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传递函数简化处理方法.doc

发布时间：2022-06-09 发布人：admin 分类：说明书 资料大小：0.97M 资料格式：doc 举报 版权申诉
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    哈尔滨理工大学学士学位论文 基于传递函数模型的模型简化方法研究 摘要 自动化技术高度发展的今天，需要设计、研究和控制的系统愈加复杂庞大。经 典控制理论的发展，现代控制理论的崛起，状态空间方法的产生和微型计算机 的广泛应用给工程技术人员设计高阶系统创造了条件。但是建造的模型阶数越 来越高，维数越来越多，以至无穷，就是运用大型计算机要计算模拟这些模型 的特性也存在着几乎是不能实现的困难。本文首先着重阐述了当今国内外从传 递函数角度入手，简化线性定常高阶系统数学模型的几种逼近方法——Pade 逼 近法、时间矩逼近法、连分式逼近法、Routh 逼近法和可调参数逼近法。并且通 过实例论述了如何具体运用这些方法来简化高阶模型，同时评述了它们的优缺 点和适用范围，接着介绍了国内外在工程实际中运用逼近法的部分情况，并以 一个四阶 R—C 梯形网络的方框图解耦为例进一步论证了简化方法在网络模拟 和计算上的重要作用。然后介绍了设计 PID 参数的虚拟对象的方法和可调参数 逼近法。Pade 降阶具有计算简单和低频逼近精度高的优点，降阶的实质是把原 系统高阶传函中的低频信息提取到虚拟对象的三个参数中来以便于设计。本设 计最后对连分式法进行了分析和研究，该算法在各种频域降阶法中思路较清 晰、设计较简单、降阶系统与高阶系统脉冲响应之间的拟合精度较高。 关键词 传递函数；Pade 逼近法；Routh 逼近法；PID 参数降阶；连分式法； Research of model simplification method based on transfer function model Abstract Right now with the high development of automantion, system that is need to be designed. researched and control becomes more and more complicated.The development of the classic control theory, the rise of modern control theory,the appearant of statespace method and the wide application of micro-computer created condition for the egnieers and technicians to design high order system. But the order of model becomes higher and higher; the divention also becomes more and more,which even approaches infility and diffiantties which can’t be overcome exists even using micro-computer to caculate and analog the characteristies of these models.In this paper, several approaching methods-pade approaching methods time turque approaching method connection and dirision style approaching Routh approaching method,and adjustable paramenter approaching method are, emphasized - I -
    哈尔滨理工大学学士学位论文 according to transfer function simplified linear constant high order system method model at the same time. Their advantages and disadvantages and the application range are elaborated. Next, some situation of the practical application of approaching methods. Are introduced, and the significance of the simplified method in web anolog and calculation is further testified with the example of a square picture of a four orders R-C web.Then the meyhod of dedigning the virtual object of PID parameter and adjustable parameters approaching of simple calculation and high accuraly of low frequency approaching.The substance of the order is to put the low frequenly information