计算机视觉中的数学方法 PDF打印版.pdf

发布时间：2022-06-09 发布人：admin 分类：说明书资料大小：4.27M 资料格式：pdf 举报版权申诉

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吴福朝编著计算机视觉中的数学方法

内容简介本书由射影几何、矩阵与张量、模型估计三个部分组成，它们是三维计算机视觉所涉及到的基本数学理论与方法。I. 射影几何学是三维计算机视觉的数学理论基础，是从事计算机视觉研究所必备的数学知识。本书着重介绍射影几何学和它在视觉中的应用，主要内容包括：平面与空间射影几何，摄像机几何，两视点几何，自标定技术和三维重构理论。II. 矩阵与张量是描述和解决计算机视觉问题的必要数学工具，视觉领域研究人员都应该掌握这门数学。本书着重介绍与视觉有关的矩阵、张量理论与它的应用，主要内容包括：矩阵分解，矩阵分析，张量代数，运动与结构，多视点张量。III. 模型估计是三维计算机视觉的基本问题，通常涉及到变换或某种数学量的估计。本书着重介绍与视觉估计有关的数学理论与方法，主要内容包括：迭代优化理论，参数估计理论，视觉估计的代数方法、几何方法、鲁棒方法和贝叶斯方法。上述三部分涉及的数学内容是相对独立的，但三维计算机视觉将它们组成一个有机的整体。通过阅读本书，读者能掌握三维计算机视觉中的基本数学内容与方法，增强数学素养、提高分析和解决视觉问题的数学能力。

目录第 1 章平面射影几何第一篇射影几何 1.1 射影平面--------------------------------------------------- 3 1.1.1 射影平面----------------------------------------------- 3 1.1.2 两点、两线的叉积--------------------------------------- 5 1.1.3 共线点、共点线的交比----------------------------------- 5 1.2 二次曲线-------------------------------------------------- 8 1.2.1 矩阵表示--------------------------------------------- 9 1.2.2 切线------------------------------------------------- 9 1.2.3 配极对应--------------------------------------------- 10 1.2.4 对偶二次曲线----------------------------------------- 13 1.2.5 圆环点及其对偶--------------------------------------- 14 1.3 二维射影变换--------------------------------------------- 16 1.3.1 二维射影变换----------------------------------------- 16 1.3.2 直线与二次曲线的射影变换----------------------------- 20 1.4 变换群与不变量------------------------------------------- 21 1.4.1 等距变换群------------------------------------------- 21 1.4.2 相似变换群------------------------------------------- 23 1.4.3 仿射变换群------------------------------------------- 24 1.4.4 射影变换群------------------------------------------- 27 第 2 章空间射影几何 2.1 射影空间------------------------------------------------- 31 2.1.1 空间点----------------------------------------------- 31 2.1.2 空间平面--------------------------------------------- 31 2.1.3 空间直线--------------------------------------------- 34 2.1.4 共线平面束的交比------------------------------------- 37 2.2 三维射影变换--------------------------------------------- 38 2.2.1 三维射影变换----------------------------------------- 38 2.2.2 平面与直线的变换规则--------------------------------- 39 2.3 二次曲面与变换规则--------------------------------------- 40 2.3.1 基本性质--------------------------------------------- 40 2.3.2 二次曲面的对偶--------------------------------------- 42 2.3.3 绝对二次曲线与绝对二次曲面--------------------------- 45 2.4 空间射影变换群的子群------------------------------------- 49 2.4.1 仿射变换群------------------------------------------- 49 1

2.4.2 相似变换群------------------------------------------- 51 2.4.3 等距变换群------------------------------------------- 52 2.4.4 二次曲面分类----------------------------------------- 53 2.5 射影坐标系与射影坐标变换--------------------------------- 56 第 3 章摄像机几何 3.1 摄像机模型----------------------------------------------- 59 3.1.1 摄像机模型------------------------------------------- 59 3.1.2 摄像机矩阵元素的几何意义----------------------------- 63 3.1.3 摄像机矩阵估计--------------------------------------- 66 3.1.4 欧氏空间与射影空间----------------------------------- 67 3.2 投影与反投影--------------------------------------------- 69 3.2.1 空间点----------------------------------------------- 69 3.2.2 空间直线--------------------------------------------- 70 3.2.3 空间平面--------------------------------------------- 72 3.2.4 二次曲线--------------------------------------------- 73 3.2.5 二次曲面--------------------------------------------- 74 3.3 恢复平面景物的几何结构----------------------------------- 77 3.3.1 仿射结构--------------------------------------------- 77 3.3.2 相似结构--------------------------------------------- 78 3.3.3 绝对欧氏结构----------------------------------------- 79 第 4 章两视点几何 4.1 基本矩阵------------------------------------------------- 81 4.1.1 极几何----------------------------------------------- 81 4.1.2 基本矩阵--------------------------------------------- 83 4.1.3 几何解释--------------------------------------------- 87 4.2 单应矩阵------------------------------------------------- 88 4.2.1 单应矩阵--------------------------------------------- 88 4.2.2 与基本矩阵的关系------------------------------------- 91 4.2.3 不动点与不动线--------------------------------------- 93 4.3 基本矩阵估计--------------------------------------------- 94 4.3.1 8－点算法-------------------------------------------- 94 4.3.2 最小点对应算法--------------------------------------- 96 4.4 恢复摄像机矩阵------------------------------------------- 97 4.4.1 射影相关--------------------------------------------- 97 4.4.1 摄像机矩阵的恢复------------------------------------- 100 第 5 章自标定理论 5.1 正交性与摄像机内参数------------------------------------- 101 2

