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2007年广东高考理科数学真题及答案.doc
2007 年广东高考理科数学真题及答案
本试卷共 4 页，21 小题，满分 150 分，考试时间 120 分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的铅笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、
座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上、
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点
涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定
区域内相应位置上，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;不
准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4.作答选做题时，请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，
再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式
V
1
3
sh
，其中 S 是锥体的底面积， h 是锥体的高。
如果事件 A 、 B 互斥，那么
(
BAP
)
(
)
AP
(
BP
)
.
如果事件 A 、 B 相互独立，那么 (
P A B
)
(
(
P A P B
)
)
.
用最小二乘法求线性回归方程系数公式
b
n
i
1
n
i
1
x y
i
i
nx y
2
2
x
i
nx
a
,
y bx
.
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项符合要求的.
1.已知函数
)(
xf
1
1
x
的定义域为 M ，
)(
xg
1ln(
x
)
的定义域为 N ，则
NM
A.
x x
1
B.
x x
1
C.
x
1
x
1
D.
2.若复数
1(
bi
2)(
i
)
是纯虚数（i 是虚数单位，b 是实数）则b ＝
A.2
B.
3.若函数
( )
f x
2
sin
x
C.
1
2
D. 2
x R
则 是
( )
f x
),
1
2
1
2
(
2
A.最小正周期为
的奇函数
B.最小正周期为的奇函数
C.最小正周期为 2 的偶函数
D.最小正周期为的偶函数
4.客车从甲地以 60 km/h 的速度匀速行驶 1 小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以
80 km/h 的速度匀速行驶 1 小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发.经过乙地，最后到达
丙地所经过的路程 s 与时间 t 之间关系的图象中，正确的是
A
B
C
D
5.已知数|an|的前 n 项和
nS
n
2 9
，第 k 项满足5
n
ka
,则 k
8
A.
9
B. 8
C.
7
D.
6
6.图 1 是某县参加 2007 年高考
的学生身高条形统计图，从左到
右的各条形表示的学生人数依
次记为 A1、A2、…、A10（如 A2 表
示身高（单位：cm）（150，155）
内的学生人数）.图 2 是统计图
1 中身高在一定范围内学生人数
的一个算法流程图.现要统计身
高在 160~180cm(含 160cm,不含
180cm)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是
A. i<6
B.
i<7
C.
i<8
D.
i<9
7.图 3 是某汽车维修公司的维修点环形分布图，公司在年初分配给 A、B、C、D 四个维修点
的这批配件分别调整为 40、45、61 件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上
述调整，最少的调动件次（n 件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为 n）为
A. 15
B. 16
C. 17
D. 18
8.设 S 是至少含有两个元素的集合，在 S 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的 ,a b S ，
对于有序元素对 ( , )a b ,在 S 中有唯一确定的元素 a ﹡b 与之对应）.若对任意的 ,a b S ,有
a ﹡(b ﹡ )a
b ,则对任意的 ,a b S ,下列等式中不．恒成立的是
A.
( a ﹡b )﹡ a
a
B.
[ a ﹡(b ﹡ )a ]﹡( a ﹡b ) a
( a ﹡b )﹡[b ﹡( a ﹡b ) b
C. b ﹡(b ﹡b ) b
二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 5 分，满分 30 分，其中 13～15 题是选做题，考生只
能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分.
9.甲、乙两个袋中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同.其中甲袋装
有 4 个红球，2 个白球，乙袋装有 1 个红球，5 个白球. 现分别从甲、乙两袋中各随机取
D.
出一个球，则取出的两球都是红球的概率为
10.若向量 ,a b
满足
a
b
a
与b
1,
的夹角为 120°，则 a a a b
.（答案用分数表示）
.
11.在平面直角坐标系 xOy 中，有一定点 A （2，1），若线段OA 的垂
直平分线过抛物线 2
y
2
(
px p
的焦点，则该抛物线的准线方
0)
程是
.
12.如果一个凸多面体 n 棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的
条.这些直线中共有 )(nf 对异面直线，则 )4(f ＝
直线共有
图 4
;
)(nf ＝
.（答案用数字或 n 的解析式表示）
13.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为
3
x
t
3
y
t
，
(参数t R ),圆C 的参数方程为
x
y
，圆心到直线l 的距离为
)(
xf
为
(参数
， )，则圆C 的圆心坐标
0 2
2cos
2sin
2
.
14.（不等式选讲选做题）设函数
2
x
1
x
,3
则
f
)2(
＝
;若
)(
xf
2
，
则 x 的取值范围是
.
