中国科技论文在线 http://www.paper.edu.cn 原函数不能用初等函数表达的函数的定积 分的解法 李冰玉* （辽宁工程技术大学 理学院，辽宁 阜新 123000） 摘要：在数学领域中求解定积分是一个重要分支，求解定积分在现实生活中也有着广泛的应 用。本文主要探讨的是求解原函数不能用初等函数表达的函数的定积分这一问题。给出了复 化梯形求积方法、复化辛卜生求积方法、复化柯特斯求积方法的 MATLAB 程序，并给出了 典型例题。 关键词： 计复化梯形求积方法；复化辛卜生求积方法；复化柯特斯求积方法；MATLAB 中图分类号：O Original function can not be expressed by elementary funtions of the definite integral of the solution function LI Bingyu (Liaoning Technical University, College of Science , Liaoning FuXin 123000) Abstract: In the field of mathematics to solve definite integral is an important branch of solving the definite integral in real life also has a wide range of applications. This paper discusses the solving of the original function can not function with the primary function of the definite integral of the expression of this problem. Given the repeated trapezoidal quadrature method, complex method of Xinbo Health quadrature, complex method of Cotes Quadrature MATLAB program, and gives a typical example. Key words: compound trapezoid quadrature method;complex of Xinbo Health quadrature method; complex of Cotes quadrature method; MATLAB 0 引言 通常所说的“求定积分”，是指在用初等函数把这个定积分(或原函数)表示出来的基础 上进行计算，并不是任何初等函数的定积分都能“求出”精确值来。因为虽然初等函数的原 函数总是存在的，可是这种函数不一定仍旧是初等函数。这正像代数函数的原函数不一定仍 1 旧是代数函数一样( x 很严密地证明了初等函数的原函数不可能尽是初等函数。例如： 的原函数分别为 xln 与 1 x+ 2 与 1 arctan )。法国数学家柳维勒曾经 x 1 − k 2 sin x 0( ≺ k 2 ≺ ),1 sin 2 x , e 2 ± x sin, x x , x cos x 1, ln x 等函数在结构上虽然很简单， 但是，它们的原函数不是初等函数。[1] 1 复化梯形求积方法求解原函数不是初等函数的函数的定积分 数学分析[2]给出了求解定积分的基本思想。复化梯形求积方法就是利用这一思想构建的 近似解法。 作者简介：李冰玉（1986），女，学生，系统控制理论与应用. E-mail: libingyujiayou@163.com - 1 - 

中国科技论文在线 定义 1[3] dxxfb ( ) ∫ a ≈ afab − ( ) 2 [ http://www.paper.edu.cn + ]bf ( ) ，记 T = afab − ( ) 2 [ + ]bf ( ) 叫做梯形求积公 式。 定 义 2[3] 将 积 分 区 间 [ ]ba, 等 分 为 n 个 子 区 间 ， 分 点 为 xk += a hkh , = ,...,1,0 n 在 子 区 间 [ x ,1− k x ]k 上 进 行 数 值 积 分 ， 即 .