5.1.1 影消点与影消线--------------------------------------- 101 5.1.2 摄像机内参数----------------------------------------- 102 5.2 圆环点与摄像机内参数------------------------------------- 105 5.2.1 内参数约束方程--------------------------------------- 105 5.2.2 确定圆环点的图像------------------------------------- 105 5.2.3 圆环点与正交方向------------------------------------- 107 5.3 平行性与摄像机内参数------------------------------------- 108 5.3.1 平行四边形的射影------------------------------------- 108 5.3.2 平行六面体的射影------------------------------------- 111 5.3.2 摄像机内参数----------------------------------------- 113 5.4 Kruppa 方程与摄像机内参数--------------------------------- 117 5.4.1 Kruppa 方程------------------------------------------- 117 5.4.2 由 Kruppa 方程求焦距---------------------------------- 119 5.5 绝对二次曲线与摄像机内参数------------------------------- 121 5.5.1 基本约束方程----------------------------------------- 121 5.5.2 变化内参数------------------------------------------- 121 5.5.3 恒定内参数------------------------------------------- 122 5.5.4 尺度因子计算公式------------------------------------- 123 5.6 绝对二次曲面与摄像机内参数------------------------------- 125 5.6.1 基本约束方程----------------------------------------- 125 5.6.1 约束的等价性----------------------------------------- 126 第 6 章三维重构理论 6.1 三角原理------------------------------------------------- 130 6.2 基本矩阵与射影重构--------------------------------------- 132 6.3 无穷远平面与仿射重构------------------------------------- 133 6.4 绝对二次曲线与度量重构----------------------------------- 135 6.5 绝对二次曲面与度量重构----------------------------------- 138 6.6 实现分层重构的实例--------------------------------------- 140 6.6.1 仿射点对应------------------------------------------- 141 6.6.2 准仿射重构------------------------------------------- 142 6.6.3 仿射重构--------------------------------------------- 143 6.6.4 度量重构--------------------------------------------- 146 6.7 多摄像机系统标定----------------------------------------- 147 6.7.1 一维标定物------------------------------------------- 147 6.7.2 确定仿射摄像机矩阵----------------------------------- 148 6.7.3 确定欧氏摄像机矩阵----------------------------------- 149 3

第 7 章正交对角化第二篇矩阵与张量 7.1 内积空间与正交矩阵--------------------------------------- 154 7.1.1 内积空间--------------------------------------------- 154 7.1.2 正交矩阵--------------------------------------------- 155 7.2 酉空间与酉矩阵------------------------------------------- 158 7.2.1 酉空间----------------------------------------------- 158 7.2.1 酉矩阵----------------------------------------------- 159 7.3 正规矩阵------------------------------------------------- 162 7.3.1 Schur 引理-------------------------------------------- 162 7.3.2 正规矩阵--------------------------------------------- 163 7.3.3 正交谱分解------------------------------------------- 166 7.4 轭米特矩阵----------------------------------------------- 169 7.4.1 特征值的极性----------------------------------------- 169 7.4.2 半正定轭米特矩阵------------------------------------- 172 7.5 反对称矩阵----------------------------------------------- 176 第 8 章矩阵分解 8.1 正交－三角分解------------------------------------------- 178 8.1.1 Givens 方法------------------------------------------- 179 8.1.2 Householder 方法-------------------------------------- 180 8.1.2 内参数与外参数的分解--------------------------------- 182 8.2 乔里斯基（Cholesky）分解--------------------------------- 183 8.3 奇异值分解----------------------------------------------- 184 8.3.1 正交对角分解----------------------------------------- 184 8.3.2 奇异值分解------------------------------------------- 185 8.3.3 奇异值的极性----------------------------------------- 187 8.3.4 极分解----------------------------------------------- 188 8.4 最小二乘问题--------------------------------------------- 189 8.4.1 满秩最小二乘问题------------------------------------- 191 8.4.2 亏秩最小二乘问题------------------------------------- 193 8.4.3 数值秩的定义和确定方法------------------------------- 193 8.4.4 齐次最小二乘问题------------------------------------- 194 8.4.5 约束齐次最小二乘问题--------------------------------- 196 第 9 章矩阵分析 9.1 向量与矩阵范数------------------------------------------- 198 9.1.1 向量范数--------------------------------------------- 198 9.1.2 矩阵范数--------------------------------------------- 202 4

