第 !" 卷# 第 ! 期 !))* 年 " 月 # 运城学院学报 # # +%,-./& %0 1,.234.5 6.784-97:; $%&’ !"# (%’ ! <=-’ !))* 传 染 病 模 型 再 生 数 分 析 杨 建 雅! （ 运城学院 应用数学系，山西 运城 )"")))） # 摘# 要：结合具体模型阐述了平均患病期、基本再生数等概念’ 对总人口恒定的情形，结合以下三个模型： # （>）考虑人口出生和自然死亡的 ?@A 模型；（!）考虑人口出生!自然死亡和因病死亡的 ?@A? 模型；（B）对新生 儿进行预防接种的 ?@A? 模型；给出了基本再生数的计算公式’ 对总人口变动的情形，结合只有易感者有常数输 入的 ?@A? 模型给出了基本再生数的计算公式’ 分析了影响基本再生数的动力学因素’ 关键词：平均患病期；平均染病年龄；基本再生数；平均寿命 中图分类号：C>DE’ ># 文献标识码：< # # 文章编号：>))F G F))F（!))*）)! G )))* G )! # >’ 引言 # 以有如下结论( 传染病是由原微生物和寄生虫感染人身或动物后 产生的疾病’ 历史上曾给人类造成巨大的灾难’ 近年 来一些新出现的传染病也来势凶猛，如 !))B 年爆发的 ?） 这里 " 是移出率系数，"& 表示单位时间内移出者 的数目，显然 "&· > " $ & ，即经过 > " 时间病人全部移 出，可见 > " 表示平均移出时间，也就是平均患病期( 所 结论 # 若患病者的移出率系数为 "，则 > " 就是平 均患病期( 这一结论可通用数学期望来严格的论证［B］ !( 基本再生数分析 在模型（>）中，! 是传染率系数，!"& 表示单位时间 内被所有病人传染的人数，!" 表示单位时间内被一个 病人所传染的人数，它与易感者数量成正比，比例系数 为 !( 所以在平均患病期内被一个别病人所传染的总 人数为 !"· > " ( 在发病初期，患病人数相对较少，这时 可近似认为所有人均为易感者，假设总人数为 )，这时 一个病人在平均患病期内所传染的总人数为 !)· > " ， 称为模型（>）的基本再生数( 一般地 定义 # 在发病初期，所有人均为易感者时，一个 病人在平均患病期内所传染的总人数，称为基本再生 数( 用表示 ’) ( !’ > ?@A 模型 为了加深对基本再生数的理解，下面再看几个传 染病动力学模型 在模型（>）中添加动力学因素，考虑人口的出生 和自然死亡，并设出生率系数与自然死亡率系数均为 *，"（ +）, &（ #）, ’（ #） $ - 则有如下的模型( ! 收稿日期：!))* G )> G !) 基金项目：山西省重点扶持学科资助，运城学院院级项目资助，项目编号：!))E!)D 作者简介：杨建雅（>H*! G ），女，山西临猗人，运城学院应用数学系副教授。研究方向：生物数学。 ·*· 万方数据 

由模型（+）知，总人口 &（ #） $ "（ #）) (（ #）) *（ #），!& !# $ - ’ !& ’ #(+ 在发病初期，近似的认为所有人均为易感者（ ( $ ,），则有!& !# $ . ’ !& 解得 & $ ) /0 ’!#，取极限得 - ! & $ -.( #-/ - ! ，所以基本再生数为 *, $ !- !（ " ) ! ) #）+ )# 结束语 用移出率系数计算平均患病期时（ 移出包括恢复、 自然死亡和因病死亡），基本再生数只与平均患病期有 关，只有所考虑的因素影响到平均患病期时，基本再生 数才会发生变化# 如模型（!）与模型（"）比较，因病死 亡和自然死亡影响了平均患病期，从而基本再生数发 生了变化# 而对模型（’）和（)）而言，新生儿进行预防 接种不影响平均患病期，所以不影响基本再生数# 对 总人口非常数的传染病动力学模型，总人口的计算方 法是：假设 ( $ ,，-.( &（ #）即是总人口# #-/ 参 考 文 献： ［"］0 12345 267 8 829:.--; < 8=2>4?# @2:=4(2:.A2- @;74-9 .6 B;C3-2:.;6 1.;-;DE 267 FC.74(.;-;DE， G49:9 .6 *CC-.47 @2:=4(2:.A2 ),# $C5.6D45，!,,"# ［!］H @462 < -;5A2，I J I4:=A;:4# KE62(.A (;74-9 ;L .6L4AM :.;39 7.942949 29 54D3-:.;59 ;L C;C3-2:.;6 9.?49# H# @2:=# 1.M ;-# ，"NN!