15.（几何证明选讲选做题）如图 5 所示，圆O 的直径
6AB ，C
3BC ，过C 作圆的切线l ，过 A 作l 的垂线
为圆周上一点，
AD ， AD 分别与直线l 、圆交于点 D 、 E ，则
∠ DAC ＝
，线段 AE 的长为
.
图 5
三、解答题：本大题共有 6 小题，满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.（本小题满分 12 分）
已知△ ABC 顶点的直角坐标分别为
)4,3(
A
、
B
)0,0(
、
cC
)0,(
.
（1）若 5c ，求 sin∠ A 的值;
（2）若∠ A 是钝角，求 c 的取值范围.
17.(本题满分 12 分)
下表提供了某厂节油降耗技术发行后生产甲产品过程中记录的产量 x (吨)与相应的生
产能耗 y(吨标准煤)的几组对应数据.
x
y
3
2.5
4
3
5
4
6
4.5
（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y=
（3）已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤，试根据（2）求出的线性回
归方程，预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？
xb
a
;
（参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5＝66.5）
18.（本小题满分 14 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为 2 2 的圆 C与直线 y
x ＝1 与圆 C的一个交点到椭圆两点的距离之和为 10.
a
2
y
9
2
2
切于坐标原点 O.椭圆
x 相
（1）求圆 C的方程.
（2）试探究圆 C上是否存在异于原点的点 Q，使 Q到椭圆右焦点 F的距离等于线段 OF的长.
若存在，请求出点 Q的坐标；若不存在，请说明理由.
19.（本小题满分 14 分）
如图 6 所示，等腰△ABC的底边 AB=6 6 ,高 CD=3，
点 E 是线段 BD上异于点 B、D的动点.点 F在 BC边上，
且 EF⊥AB.现沿 EF将△BEF折起到△PEF的位置，使 PE
⊥AE.记 BE x V(x)表示四棱锥 P-ACFE的体积.
（1）求 V(x)的表达式；
（2）当 x为何值时，V(x)取得最大值？
(3）当 V(x)取得最大值时，求异面直线 AC与 PF所成角的余弦值
20.（本小题满分 14 分）
已知 a是实数，函数
( )
f x
2
2
ax
2
x
点，求 a的取值范围.
21.（本小题满分 14 分）
如果函数
.
a
3
y
( )
f x
在区间[ 1,1] 上有零
已知函数
( )
f x
2
x
、 是方程 ( ) 0
x
f x 的两个根 (
1,
)
,
f x 是 ( )
f x
( )
a
的导数.设 1
1,
a
n
1
a
n
(
f a
n
(
f a
n
)
)
(
n
1,2,
,
)
(1)求 、 的值；
(2)证明：对任意的正整数 n，都有 na
;
(3)记
b
n
ln
a
n
a
n
(
n
1,2,
,求数列{ }nb 的前 n项和 nS .
)
一. CADBB CBA
参考答案
二. 9.
1
9
10.
1
2
11.
x
5
4
12.
2
n
n
2
,12 ,
n
2)
(
n n
1)(
2
13. (0,2), 2 2
14. 6, [ 1, 1]
15. 30 , 3
三.解答题
16.(1)解:
AC
2 5
,设 AC 中点为 M,则
cos
A
AM
AB
5
5
sin
A
2 5
5
;
(2)解:
AC
AC AB
(
c
3, 4),
AB
( 3, 4)
3(
c
3) 16 0
c
,若 A 是钝角,则
25
3
.
17. 解: (1) 散点图略
(2)
ˆ
b
4
X Y
i
i
66.5
1
i
66.5 4 4.5 3.5
2
86 4 4.5
所求的回归方程为
y
4
i
X
2
i
1
66.5 63
86 81
x
0.7
0.35
2
3
2
4
2
5
2
6
86
X
4.5
Y
3.5
0.7
;
ˆ
ˆ
a Y bX
3.5 0.7 4.5 0.35
(3)
x
100
,
y
100 0.7 0.35 70.35
吨,
预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低90 70.35 19.65
(吨)
18. 解:(1) 设圆 C 的圆心为 (
, )m n
则
,
m
n
0,
n
m
m n
2
0
2 2
所求的圆的方程为
(
x
2)
(2) 由已知可得 2
a
椭圆的方程为
2
x
25
10
2
y
9
解得
m
n
2
2
2
2)
8
y
5
2
(
a
1
, 右焦点为 (4,0)
F
.