9.1.3 矩阵条件数------------------------------------------- 207 9.2 矩阵级数与矩阵函数--------------------------------------- 210 9.2.1 矩阵序列--------------------------------------------- 210 9.2.2 矩阵级数--------------------------------------------- 212 9.2.3 矩阵函数--------------------------------------------- 213 9.3 矩阵导数------------------------------------------------- 217 9.3.1 函数矩阵的导数--------------------------------------- 217 9.3.2 向量值映射关于向量的导数----------------------------- 219 9.3.3 函数关于矩阵的导数----------------------------------- 221 9.3.4 函数矩阵关于矩阵的导数------------------------------- 224 9.4 矩阵直积------------------------------------------------- 228 9.4.1 概念与基本性质--------------------------------------- 228 9.4.2 特征值与特征向量------------------------------------- 233 第 10 章张量代数 10.1 张量概述------------------------------------------------ 236 10.2 张量积-------------------------------------------------- 240 10.2.1 线性映射-------------------------------------------- 240 10.2.2 多重线性映射---------------------------------------- 243 10.3 张量---------------------------------------------------- 259 10.3.1 张量及其代数运算------------------------------------ 259 10.3.2 对称与反对称张量------------------------------------ 253 10.4 外代数（Grassmann 代数）--------------------------------- 255 10.4.1 外积运算-------------------------------------------- 256 10.4.2 外代数---------------------------------------------- 260 10.4.3 Plucker-Grassmann 坐标------------------------------- 264 第 11 章运动与结构 11.1 欧氏运动与结构------------------------------------------ 267 11.1.1 本质矩阵-------------------------------------------- 267 11.1.2 欧氏运动-------------------------------------------- 269 11.1.3 欧氏结构-------------------------------------------- 271 11.2 仿射运动与结构------------------------------------------ 273 11.2.1 仿射摄像机------------------------------------------ 273 11.2.2 仿射运动与结构-------------------------------------- 275 11.3 射影运动与结构------------------------------------------ 277 11.3.1 基本原理-------------------------------------------- 278 11.3.2 选择射影深度---------------------------------------- 279 11.3.3 迭代分解算法---------------------------------------- 280 5

第 12 章多视点张量 12.1 双线性关系---------------------------------------------- 283 12.1.1 基本矩阵的张量形式---------------------------------- 283 12.1.2 极点的张量形式-------------------------------------- 285 12.2 三线性关系---------------------------------------------- 286 12.2.1 三点对应-------------------------------------------- 286 12.2.2 点、线对应------------------------------------------ 289 12.2.3 三线性约束的独立数---------------------------------- 291 12.2.4 恢复摄像机矩阵-------------------------------------- 293 12.3 四线性关系---------------------------------------------- 295 12.3.1 四线性关系------------------------------------------ 295 12.3.2 四线性约束的独立数---------------------------------- 298 第 13 章迭代优化第三篇模型估计 13.1 最优性条件---------------------------------------------- 301 13.1.1 最优性条件------------------------------------------ 301 13.1.2 迭代格式-------------------------------------------- 305 13.2 一维搜索------------------------------------------------ 305 13.2.1 精确一维搜索---------------------------------------- 306 13.2.2 非精确一维搜索-------------------------------------- 308 13.3 无约束优化---------------------------------------------- 310 13.3.1 最速下降法------------------------------------------ 310 13.3.2 NEWTON 法-------------------------------------------- 310 13.3.3 变度量法-------------------------------------------- 311 13.3.4 共轭方向法------------------------------------------ 314 14.3.5 LM 法----------------------------------------------- 315 13.4 约束优化------------------------------------------------ 316 13.4.1 惩罚法---------------------------------------------- 316 13.4.2 乘子法---------------------------------------------- 319 第 14 章参数估计 14.1 最大似然估计-------------------------------------------- 325 14.1.1 基本概念-------------------------------------------- 325 14.1.2 相合性与渐近正态性---------------------------------- 328 14.1.3 混合模型-------------------------------------------- 330 14.2 Bayes 估计----------------------------------------------- 332 6

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