在子区间[ x ,1− k x ]k 上使用梯形公式，然后把每个子区间上的梯 ab = , k − n ( )dxxf n x b k x k a 1 − 1 = = ( ) dxxf k∑∫ ∫ 形公式迭加起来，即 ∑ ( ) dxxf ≈ n b afh ⎡ ( ) ⎢ 2 ⎣ + 2 n 1 − ∑ k 1 = ( xf k ) + ⎤ ( ) bf =⎥ ⎦ T n xfh [ ( 2 ) ( xf ] ) k k k a 1 = 1 − + = ∫ 称为复化梯形公式。 复化梯形公式的截断误差估计[4]： 首先对梯形公式进行截断误差估计： [ ] fR ]ba, 上连续，且( f ′′ 在[ b a b f ( )( ′′ ξ !2 ) bxax ,0< − − ]ba, 上必存在一点η，使得 )( − − )dxbxax − = ∫ )( ) ( b <<ξ 。如果 ( )x a 第一中值定理知，在[ )( ( )( ′′ ξ f b ∫ a dxbxax − − )dxbxax )( ξ与 x 有关， − ]ba, 上不变号，则由积分 在[ a 3 −= ( ) ∫ η ) f ′′= ( ab − 6 afab − ( ) 2 [ 即 [ ] fR b = ∫ a ( ) dxxf − ( )ηf ′′ ( a )b ≤≤η + ] ( ) bf −= 3 ) ( ab − 12 f ( ) ( a η, ′′ ≤≤ η )b − η k 1 ≤ k ≤ x k ), 将 n 个子区间的 fh 3 12 k f ) x x − ... ,1− ]k ( ′′ η k ( ′′ η 1 ( f ′′+ η 2 在子区间[ 上，求积截断误差为 ) ( x , 截断误差相加就得复化梯形公式在[ ]ba, 上的截断误差，即 ) h 3 ] [ ]n [ ( ) fR f ′′++ η −= n 12 f ′′ 在[ ]ba, 上的连续性，可知在( 由 ( )x )ba, 内必存在一点η使 1 ]n [ ( ) ( ) f ... ′′++ ′′ η η n ( )ηfhab − 12 Mhab − ] 12 于是有 ，则有 [ fRn ( ) Mx ′′ ( f ′′+ η 2 η介于 [ fRn max bxa ≤≤ ( ′′ η 1 nηηη ,..., 1 −= 。 若 ≤ = ≤ ] ) ) ′′ f f f , 2 2 2 之间， 例 1 近似计算： π ∫ 2 0 sin x 2 dx ，误差小于 0.01. 解：采用复化梯形求积方法， - 2 - 

中国科技论文在线 http://www.paper.edu.cn 截断误差估计： R ≤ 0 − π 2 12 2 ⋅ h − sin 2 x ⋅ 2 x + cos x 2 2 <⋅ 01.0 =h 即可。 1 取 10 MATLAB 程序[5]为： a=(1/2)*(pi/20)*(0+sin((pi/2)^2)) for i=1:9 a=a+(pi/20)*sin(((pi/20)*i)^2)%最后一个输出值为定积分的解 end 解得：a = 0.8231，即为定积分的近似解。 2 复化辛卜生求积方法求解原函数不是初等函数的函数的定积分 ∫ ( ) 定义 3[3] dxxfb afab − ( ) 6 定义 4[3] 在每个子区间[ ≈ x x [ ]k ,1− a k + 4 ( ) cf + ( ) bf ] S = 称为辛卜生公式。 上添加一个中点 x ，即 −k 1 2 x k − 1 2 += a ⎛ − k ⎜ ⎝ 1 2 ⎞ ⎟ ⎠ h ，然后 在每个子区间上使用辛卜生公式，并迭加起来，即 b ∫ a ( ) dxxf ≈ k n 1 = ∑ ⎡ xfh ( ⎢ 6 ⎢ ⎣ ⎡ afh ( ) ⎢ 6 ⎢ ⎣ S + n = = ) + 4 k 1 − ⎛ ⎜⎜ xf ⎝ n ∑ 4 k 1 = ⎛ ⎜⎜ xf ⎝ k − 1 2 ⎞ +⎟⎟ ⎠ ( xf k ⎤ ) ⎥ ⎥ ⎦ 2 n 1 − ∑ k 1 = ( xf k ) + ⎤ ( ) bf ⎥ ⎥ ⎦ k − 1 2 ⎞ +⎟⎟ ⎠ 就是复化辛卜生公式。 与复化梯形公式的截断误差的估计方法相同，可得复化辛卜生公式的截断误差[4]：若 max bxa ≤≤ f 4 ( )( ) Mx ≤ ，则有 [ fRn ] ≤ 例 2 用复化辛卜生求积方法求解 4 Mhab − 2880 π ∫ 2 sin x 0 2 。 dx 与复化梯形求积方法进行比较。 解：采用复化辛卜生求积方法， =h 1 取 10 MATLAB 程序[5]为： a=(1/6)*(pi/20)*(0+sin((pi/2)^2)) for i=1:10 a=a+(pi/30)*sin(((pi/40)*(2*i-1))^2); end for i=1:9 a=a+(1*pi/60)*sin(((pi/40)*2*i)^2) %最后一个输出值为定积分的解 end - 3 - 

