华中科技大学研究生课程考试试卷 课程名称： 课程类别 应用高等工程数学 □公共课 √ □专业课 考核形式 □开卷 □闭卷 √ 学生类别______________考试日期______________学生所在院系_______________ 2014-12-16 研究生 学号__________________姓名__________________任课教师___________________ 一、填空题（任选 10 小题，每小题 2 分，共计 20 分，多答不加分。） 1. 设 的最小多项式为 则与 A 相似的对角阵 . 2. 设矩阵 满足等式： ，问 是否可对角化_________. 3. 矩阵的谱半径是指________________________. 4. 矩阵特征值的根空间维数等于_____________________________. 5. 对任何非奇异矩阵 ，都有 1，当 为正交矩阵时 =___. 6. 已知 ，则其近似值 2.23607 有________位有效数字，通过 四舍五入得到其有四位有效数字的近似值为___________. 7. 已知 ，则 ___________， __________. 8. 当 为奇数时，等距节点的插值型 求积公式 至少有 ____次代数精度. 9. ，要使迭代法 局部收敛到 ，则 的取值范 围是_____________. 10. 试写出方程 的牛顿迭代格式__________________. 11. 设 为 的 样 本 ， 为 次 序 统 计 量 ， 则 ____________. 1 33}{ijAA)3)(2)(1()(AmBnnCAIAA22AApAcond）（A2）（Acond9923606797742.514223xxxf)(],,,[3210f],,,,[43210fn)(CNniiinxfCabI1)()()()(32xxx)(kkxx13*x03axxf)(),,(nXX1),(~10NX)()()(nXXX21~)()()(22221nXXX

12. 给出点估计评价的三个标准_________. 13. 给出假设检验中显著性水平 与统计假设 的关系________. 14. 设 为 的样本， 未知， 已知， 的置信水平为 的 双侧区间估计为___________. 15. 使用方差分析时对数据的要求是_______. 二、计算证明题（任选 4 题，每小题 10 分，满分 40 分，多答不加分。） 16. 已知 中的两个基底 ， ，求从 到 的 基变换矩阵。 17. 设 中 的 向 量 ， ， ， ， 分 别 张 成 ， ，求 及 的基底及维数。 18. 设 是线性空间 的线性变换，已知 在基 下的矩阵 为 , 求 的特征值和对应的特征向量。 19. 设 ，求可逆矩阵 P 和 Jordan 矩阵 J，使 AP=PJ。 2 0H),,(nXX1),(~2NX213R1001100111,,B1011101112,,B1B2B4R01211x11112x10123x73114x},{211xxspanw},{432xxspanw21ww21wwT3VT}{321，，BA221-11-1-1-22AT211030112A

20. 设 ，问 成立吗？若成立证明之。 21. ，求 的满秩分解。 22. 设有微分方程组 ，求满足初始条件的特解。 23. 设 ，求 的奇异值分解。 三、计算证明题（任选 4 题，每小题 10 分，满分 40 份，多答不加分。） 24. 对函数 ， , ， ，试求过这 2 点的三次 Hermite 插值多项式 ，并写出插值余项的表达式。 25. 试构造两点 Gauss-Chebyshev 求积公式 并由此计算积分 。 3 203010405050201020.........A0KkAlim2242122211212101AA)()()()()()()()()()(txtxtxdttdxetxtxtxdttdxetxdttdxtt32132321221132Tx0110,,)(A111001A10)(f20)(f01)(f101)(f)(xH3)()()(110011211xfAxfAdxxfx1122123dxxx

26. 设有常微分方程初值问题 的隐式中点公式 ，证明该方法是无条件稳定的。 27. 方程 的系数矩阵为 ，问 取何值时，Jacobi 迭代收敛？ 28. 设 为总体 的一个样本， ， 未知。 （1） 是否为 的无偏估计？ （2）由 构造 的 个无偏估计. （3）设 , . 问 是否为 的无偏估计，若是 的无偏估计，确定 ， ，使 的方差最小。 29. 某纺织厂生产的某种产品的纤度，设服从正态分布，标准差 ，现抽取 5 根测得纤度为 1.32,1.55,1.36,1.40,1.44，问在显著性水平 下，能否认为 无显著变化。（ ， ） 4 ayyx,fxy')0()()(2121nnhnnnyyxhfyy,bAxaaaA202105a),,(nXX1XXX),,(nXX1nniia11niai,,,10niiiXa1ˆiani,,1ˆ0480.100.2711042050.)(.488942950.)(.

30. 设有三个工厂生产同一种机械锻件，为比较这三个厂生产的锻件强度无显著差 异，分别从每个厂随机抽 4 件，测得强度数据如下： 工厂 103 113 82 强度数据 101 107 92 98 108 84 110 116 86 设第 个厂的强度服从 ， 。检验三个厂的平均强度有无显著差 异？ （ ） 31. 已知 与三个自变量的观察值如下表： -1 -1 -1 -1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 1 -1 1 1 1 -1 1 1 1 7.6 10.3 9.2 10.2 8.4 11.1 9.8 12.6 求 对 的回归方程。 32. 有经过 xmin 反应之后的数据如下： 1 2 3 4 28.5 16.9 17.5 14.0 5 9.8 设 （ 满足回归分析条件），求 的点估计，并求 6 8.9 . 5 1A2A3Ai),(2iN321,,i050.49312326492950950.),(,.),(..FFy1x2x3xyy321xxx,,ixiyxy1010,xy10ˆˆˆ