of the original system function into the three parameters of the virtual objects in order to make it convenience for the design. In this paper, the digiral stimulation and the experiment of experiment device are given. And the snperiority of the algorithm over traditional PID algorithm is shown, the results are satisfying. In the end, the analysis and researed of connection and division method are carned on in the design. Among the various frequency drain order reduction methods, this algorithm is comparable transfer approaching; Routh approaching; PID Keywords parameter； conction and division method; 不要删除行尾的分节符，此行不会被打印 function; pade - II -
    哈尔滨理工大学学士学位论文 目录 摘要…… I Abstract II 8 4 第 1 章 绪论 1 1.1 模型简化课题的背景及发展 1 1.2 模型简化问题的提出及意义 1 第 2 章 Pade 逼近法 4 2.1 一般意义下的 Pade 逼近 2.2 基于 Routh 稳定判据的 Pade 逼近法 2.3 时间矩拟合法 10 2.4 连分式逼近法 13 2.5 Routh 逼近法17 2.6 模型简化技术在实际工程中的应用20 2.7 本章小结 25 第 3 章 高阶系统的 PID 参数降阶设计 26 3.1 高阶系统的 PID 参数降阶 26 3.2 可调参数逼近的简化法 27 3.3 可调参数的确定及误差估计 31 3.4 本章小结 33 第 4 章 线性系统频域模型简化的连分式法 34 4.1 引言 34 4.2 动态系统的传递函数 34 4.3 连分式 36 4.4 展开和反演 40 4.5 多变量系统矩阵连分式降阶 41 4.6 当今的发展情况 43 4.7 本章小结 43 结论 44 致谢 44 参考文献 45 附录英文原文 45 中文翻译 49 千万不要删除行尾的分节符，此行不会被打印。在目录上点右键“更新域”，然 后“更新整个目录”。打印前，不要忘记把上面“Abstract”这一行后加一空行 - III -
    哈尔滨理工大学学士学位论文 绪论 模型简化课题的背景及发展 自动化技术高度发展的今天，需要设计、研究和控制的系统愈加复杂庞大。经 典控制理论的发展，现代控制理论的崛起，状态空间方法的产生和微型计算机 的广泛应用给工程技术人员设计高阶系统创造了条件。但是建造的模型阶数越 来越高，维数越来越多，以至无穷，就是运用大型计算机要计算模拟这些模型 的特性也存在着几乎是不能实现的困难。Bellman 把这形容成“维数的灾难”。 要把控制理论从“维数的灾难”中解救出来，发现和探求系统的简化模型是极 其主要的方法之一。喜多村认为“大量的控制问题归于数值计算和极值探索上 的问题，系统模型的低阶逼近在使问题的解决简单化上起着决定性的作用” 。 不仅如此，基于某种程度上的控制指标，尽可能简化本身也是最优化的必要条 件之一。正因为这样，模型简化问题是那样的引人注目。近期，国外杂志上陆 续发表了不少有关于模型简化问题的详细综述，力图进一步引起人们的重视， 从其引用文献数目之多，涉及时间及范围之广，足以想象简化技术的重要性， 也可见本领域的发展历史及正在发展的工作方兴未艾。 模型简化问题的提出及意义 简化意味着在一定条件下把状态空间的描述保持到最低的维数，把高阶系统的 传递函数尽可能降到最低的阶数。在保证原系统不失去其原有的稳定性的条件 下，抛掉系统中那些次要的可忽略的因素，保留那些主要的、支配的因素，进 而用最少的因素去描述它们。接着就是建立一个逼近度的标准的问题。概括起 来就是简化要做的工作。 把一个高阶系统简化到很低的阶数是完全可能的。在这从图 1-1、图 1-2 所示的 阶跃响应曲线对照图可以看出。图 1-1 是一个十阶的 RC 梯形网络及其二阶简化 模型的阶跃响应曲线比较图，其最大误差不超过 1.3%；图 1-2 是六阶多容惯性 系统及其三阶简化模型阶跃响应曲线比较图，其最大误差不超过 1.5%。这样建 立起来的低阶系统无论从计算的简易性、控制的直观性和其电模型运行的可靠 性上来说均有好处。如果从一种效率的角度来看简化，则一个能在所需要的工 作范围内代表某一高阶系统的低阶模型结构，实质上就是一种优化设计的思 想。这种思想正是近代控制及其工业系统力图实现的目标之一。 - 1 -
    哈尔滨理工大学学士学位论文 10 阶 RC 梯形网络传递函数及其(1、2)阶可调参数法简化模型的阶跃响 图 1-1 应曲线对照 程序：num=[-3.3125,1];den=[312.8125,51.6875,1];t=0:0.1:70; R=tf(num,den);y1=step(R,t); num=[1];den=[1,19,153,680,1820,3003,3003,1716,495,55,1]; G=tf(num,den);y2=step(G,t); plot(t,y1,'-',t,y2,'--'); xlabel('时间','FontSize',10); ylabel('输出','FontSize',10); - 2 -
