳屋盖的制作、造型设计（A）
参赛队号：103
摘要
采用钢筋混凝土双曲抛物面(马鞍面)薄壳作为屋盖， 具有利于排水、防止
渗漏、减轻自重、节约材料、受力性能较好、刚度较大、造型优美等优点, 可以
用于厂房、商场、影剧院等民用建筑。由于这种双曲抛物面是由两族直线交织而
成的, 所以存在着直线张拉预应力钢筋的可能性。本文着重处理双曲抛物面薄壳
屋盖的配筋问题，所以必须知道预应力钢筋的配筋方式，以及预应力钢筋和锚固
面的相交问题，根据条件求出直母线的方程，然后确定锚固面，确定预应力钢筋
的数目，以及预应力钢筋的空间分布。
本文中采用的建模方法是将双曲抛物面薄壳屋盖抽象成一个双曲抛物面，将
预应力钢筋抽象成这个双曲抛物面的直母线，将预应力钢筋的安置问题抽象成求
直母线与锚固面的交点问题。
对于问题 1.1，首先将预应力钢筋理想成一条直线，即不需要考虑钢筋的直径，
且把预应力钢筋安置在两簇直母线处, 即在跨中端面处抛物线上的点处安放两
簇直母线钢筋.其中 a 问考虑双曲抛物面是直纹面，利用这个求出这个两簇直母
b l 的交点，然后利用这些交点和法
线，b 问中通过题意求出主直母线与
向量求出锚固面的方程，c 问就是联立两簇直母线求解就行，d 问就利用直母线
的方向向量与锚固面法向量来求夹角，e 问就是在给定的
情况下，利
用 MATLAB 软件求解 a-d 问的具体结果。
0.1 m
x
y
1
对于问题 1.2，此处预应力钢筋不能抽象成直线，即要考虑直径。其中 a 问利
用钢筋的表面和
z
f
x
2
x
a
相切，求出钢筋的中心轴线应该安置在
z
f
x
2
x
a
临
近的哪些点，再利用直母线的方向向量，就可求出中心轴线的方程，b 问联立中
心轴线方程和锚固面方程就可，c 问将距离转化为求异面直线之间的距离。
对于问题 2，首先设定双曲抛物面的方程，利用 MATLAB 软件对其进行仿真，
然后运用两平面对抛物面进行切割，最后得到双曲抛物面薄壳屋盖的造型设计
关键字：双曲抛物面、预应力钢筋、直母线、锚固面、中心轴线、直母线
目录
1、问题重述................................................................................................................. 1
2、问题分析................................................................................................................. 2
3、模型假设................................................................................................................. 2
4、符号说明................................................................................................................. 3
5、模型的建立与求解................................................................................................. 3
5.1 问题 1.1 的解.......................................................................................................3
5.2 问题 1.2 的解.....................................................................................................15
5.3 问题 2 的模型建立............................................................................................20
6、结果分析与检验................................................................................................... 22
7、模型评价............................................................................................................... 22
参考文献..................................................................................................................... 23
附录............................................................................................................................. 24
1、问题重述
1. 就上述单个的双曲抛物面薄壳屋盖的配筋问题，用数学建模的方法解决以下
问题：
1.1 把预应力钢筋理想化为一维的直线，把预应力钢筋安置在两族直母线处，即
在跨中端面处抛物线
z
f
x
2
x
a
上的点
,
k x f
x
k x
a
,
k
0,1,2,...,
m
处安放
两族直母线钢筋.并固定(锚固)在过原点 (0,0,0) 的直母线与平面
y
b l
1
)相交的点处与该直母线垂直的锚固面上.
0.8 m
( 1
l
请回答:
a. 能安排多少根过点
,
k x f
x
k x
a
的直母线钢筋. 写出这些空间直线的方程,
并图示之.
b. 写出锚固面的方程, 并写出直母线和锚固面的交点的表示式.
c. 求出直母线之间的交点的表示式。
d. 求出直母线和锚固面的法线之间的夹角, 以便在锚固面上适当打孔以固定直
母线钢筋.
e. 根据前面的数据以及
f. 编制一个可以包括不等距安置直母线钢筋的通用程序(软件).
1.2 如果圆柱形预应力钢筋不能简化为直线, 请回答
x
a
a. 圆柱形预应力钢筋的中心轴线应该安置在
临近的哪些点处. 写出
, 具体计算 a – d.
x
0.1 m
2
z
f
x
这些中心轴线的方程, 并图示之.
b. 写出这些中心轴线和锚固面的交点的表示式.
c. 要求这些圆柱形预应力钢筋不能相交. 它们的中心轴线在 x-y 平面上的垂直投
影是可以相交的, 写出交点的表示式. 计算沿这些交点垂直方向的两根圆柱形预
应力钢筋之间的距离, 要尽可能小(最好为零).
d. 编制一个通用的程序(软件).
2. 双曲抛物面薄壳屋盖的造型设计.
