2000年江西高考理科数学真题及答案.doc-资料库

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2000 年江西高考理科数学真题及答案一、选择题：本大题共 12 小题；第每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）设集合 A 和 B 都是坐标平面上的点集   RyRx  , ，映射 , yx   | Af : B 把集合 A 中的元素  yx, 映射成集合 B 中的元素  x  , xy  y ，则在映射 f 下，象  1,2 的原象是（A）  1 ,3 （B）    3 2 1 , 2    （C）    3 2 1 ,  2    （D）  3 ,1 （2）在复平面内，把复数 3  对应的向量按顺时针方向旋转 i3  3 ，所得向量对应的复数是（A）2 3 （B） i32 （C） i33  （D）3 i3 （3）一个长方体共一项点的三个面的面积分别是 2 ， 3 ， 6 ，这个长方体对角线的长是（A）2 3 （B）3 2 （C）6 （D） 6 （4）设 a 、 b 、 c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则 ①   cba    bac  0 ； ② a  b  ba  ③   acb   bac  不与 c 垂直 ④ 3 a  2 b   3 a   2 b   9 a 2 2  4 b 中，是真命题的有（A）①②  cos x x y （5）函数（B）②③ （C）③④ （D）②④ 的部分图象是（6）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过 800 元的部分不必纳税，超过 800 元的部分为全月应纳税所得额。此项税款按下表分段累进计算：全月应纳税所得额不超过 500 元的部分超过 500 元至 2000 元的部分超过 2000 元至 5000 元的部分税率 5% 10% 15%

… … 某人一月份应交纳此项税款 26.78 元，则他的当月工资、薪金所得介于（A） 800~900 元（C）1200~1500 元（B）900~1200 元（D）1500~2800 元（7）若 a 1 b ，P= 1 lg  ，Q=  lg 2 a lg b a lg  b ，R= lg ba    2     ，则（A）R  P  Q （C）Q  P  R （B）P  Q  R （D）P  R  Q （8）右图中阴影部分的面积是（A） 32 （B） 329  （C） 32 3 （D） 35 3 （9）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（A）  21 2  （B）  41 4  （C） 21  （D）  41 2  （10）过原点的直线与圆 2 x  2 y  4 x  03 相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（A） y 3 x （B） y 3 x （C） x 3 3 （D） 3 3 x （11）过抛物线 y  ax 2  a  0 的焦点 F 作一条直线交抛物线于 P、Q 两点，若线段 PF 与 FQ 的长分别是 p 、 q ，则 1  等于 p 1 q （A） a2 （B） 1 a2 （C） a4 （D） 4 a （12）如图，OA 是圆锥底面中心 O 到母线的垂线，OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为（A） arccos （C） arccos 1 3 2 1 2 （B） arccos （D） arccos 1 2 1 4 2 二、填空题：本大题共 4 小题；每小题 4 分，共 16 分，把答案填在题中横线上。（13）某厂生产电子元件，其产品的次品率为 5%，现从一批产品中任意地连续取出 2 件，其中次品的概率分布是  p 0 1 2

（14）椭圆 2 x 9 2  y 4 当 1PFF 2 为钝角  1 的焦点为 1F 、 2F ，点 P 为其上的动点，时，点 P 横坐标的取值范围是________。  1 a （15）设 na 是首项为 1 的正项数列，且  n  2 1 n   na 2 n  na a n n 1   0 （ n =1，2， 3，…），则它的通项公式是 na =________。（16）如图，E、F 分别为正方体的面 ADD 、面 11A BCC 11B 的中心，则四边形 BFD1 在该正方体的面上的射影可能 E 是_______。（要求：把可能的图的序号都填上）三、解答题：本大题共 6 小题；共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分 10 分）甲、乙二人参加普法知识竞答，共有 10 个不同的题目，其中选择题 6 个，判断题 4 个。甲、乙二人依次各抽一题。（I）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？（II）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？（18 甲）（本小题满分 12 分）如图，直三棱柱 ABC- 11 CBA 1 ，底面ΔABC 中，CA=CB=1， BCA= 90 ，棱 1AA =2，M、N 分别是 1 1BA 、 AA1 的中点。（I）求 BN 的长；（II）求 cos BA 1 ， 1CB  的值；（III）求证 MCBA 1  1 。（18 乙）（本小题满分 12 分）如图，已知平行六面体 ABCD- DCBA 1 11 1 的底面 ABCD

是菱形，且 CBC1 = BCD = 60 。（I）证明： CC1 ⊥BD；（II）假定 CD=2， CC1 = 3 ，记面 BDC1 为，面 CBD 为 ，求二面角 2 平面角的余弦值；（III）当 CD 的值为多少时，能使 CA1 平面 BDC1 ？请给出证明。 1CC （19）（本小题满分 12 分）设函数   xf  x 12  ax ，其中 0a 。（I）解不等式   1xf ；    BD 的  （II）求 a 的取值范围，使函数  xf 在区间 ,0 上是单调函数。（20）（本小题满分 12 分）用总长 14.8m 的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制做容器的底面的一边比另一边长 0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积。（21）（本小题满分 12 分）（I）已知数列 nc ，其中 nc  n 2  n 3 ，且数列 c 1 n pc n 为等比数列，求常数 p 。（II）设 na 、 nb 是公比不相等的两个等比数列， c n  a n  b n ，证明数列  nc 不是等比数列。（22）（本小题满分 14 分）如图，已知梯形 ABCD 中 AB 2 CD ，点 E 分有向线段 AC 所成的比为，双曲线过 C、D、E 三点，且以 A、B 为焦点。当 2 3   时，求双曲线离心率 3 4 e 的取值范围。