    哈尔滨理工大学学士学位论文 6 阶多容惯性系统及其(2、3)阶可调参数法简化模型的阶跃响应曲线对 图 1-2 照 程序： G=tf(1,conv(conv([1,2,1],[1,1]),conv([1,2,1],[1,1])));y1=step(G,t);t=0:0.1:15; R=tf([0.34914,1.01186,1],[conv([2.2,1],[3.14407,2.78814,1])]);y2=step(R,t); plot(t,y1,'-',t,y2,'--'); xlabel('时间','FontSize',10); ylabel('输出','FontSize',10); 多年来人们从各种不同的角度对简化技术进行了很多的研究，理论上也有很大 的进展。其一是基于非奇异摄动理论和奇异摄动理论对状态方程进行等价线形 变换使得系数矩阵的结构变得清楚，或者使矩阵对角化，再适当化简。典型的 方法有建立集约化模型，从可控性发出的降阶和保留代表根法等。从这种角度 出发简化的缺点是改变了系统固有的物理意义，降阶系统和原系统的对应关系 难于理解。其二是在已知高阶系统的时域响应曲线和频域响应曲线的情况下采 用曲线拟合的方法。通过拟合计算，图解估计获得低阶模型。这种简化办法仅 是数值分析方法的一个分枝，而包含与数值分析中的麻烦总是有的，响应曲线 试验中的干扰更是难于避免的，何况必须先有高阶系统的响应曲线才能着手简 - 3 -
    哈尔滨理工大学学士学位论文 化。其三是由实验取得输入输出数据，直接从数据出发建立低阶模型。例如所 谓的一致逼近法和运用 Kautz 标准正交系的逼近法等。起四是建立在误差最小 基础上的所谓最优简化。此法把简化模型与原模型相比较，在某种误差准则上 获得误差函数，例如：方差函数、均方差函数等，并对其求极值以决定简化模 型参数。此法的缺点是计算量太复杂、稳态响应吻合差。再有就是在复域中对 传递函数的降阶法，由于传递函数在经典理论和现代理论分析中占有重要地 位，本章特着重评述这类方法在在当今国内外的发展情况。较为详细地给读者 介绍这些方法的原理、用途、评价它们的使用价值。 在用传递函数表示的线性定常高阶系统的低阶逼近方法中，具有代表性的几种 是 Pade 逼近法、时间矩拟合法、连分式逼近法、Routh 逼近法、可调参数法和 高阶系统的 PID 参数降阶。 Pade 逼近法 一般意义下的 Pade 逼近 Pade 逼近法是用有理函数作逼近函数的逼近方法。用有理函数可以逼近在有限 点处其值为无穷的函数，或者在无穷远处趋于某一定数的函数，以及一些无理 函数、超越函数(例如ex )等。对于诸如     sa m sb n sa 2 sb 2 sa 1 sb 1  0 a b 0 2 2 m n      G(s)= 这样的高阶有理函数，Pade 逼近法可以有效地以阶次低得多的有理函数逼近 它。这这里运用逼近方法的运算过程及其某些限制加以讨论。 (2-1) 设高阶系统传递函数 G(s)可在给定点 S 0 附近展开成 Taylor 级数： G(s)= c 0 +c1(s-s 0 )+c 2 (s-s 0 ) 2 +… (2-2) 1 其中 ic (i=0,1,2…)为常系统，且 c i = ! i · s 0 =0,则上式变为： G(s)=c 0 +c1s+c 2s 2 +… i )( sGd i ds s  0s 。为符号简明起见以下设 (2-3) 若设对应 G(s)有一有理函数 R K (s)(j,k)。( (j,k)表示分子为 j 阶多项式，分母为 k 阶多项式的有理函数的集合) - 4 -
    哈尔滨理工大学学士学位论文 2   d 0 e sd 1 se 1 sd 2 2 se R K (s)= 2 = r 0 +r1s+r 2s 2 +……   0 j       sd j k se k  j )( sp )( sQ k (2-4) 并约定 c i =r i (i=0,1,2……),则称 R K (s)为函数 G(s)的 Pade 逼近。R K (s)的分子、 分母多项式 P j (s)、Q h (s)de 系数 d p (p=0,1,…j)、e q (q=0,1,…k)由下列线性方程 组确定。注意其中还假设 P j (s)、Q k (s)无公因子，且 Q k (0)≠0。还因 P j (s)、 Q k (s)是分子分母的关系，可设 e 0 =1: d 0 =c 0 d1 -c 0 e1=c1 d 2 -c 0 e1 -c1e 2 =c 2 …… d j -c -c …… -c j e k -c kj e k -c e k -c 2kj 1kj 1k 1j e 1kj 1k e e 1k 1j -…-c -…-c j e1 =c e1=c j 1j -…-c 1kj e1=c kj (2-5) ＜0 时 c ,p .=0。(p , 其中当 p , 0 001   0 010   0 100     1 000 0 000 0 000 0 0 0  c  c  c  1 kj  2       kj  kj    是(5)式中系数 c 的脚标)写成矩阵形式为 0 0 0 c  c  c  j c  j  2 1  j 0 c  0 c  1  c  j c  c  j 1  j 1  - 5 - d d d 0 1 2  j d e e k 1k = c 0 c 1 c 2  c c c j j 1  2  (2-6) j
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