由于制作技术的飞速发展, 我们可以暂且不考虑制作问题. 请利用几种
双曲抛物面的切割部分作为元素组合成一种实用、美观的屋盖造型. 写出它们的
方程, 并图示之. 如果可能, 请说明它们可以用在什么地方.
1
2、问题分析
(1)问题一的分析
1.1 当预应力钢筋理想为一条直线时，可以不考虑钢筋的直径，在这里把双
曲抛物面薄壳屋盖理想成一个简单的数学中的双曲抛物面的问题，其中的预应力
钢筋的问题可以简化为这个马鞍面的直母线的问题,并且主直母线与锚固面垂
直。
1.2 当圆柱形预应力钢筋不能简化为直线时，需考虑钢筋的直径，而且把这
些圆柱形钢筋的中心轴线考虑成那个马鞍面模型的直母线，其中直母线是异面
的，从而解决问题。
(2)问题二的分析
本题目的在于利用集中双曲抛物面的切割部分作为元素组合成一种实用、美观
的屋盖造型。我们可以通过软件仿真出一个双曲抛物面（马鞍面），然后利用两
个不同的平面从不同的角度将双曲抛物面切割，最后形成一个类似 V 字形的屋
顶。
3、模型假设
1. 假设该双曲抛物面薄壳屋盖的预应力钢筋为双曲抛物面直纹面的直母线。
2. 假设两条主直母线为双曲抛物面的渐近线
3. 假设问题 1 中 a-d 的 x 是个固定的值，即常数
4. 假设问题 2 中 a 问的圆柱形预应力钢筋与抛物线
z
f
x
2
k x
a
相切
5.假设问题 2 中屋盖为双曲抛物面被不同平面切割后组合而成图形。
2
4、符号说明
:xf
:yf
:D
:1
横向下挠
:a
板宽之半
:
翼缘宽度
纵向上拱
:b
屋盖长度之半
:x
钢筋间隔
预应力钢筋直径
:N
预应力钢筋根数
预应力钢筋分布宽度
:2
通过原点的直母线位置
5、模型的建立与求解
5.1 问题 1.1 的解
a. 解：设能安排 2N 根过点
,
k x f
x
k x
a
的直母线钢筋，则
(
1)N
x
1
1N
1
x
………………….(1)
12
x
2
2N
当 y=b 时与锚固面相交， a
x
k
，即
x
2
a
k
(
a
).
f
f
y
x
………………….(2)
1
a
2
………………….(3)
又
1
2
联立(1),(2),(3)方程得
1
2(
a
)(1
f
f
)y
x
，
2
(
a
).
f
f
y
x
N
1
，
2(
a
)(1
x
f
f
y
x
)
由题意得主直母线的方程为：
y
f
f
.x
y
b
x
a
3
2
x
a
f
y
2
y
b
+
2
，
x
,
a y
b
由 2( ,
)
z x y =
f
x
取 0 ，则
f
f
2
a
2
f
2
b
x
y
2
(
z
y
2
x
2
2
f x
a
由双曲抛物面是直纹面，可由以下方程求两簇直母线的方程
0 簇母线方程：
)(
x
y
x
y
)
y
y
x
2
a
f
2
b
f
2
b
2
z
f
x
2
a
(
0
f
y
2
b
x
x
f
x
2
a
y
2
0
f
y
2
b
y
)
z
………………….(4)
过点
k x
,0,
f
x
k x
a
的直母线
f
x
2
a
k x
2
0
0
x
2
f
2
a
k x
代入方程(4)得
x
x
x
y
f
f
f
y
x
(
2
b
k x
2
a
2
f
2
a
第一簇直母线方程：
2
a
u 簇母线的方程：
f
u
2
b
2
a
2
b
2
a
(
x
y
x
f
f
f
y
x
x
x
f
x
2
a
k x
f
y
2
b
y
)
z
……..(5)
2
u
……………….(6)
y
y
)
z
过点
k x
,0,
f
x
k x
a
的直母线
f
x
2
a
k x
2
u
u
2
f
2
a
x
k x
得第二簇直母线方程：
4
x
x
f
2
a
2
f
2
a
x
k x
(
f
2
b
2
a
y
y
f
x
x
f
2
a
2
b
x
k x
f
y
y
)
z
………..(7)
根据直母线的方程，运用 MATLAB 软件得出以下空间直线的分布图，如
1.1 图及图 1.2 所示
图 1.1 第一簇直母线的分布图
5
图 1.2 第二簇直母线的分布图
b.解：I. 主直母线
y
f
f
.x
y
b
x
a
与平面
y
的交点
b l
1
)(
(
b l a
b
1
) .
f
f
y
x
,
b l
1
,0
II. 主直母线
y
f
f
.x
y
b
x
a
与平面
y
的交点为
b l
1
(
)(
b l a
b
1
) .
f
f
y
x
,
b l
1
,0
III. 主直母线
y
f
f
.x
y
b
x
a
与平面
y
的交点为
b l
1
)(
(
b l a
b
1
) .
f
f
y
x
,
b l
1
,0
IV. 主直母线
y
f
f
.x
y
b
x
a
与平面
y
的交点为
b l
1
6
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