2005年江苏南京农业大学数学分析考研真题.doc

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2005 年江苏南京农业大学数学分析考研真题一．计算题（每小题 8 分，共 72 分） 1． lim 1 x  x x ln x   x x ； 1 2． 1[( lim n   1)(  1 n )  1(  2 n 1)] n n n ； 3．求和 1 2 n 1  n 2 ； 4．   xdy 2 x   ydx 2 y ，其中  : 2 x 4  2 y  1 以逆时针方向为正方向； 5．试以 u xy  { / xy v  为新自变量，变换方程 2 x z 2 2  x   2 y z 2 2  y   0 ； arctan bx 6．  0  x arctan ax dx (, b  a )0 ； 7.   zxy 2dxdy , 其中  为曲面 z  2 x  2 y 与平面 1z 所围立体的表面外侧；

  1 dx   1 2 x 2 x   2 y 22 ) y ( dy ； 8. 9. 计算  xdV ，其中  为以 O ),0,0,0( ( RA )0,0, 为球心，R 为半径的球体的公共部分；二 . （ 10 分）设 }{ na 是严格递降的正数列，且 lim  a  n n 0 ，证明：级数 a 1  a 2 n 1  )1(   1   a n  n 收敛。三.（12 分）试确定级数 1n  nx  ne 的收敛域。又问：该级数在收敛域内是否一致收敛？是否连续？是否可微？证明你的结论。四 . （ 18 分） 1. 设函数 )(xf 在区间 ]1,0[ 上有连续的导数， f )0(  ,0 f 1)1(  ，证明： 1  0  )( xf  )( xf dx  1 e ； 2. 证明： lim n   2  0 n sin xdx  0 ； 3. 证明： p   ,1 1 1 )1  ( n p n  p ；五.（10 分）举例说明连续函数 )(xf 使 a )( xf dx 收敛，但未必有 lim x  )( xf  0 .

证明：当 )(xf 在 ,[ a ) 上单调且 a )( xf dx 收敛时有 lim x  )( xf  0 . 六.（8 分）设 0x ，给出使关系式 A 2 x 再改进）  ln x  2 Bx 成立的最佳的 A 和 B 值.（最佳意指不能七. （10 分）设何？ 0p 为常数，试问   e  I 1 x x cos dx x p 关于参数在 ,0[  上一致收敛性如 ) 八. （10 分）试叙述聚点定理与有限覆盖定理，并用前者证明后者。

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