参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分，满分 60 分。（1）B （6）C （11）C （2）B （7）B （12）D （3）C （8）C （4）D （9）A （5）D （10）C 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题 4 分，满分 16 分。（13）（14）   P 3 5 0 0.9025 3 5  x 1 2 0.095 0.0025 1 （16）②③ n （15）三、解答题（5）本小题主要考查等可能事件的概率计算及分析和解决实际问题的能力。满分 10 分。解：（I）甲从选择题中抽到一题的可能结果有 1 6C 个，乙依次从判断题中抽到一题的可能结果有 1 4C 个，故甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的可能结果有 1 6C 1 4C 个；又甲、乙依次抽一题的可能结果有概率为 1 10C 1 9C 个，所以甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的概率为 1 1 CC 6 4 1 1 CC 10 9  4 15 ，所求概率为 4 ； 15 ——5 分

（II）甲、乙二人依次都抽到判断题的概率为 1 1 CC 4 3 1 1 CC 10 9 ，故甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率为 1  1 1 CC 4 3 1 1 CC 10 9  13 15 ，所求概率为 13 。 15 或 1 1 CC 6 5 1 1 CC 10 9 1 1 CC 6 4 1 1 CC 10 9 1 1 CC 4 6 1 1 CC 10 9  1 3 4 15  4 15  13 15 ，所求概率为 13 。 15 ——10 分（18 甲）本小题主要考查空间向量及运算的基本知识。满分 12 分。如图，以 C 为原点建立空间直角坐标系 O  。 xyz （I）解：依题意得 B 0 ,1 ,0 ，N 1 ,0 ,1 ， ∴ BN  01   2    2 10   01   2  3 ——2 分（II）解：依题意得 1A  2 ,0 ,1 ，B 0 ,1 ,0 ，C 0 ,0 ,0 ， 1B  2 ,1 ,0 。 ∴ BA 1  2 ,1 ,1  ， 1 CB  2 ,1 ,0 。 1BA 1 CB 3 。 BA 1  6 ， CB 1  5 ∴ cos  1BA CB 1  BA 1 BA 1   CB 1 CB 1  1 10 30 （III）证明：依题意得 1C  2 ,0 ,0 ，M    1 2 1 , 2 2 ,    BA1   2 ,1 ,1  ， MC1    1 2 1 , 2 0 ,    ， ——5 分 ——9 分 ∴ BA1 MC1  0 1 2 1 2 0 ，∴ 1BA  MC1 ——12 分（18 乙）本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力。满分 12 分。

（I）证明：连结 1 1CA 、AC，AC 和 BD 交于 O，连结 OC1 。 ∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AC⊥BD，BC=CD。又∵  BCC 1  DCC 1 , CCCC 1 1  ， ∴  BCC 1  DCC 1 ， ∴ DCBC 1  1 ， ∵ DO=OB， ∴ OC1 BD， ——2 分但 AC⊥BD，AC∩ OC1 =O， ∴ BD⊥平面 1AC 。又 CC1 平面 1AC ， ∴ CC1 BD。（II）解：由（I）知 AC⊥BD， OC1 BD， ——4 分 ∴ OCC1 是平面角   BD 的平面角。   在 BCC1 中，BC=2， ∴ 2 BC 1  2 2    3 2 ， 1 CC 3 2 2 322   2  BCC 1  60 ， cos 60   13 4 。 ——6 分 ∵ ∠OCB= 30 ， 1 BC=1。 2 2 2  BC 1 ∴ OB= ∴ OC 1  OB 2  13 4  1 9 4 ， ∴ 1 OC 3 2 即 CCOC 1  1 。作 HC1 ⊥OC，垂足为 H。 ∴ 点 H 是 OC 的中点，且 OH 3 ， 2 所以 cos  OCC 1  OH OC 1  3 3 。 ——8 分

CD 时，能使 CA1 ⊥平面 BDC1 。 CC 1 1  （III）当证明一： ∵ CD ， CC 1 1  ∴ BC=CD= CC1 ，又  BCD  CBC 1  CDC 1 ，由此可推得 BD= DCBC 1  1 。 ∴ 三棱锥 C- BDC1 是正三棱锥。 ——10 分设 CA1 与 OC1 相交于 G。 ∵ 1CA ∥AC，且 1 1CA ∶OC=2∶1， 1 ∴ GA1 ∶GO=2∶1。又 OC1 是正三角形 BDC1 的 BD 边上的高和中线， ∴ 点 G 是正三角形 BDC1 的中心， ∴ CG⊥平面 BDC1 。即 CA1 ⊥平面 BDC1 。证明二：由（I）知，BD⊥平面 1AC ， ——12 分 ∵ CA1  平面 1AC ，∴ BD⊥ CA1 。 ——10 分当 CD 时，平行六面体的六个面是全等的菱形， CC 1 1  同 BD⊥ CA1 的证法可得 1BC ⊥ CA1 。又 BD∩ 1BC =B， ∴ CA1 ⊥平面 BDC1 。 ——12 分

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