，’,：ON’ P Q"O# ［’］马知恩，周义仓等# 传染病动力学的数学建模与研究 ［ @］# 北京：科学出版社，!,,)# ［)］R. H.26S326，@2 ?=.46# T-;U2- 262-E9.9 ;L 9;(4 4C.74(.A (;74-9 V.:= D46452- A;6:2A: 52:4 267 A;69:26: .((.D52:.;6# *CC-.47 @2:=# @4A=# ，!,,)，)：’NO P ),)# ［+］R. H.26S326，@2 ?=.46# T-;U2- 7E62(.A ;L 26 $F%$ 4C.74(.A .6A.746A4# @2:=# (;74-9 V.:= C;C3-2:.;69.?4 74C46746: 1.;9A.# ，!,,’，"W+："+ P ’!# 【 责任编辑X 张凤琴】 !" !# !( !# !* !# $ %& ’ !"( ’ %" $ !"( ’（ " ) %）( $ " ( ’ %* （!） 由于考 虑 了 自 然 死 亡 率，使 得 平 均 患 病 期 缩 短 为 " % ) " ，其基本再生数为 !& % ) " + !# ! $%&$ 模型 在模型（!）的基础上，如果再考虑因病死亡和病 人康复后只有暂时免疫力，并设因病死亡率系数为 #， 丧失免疫力率系数为 $，则有如下的模型： !" !# !( !# !* !# $ %& ’ !" ’ !"( ) $* $ !"( ’（ ! ) # ) "）( （’） $ "( ’ !* ’ $ * 由于考虑了自然死亡率和因病死亡，使得平均患 病期缩短为 " ，其基本再生数变为 !& ! ) # ) " ! ) # ) " + !# ’ $%&$ 模型模型 在模型（’）的基础上，如果再考虑对新生儿进行 预防 接 种，并 设 接 种 比 例 为 (，则 有 如 下 模 型： !" !# $ %（" ’ ,）& ’ !" ’ !"( ) $* !( !# !* !# $ !"( ’（ ! ) # ) "）( （)） $ "( ) ,%& ’ !* ’ $ * 与模型（’）比较，平均患病期不变，所以基本再生 数也不变仍为 !& ! ) # ) " + !# ) $%&$ 模型 以上四个模型都是总人口恒定的传染病模型，下 面再看一个总人口非常数的传染病动力学模型# 设只 有易感者有常数输入，* 是常数输入率# 则有如下模 型# !" !# !( !# !* !# $ - ’ !" ’ !"( ) $* $ !"( ’（ ! ) # ) "）( （+） $ "( ’ !* ’ $ * 万方数据 ·Q· 

传染病模型再生数分析 作者： 杨建雅， YANG Jian-ya 作者单位： 刊名： 运城学院,应用数学系,山西,运城,044000 运城学院学报 英文刊名： JOURNAL OF YUNCHENG UNIVERSITY 年，卷(期)： 2006，24(2) 0次 引用次数： 参考文献(5条) 1.F Bauer.C Castillo-Chavez Mathematical Models in Population Biology and Epidemiology,Tests in Applied Mathematica 40 2001 2.J Mena-lorca.H W Hethcote Dynamic models of infectious diseases as regultiors of population sizes 1992 3.马知恩.周义仓 传染病动力学的数学建模与研究 2004 4.Li Jianquan.Ma zhien Global analysis of some epidemic models with general contact rate and constant immigration 2004 5.Li Jianquan.Ma zhien Global dynamic of an SEIS epidemic models with populationsize dependent incidence 2003 相似文献(0条) 本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_yuncxyxb200602003.aspx 下载时间：2010年5月16日