设存在点 ( ,
Q x y C 满足条件,则
)
故存在符合要求的点
Q
(
4 12
,
5 5
)
.
(
(
x
x
2
2
2)
4)
(
y
2
y
2
2)
16
8
解得
Q
(
4 12
,
5 5
)
V
1
3
(9 6
1
2
x
6
x
)
x
(0
x
3 6)
即
19.
解
:
(1)
V
3 6
x
36
x
36
(0
x
3 6)
;
(2)
V
3 6
6
12
2
x
6
12
(36
x
2
)
,
x
(0,6)
时 ,
V
0;
x
(6,3 6)
时,
V
0;
x 时 ( )V x 取得最大值.
6
A
C
F
x
z
P
D
E
B
y
(3)以 E 为空间坐标原点,直线 EF 为 x 轴,直线 EB 为 y 轴,直线 EP 为 z 轴建立空间直角坐标
系,则 (0,6 6 6,0),
A
C
(3,6 3 6,0),
(3,3 6,0)
;
AC
P
(0,0,6),
F
( 6,0,0)
PF
( 6,0, 6)
,设异面直线 AC 与 PF 夹角是
cos
3 6
3 7
6 7
1
7
20.解:若 0
a ,则 ( )
f x
2
x
有唯一零点为
3
3 [ 1,1]
2
,故 0
a 不符合要求;
由
( )
f x
2
2
ax
2
x
a
3
0
(2
a x
2
1) 3 2
a
x
3 2
x
2
1)
(2
x
,
x
[ 1,1]
且
x
2
2
. 由
a
x
2(2
x
(2
2
x
6
x
2
1)
2
1)
当
22
x
6
x
1 0
时 ,
x
1
7
3
2
[ 1,1],
x
2
7
3
2
1
,
当
x
[ 1,
2
2
),(
2
2
,
x
)
1
时,
a , a 在两个区间上分别递增;
0
当
x
(
x
1
,
2
2
),(
2
2
,1]
时,
a , a 在两个区间上分别递减;
0
由
x 时 ,
1
a
5,
1x 时 ,
1a
,
x
1
7
3
2
时 ,
a
7
3
2
,
a
(
7
3
2
]
[1,
)
分析如图:
解法二: 若 0
a
,
( )
f x
2
x
3
,显然在上没有
零点, 所以
令
4 8
0
a
3
a
a
2
8
a
24
a
4 0
得
a
7
3
2
当
a
7
时 ,
3
2
y
f x
恰 有 一 个 零 点 在
1,1 上;
当
f
1
f
1
a
1
a
5
0
即 1
5a
时 ,
y
f x
也 恰 有 一 个 零 点 在
1,1 上;
当
y
f x
在
2
8
a
a
0
24
a
1
1
2
a
0
1
0
1
f
f
1,1 上有两个零点时, 则
a
2
4 0
1
或
4 0
8
a
0
24
a
1
1
2
a
0
1
0
1
f
f
1
解得 5a 或
a
7
3
2
因此 a 的取值范围是
a
7
3
2
或 ;
1a
21 解:(1) 由 2
x
x
1 0
得
x
5
1
2
5
1
2
5
1
2
(2)(数学归纳法)①当 1n 时, 1
a
1
5 1
2
,
命题成立;
②假设当
n
(
k k
1,
k N
*
)
时命题成立,即
ka
5 1,
2
a
k
1
2
a
k
2
a
k
1
1
a
k
2
1
2
5
8
1
2
a
k
2
1
2
5
16
1
2
,又等号成立时
ka
5 1,
2
ka
5 1
2
时,
1ka
k 时命题成立;由①②知对任意
n
1
n N 均有 na
.
*
(3)
( )
f x
2
x
1
a
n
1
a
n
a
2
n
2
a
a
n
n
1
1
2
a
n
2
a
n
1
1
1na
(
a
n
2
a
n
2
a
n
1
1
2
2
a
n
)
(
2
1
1)
2
(
a
n
2
a
n
)
1
同理
1na
2
(
)
a
n
2
1
a
n
a
n
a
n
1
1
(
a
n
a
n
)
2
ln
a
n
a
n
1
1
2ln
a
n
a
n
b
1
n
2
b
n
又
b
1
ln
a
1
a
1
ln
3
3
5
5
4ln
5
1
2
数列 nb 是一个首项为
4ln
5
1
2
,公比为 2 的等比数列;
nS
1
4ln
n
5
1 2
2
1 2
4 2
n
1 ln
5
.
1
2
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