运算放大器电路中固有噪声的分析与测量
第一部分:引言与统计数据评论
作者:德州仪器公司高级应用工程师 Art Kay
我们可将噪声定义为电子系统中任何不需要的信号。噪声会导致音频信号质量下降
以及精确测量方面的错误。板级与系统级电子设计工程师希望能确定其设计方案在
最差条件下的噪声到底有多大,并找到降低噪声的方法以及准确确认其设计方案可
行性的测量技术。
噪声包括固有噪声及外部噪声,这两种基本类型的噪声均会影响电子电路的性能。
外部噪声来自外部噪声源,典型例子包括数字交换、60Hz 噪声以及电源交换等。
固有噪声由电路元件本身生成,最常见的例子包括宽带噪声、热噪声以及闪烁噪声
等。本系列文章将介绍如何通过计算来预测电路的固有噪声大小,如何采用 SPICE
模拟技术,以及噪声测量技术等。
热噪声
热噪声由导体中电子的不规则运动而产生。由于运动会升高温度,因此热噪声的幅
度会随温度的上升而提高。我们可将热噪声视为组件(如电阻器)电压的不规则变
化。图 1.1 显示了标准示波器测得的一定时间域中热噪声波形,我们从图中还可看
到,如果从统计学的角度来分析随机信号的话,那么它可表现为高斯分布曲线。我
们给出分布曲线的侧面图,从中可以看出它与时间域信号之间的关系。
图 1.1: 在时间域中显示白噪声以及统计学分析结果
热噪声信号所包含的功率与温度及带宽直接成正比。请注意,我们可简单应用功率
方程式来表达电压与电阻之间的关系 (见方程式 1.1),根据该表达式,我们可以
估算出电路均方根 (RMS) 噪声的大小。此外,它还说明了在低噪声电路中尽可能
采用低电阻元件的重要性。
en
4kTR∆f where e is the rms noise voltage
T is Temperature in Kelvin (K)
R is Resistance in Ohms ( Ω)
f is noise bandiwdth frequency in Hertz (Hz)
k is Boltzmann's Constant 1.381E-23 joule/K
Note to convert degrees Celsius to Kelvin
TK = 273.15oC + TC
方程式 1.1:热电压
方程式 1.1 中有一点值得重视的是,根据该表达式我们还可计算出 RMS 噪声电
压。在大多数情况下,工程师希望了解“最差条件下噪声会有多严重?”换言之,
他们非常关心峰值对峰值电压的情况。如果我们要将 RMS 热噪声电压转化为峰值
对峰值噪声的话,那么必须记住的一点是:噪声会表现为高斯分布曲线。这里有一
些单凭经验的方法即根据统计学上的关系,我们可将 RMS 热噪声电压转化为峰值
对峰值噪声。不过,在介绍有关方法前,我想先谈谈一些数学方面的基本原理。本
文的重点在于介绍统计学方面的基本理论,随后几篇文章将讨论实际模拟电路的测
量与分析事宜。
概率密度函数:
构成正态分布函数的数学方程式称作“概率密度函数”(见方程式 1.2)。根据一
段时间内测得的噪声电压绘制出相应的柱状图,从该柱状图,我们可以大致看出函
数所表达的形状。图 1.2 显示了测得的噪声柱状图,并给出了相应的概率密度函
数。
方程式 1.2: 高斯曲线分布曲线对应的概率密度函数
Probability
Probability
Density Function
Density Function
120
120
Sampled data
Sampled data
plotted in
plotted in
histogram
histogram
format.
format.
20
20
00
00
s
s
80
80
t
t
n
n
u
u
o
o
C
C
60
60
o
o
f
f
r
r
40
40
e
e
b
b
m
m
u
u
20
20
N
N
a
a
t
t
a
a
d
d
l
l
d
d
e
e
p
p
m
m
a
a
s
s
r
r
o
o
f
f
100
100
80
80
60
60
40
40
20
20
0
0
5 5.
5 5.
More
More
-4.5 -4
-4.5 -4
0
0
-5.5 -5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
-5.5 -5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
-5
-5
-2.5 -2
-2.5 -2
2 2.5
2 2.5
-1.5 -1
-1.5 -1
-2 -1 0 1 2
-2 -1 0 1 2
3 3.5
3 3.5
Instantaneous Voltage Amplitude
Instantaneous Voltage Amplitude
1 1.5
1 1.5
0 0.5
0 0.5
-0.5
-0.5
-3.5 -3
-3.5 -3
4 4.5
4 4.5
5
5
4 4.5
4 4.5
图 1.2: 根据相应的概率密度函数所绘制的分布曲线
概率分布函数:
概率分布函数是概率密度函数的积分。根据该函数,我们可了解某事件在给定的时
间间隔内发生的概率(见方程式 1.3 与图 1.3)。举例来说,我们可以假定图 1.4 为
噪声概率分布函数,该函数告诉我们,在任意时间点上,在 1V 与 +1V 之间(即 (-
1, 1) 区间内)检测到噪声电压的概率为 30%。
P a
(
x<
b<
)
b
⌠
⎮
⌡
a
f x( )
d
x
b
⌠
⎮
⎮
⎮
⎮
⌡
a
−
⎡⎢
⎢⎣
x µ−(
2σ2
)2
⎤⎥
⎥⎦
d
x
1
σ 2π
⋅
⋅
e
Where
P(a < x < b) -- the probability that x will be in the interval (a, b)
x-- the random variable. In this case noise voltage.