中国科技论文在线 http://www.paper.edu.cn 解得：a = 0.8281 与例 1 结果 a = 0.8231 不同，我们不必分别计算二者的截断误差进行比较，由两种方法 的几何意义可知，当所取的 h 相同时，用复化辛卜生求积方法求解比较精确。 3 复化柯特斯求积方法求解原函数不是初等函数的函数的定积分 定义 5[3] 插值节点除取端点 ba, 及 c 外，再增加两个节点 ed, 。 ( )ab − 。于是： eab − , 4 ( ) dxxf ≈ += a ab − 90 d += a b = ∫ a ∗ I 公式。 3 4 [ 7 ( ) af + 32 ( ) df + 12 ( ) cf + 32 ( ) ef + 7 ( ) bf ] C = 称为柯特斯 定义 6[3] 将每个子区间[ x ,1− k x ]k 分成四等份，依次取节点为 1−kx 、 x 、 −k 3 4 x 、 −k 1 2 x 、 −k 13 4 kx ，然后在每个子区间上使用柯特斯公式，并迭加起来，即 ( ) dxxf b a ∫ nC= ≈ h 90 [ 7 ( ) af + 32 n ∑ k 1 = ⎛ ⎜⎜ xf ⎝ k − 3 4 ⎞ +⎟⎟ ⎠ 12 n ∑ k 1 = ⎛ ⎜⎜ xf ⎝ k − 1 2 ⎞ +⎟⎟ ⎠ 32 n ∑ k 1 = ⎛ ⎜⎜ xf ⎝ k − 1 4 ⎞ ⎟⎟ ⎠ + 14 n 1 k∑− ( xf k 1 = ) + 7 ( )]bf 就是复化柯特斯公式。 与复化梯形公式的截断误差和复化辛卜生公式的截断误差的估计方法相同，可得复化柯 特斯公式的截断误差[4]：若 max bxa ≤≤ f 6 ( )( ) Mx ≤ ，则有 [ fRn ] ≤ 2 ) ( ab − 945 6 Mh ⎞ ⎟ 4 ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ 。 例 3 近似计算： π ∫ 2 0 sin x 2 dx 解：我们采用复化柯特斯求积方法， =h 1 取 10 MATLAB 程序[6]为： a=(7/90)*(pi/20)*(0+sin((pi/2)^2)) for i=1:10 a=a+(8*pi/450)*sin(((pi/80)*(4*i-3))^2); end for i=1:10 a=a+(3*pi/450)*sin(((pi/80)*(4*i-2))^2); end for i=1:10 a=a+(8*pi/450)*sin(((pi/80)*(4*i-1))^2); end for i=1:9 a=a+(7*pi/900)*sin(((pi/80)*(4*i))^2) %最后一个输出值为定积分的解 end 解得：a = 0.8281 - 4 - 

中国科技论文在线 http://www.paper.edu.cn 根据三种计算方法的几何意义，我们知道：当所取的 h 相同时，用复化柯特斯求积方法 求解最精确。 4 结束 本文给出了复化梯形求积方法、复化辛卜生求积方法、复化柯特斯求积方法求解原函数 不能用初等函数表示的函数的定积分的 MATLAB 程序，并给出了典型例题。当然，不要求 用初等函数把一个定积分(或原函数)精确地表示出来时，我们也可以采用上述近似求法。 [参考文献] (References) [1] 华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社，2001. [2] 陈传璋等. 数学分析[M]. 北京:高等教育出版社，2004. [3] 贺俐，陈桂兴.计算方法[M]. 武汉：武汉大学出版社，2004. [4] 李庆扬, 关治, 白峰杉.数值计算原理[M]. 北京: 清华大学出版社, 2000. [5] 刘卫国. MATLAB程序设计与应用（第二版）[M]. 北京：高等教育出版社，2006. [6] 莫勒.MATLAB 数值计算[M].喻文健. 北京：机械工业出版社 2006 - 5 -