（无水印版）2009-2018年非数学类全国大学生数学竞赛初赛真题.pdf

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2009 年第一届全国大学生数学竞赛初赛（非数学类）试卷一、填空题(本题共 4 个小题，每题 5 分，共 20 分)： (1) 计算 òò D ( x + y æ ç +ç )ln 1 ç ç è y x ö ÷ ÷ ÷ ÷ ø 1 - - x y 轴所围三角形区域. d d x y =____________，其中区域D 由直线 x y+ = 与两坐标 1 (2) 设 ( ) f x 是连续函数，满足 ( ) f x = 3 x 2 - ò 2 0 ( ) f x dx - 2 ，则 ( ) f x =_______. (3) 曲面 z 2 + - 平行平面 2x + 2 y y 2 z- = 的切平面方程是___________. 0 由方程 xe ( ) f y y e= ln 29 确定，其中 f 具有二阶导数，且 f ¢ ¹ ，则 1 2 = x 2 y x= ( ) y =___________. 2 (4) 设 d d y 2 x 第二题：(5 分)求极限 x e 2 x + e æ ç ç ç ç ç è lim  0 x e  + + n e ö nx x ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ，其中 n 是给定的正整数. 第三题：(15 分)设函数 g x¢ 并讨论 ( ) g x¢ 在 ( ) ( ) f x 连续, 0 x = 处的连续性. ( ) g x = ò 1 0 ( f xt )d t ，且 ( ) f x lim x 0 x = ,A 为常数，求 A 1

D 第四题：(15 分)已知平面区域 - sin x sin y d y - ye 证：(1) xe  ò L £ £ sin y x y d π - , 0 ye £ £ y sin x d ; x π ，L 为D 的正向边界，试 } = {( , ) | 0 x y  ò - = d x xe L 25 π . 2 ³ x d sin y xe d y -- ye sin (2) ò L x + 第五题：(10 分)已知常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程. y ， 2 xe xe = = + y e 1 2 x x x e- x ， y 3 = xe x 2 x + e - e- x 是某二阶 2

第六题：(10 分)设抛物线 y = ax 2 + + bx 抛物线与 x 轴及直线 x = 所围图形的面积为 1 c 过原点，当 0 x£ £ 时， 1 y ³ ，又已知该 0 . 试确定 , ,a b c 使此图形绕 x 轴旋转一周而成 2 ln 1 3 的旋转体的体积V 最小. 第七题：(15 分)已知 nu x 满足 ( ) 求函数项级数 ¥ å n = 1 ( ) u x n 之和. ¢ ( ) u x n = ( ) u x n + x n e- 1 x （ n 为正整数），且 (1)n u = ， e n 3

第八题：(10 分)求 x  - 时，与 1 2 å 等价的无穷大量. x n ¥ n = 0 4

2010 年第二届全国大学生数学竞赛初赛（非数学类）试卷一、计算下列各题(本题共 5 个小题，每题 5 分，共 25 分，要求写出重要步骤) (1) 设，其中，求 . (2) 求 . (3) 设，求 . 1 22(1)(1)(1)nnxaaa||a1limnnxlimxxxex2110s0d(1,2,)sxnnIexxn

(4) 设有二阶连续导数，，，求 . (5) 求直线与直线的距离. 第二题：(15 分)设函数在上具有二阶导数，并且，且存在一点，使得 . 证明：方程在恰有两个实根. 2 ft22rxy1(,)gxyfr2222ggxy10:0xylz2213:421xyzl()fx,()()0,lim()0,lim()0xxfxfxfxαβ0x0()0fx()0fx,()

第三题：(15 分)设由参数方程所确定. 且，其中具有二阶导数，曲线与在处相切. 求函数 . 3 ()yfx22(1)()xtttytψ2234(1)dytdx()tψ()ytψ2213d2tuyeue1t()tψ

第四题：(15 分)设，证明：(1) 当时，级数收敛；(2) 当，且时，发散. 4 10nnnkkaSa，1α1nnnaSα1αnSn1nnnaSα

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