µ -- the mean value
σ -- the standard deviation
方程式 1.3: 概率分布函数
0.4
Probability
Density
Function
x)
0.2
f(x)
0
5
a
b
0
x
5
P(a
概率分布函数对我们将 RMS 热噪声电压转化为峰值对峰值噪声非常有用。请注
意,高斯分布曲线的尾部是无限延伸的,这就是说,任何噪声电压都是可能的。尽
管理论上确实如此,但就实际情况而言,极大的瞬时噪声电压发生的可能性不大。
举例来说,我们检测到噪声电压在 -3σ 与 +3σ 之间的概率为 99.7 %。换言之,噪
声电压超出该范围的概率仅有 0.3 %。因此,我们通常将噪声信号的峰值估算为
±3σ(即 6σ)。请注意,也有些工程师将噪声的峰值估算为 6.6σ。人们对到底如何
估计这个数值没有定论。图 1.4 显示,68% 的噪声都会不超过 2σ。表 1.1 总结了测
量噪声电压时标准偏差与概率之间的关系。
图 1.4: 标准偏差与峰值噪声间的关系
标准偏差数
测量电压的概率
2σ(即 ±σ)
3σ(即 ±1.5σ)
4σ(即 ±2σ)
5σ(即 ±2.5σ)
6σ(即 ±3σ)
6.6σ(即 ±3.3σ)
68.3 %
86.6 %
95.4 %
98.8 %
99.7 %
99.9 %
表 1.1: 标准偏差数与测量概率百分比
因此,在一定的标准偏差条件下,我们可以根据关系式来估算峰值对峰值噪声。不
过,总体来说,我们还是希望将 RMS 噪声电压转化为峰值对峰值噪声。人们常常
假定 RMS 与标准偏差相同,不过事实并非总是如此。这两个值只有在不存在 DC
元件(DC 元件为平均值 µ)的情况下才相同。就热噪声而言,由于没有 DC 元
件,因此标准偏差与 RMS 值相等。我们在附录中举出了“标准偏差与 RMS 相
等”和“标准偏差与 RMS 不相等”两个不同的示例。
文章开头就给出了计算 RMS 热噪声电压的方程式。还有一种计算 RMS 噪声电压
的方法就是先测量大量离散点,然后采用统计学方法估算标准偏差。举例来说,如
果我们从模数 (A/D) 转换器中获得大量采样,那么我们就能运用方程式 1.4, 1.5 及
1.6 来计算噪声信号的平均偏差、标准偏差以及 RMS 值。附录中的示例 1.3 显示了
在基本程序中如何运用上述方程式。我们在附录中还列出了一组更全面的统计方程
供您参考。
1
n
µ
σ
n
xi∑
=
1
i
2
σ
1
n
n
∑
=
i
1
RMS
1
n
n
2∑
xi
i
=
1
(1.4) Mean Value
xi µ−(
)2
(1.5) Standard Deviation
(1.6) RMS
方程式 1.4、1.5、1.6:离散数据的统计方程
本文最后要介绍的概念是噪声信号的增加。为了增加两个噪声信号,我们必须先了
解信号是否相关。来自两个不同信号源的噪声信号彼此不相关。举例来说,来自两
个不同电阻器或两个不同运算放大器的噪声是彼此不相关的。不过,噪声源通过反
馈机制会产生关联。什么是相关噪声源增加呢?一个很好的实例就是带噪声消除功
能的耳机,其可通过累加反向相关的噪声来消除噪声。方程式 1.7 显示了如何添加
相关噪声信号。请注意,就带噪声消除功能的耳机而言,相关系数 C 应等于 - 1。
方程式 1.7: 增加随机相关信号
方程式 1.8: 增加随机不相关的信号
在大多数情况下,我们都要添加不相关的噪声源(见方程式 1.8)。在这种情况下
增加噪声,我们要通过勾股定理得到两个矢量噪声的和。图 1.5 显示了增加噪声源
的情况。我们通常可近似地估计一个噪声源强度为另一个的三分之一,较小的噪声
源可忽略不计。
enT
2
en1
+
2
en2
en2
en1
图 1.5: 噪声勾股定理
本文总结与后续文章介绍:
在关于噪声的系列文章中,本文介绍了噪声的概念,谈论了噪声分析所需的一些统
计学基本原理。本系列文章中都将用到这些基础知识。本系列文章的第二部分将
介绍运算放大器的噪声模型,并给出计算总输出噪声的一些方法。