2019 年湖南省永州市中考数学真题及答案
一、选择题(每小题 4 分,本大题共 10 个小题,每个小题只有一个正确选项,请将正确的
选项涂填到答题卡上.每小题 4 分,共 40 分)
1.(4 分) 2 的绝对值为 (
)
A. 1
2
B. 1
2
C. 2
D.2
2.(4 分)改革开放以来,我国众多科技实体在各自行业取得了举世瞩目的成就,大疆科技、
华为集团、太极股份和凤凰光学等就是其中的杰出代表.上述四个企业的标志是轴对称图形
的是 (
)
A.
B.
C.
D.
3.(4 分)2019 年“五一”假期期间,我市共接待国内、外游客 140.42 万人次,实现旅游
综合收入 8.94 亿元,则“旅游综合收入”用科学记数法表示正确的是 (
)
A.
1.4042 10
6
B.
14.042 10
5
C.
8
8.94 10
D.
0.894 10
9
4.(4 分)某同学家买了一个外形非常接近球的西瓜,该同学将西瓜均匀切成了 8 块,并将
其中一块(经抽象后)按如图所示的方式放在自已正前方的水果盘中,则这块西瓜的三视图
是 (
)
A.
B.
C.
D.
5.(4 分)下列运算正确的是 (
)
A. 2
a
3
a
5
a
B. 3 2
)a
(
5
a
C.
(
)a b
2
2
2
a b
D. a
b
a b
6.(4 分)现有一组数据:1,4,3,2,4,x .若该组数据的中位数是 3,则 x 的值为 (
)
A.1
B.2
C.3
D.4
7.(4 分)下列说法正确的是 (
)
A.有两边和一角分别相等的两个三角形全等
B.有一组对边平行,且对角线相等的四边形是矩形
C.如果一个角的补角等于它本身,那么这个角等于 45
D.点到直线的距离就是该点到该直线的垂线段的长度
8.(4 分)如图,四边形 ABCD 的对角线相交于点 O ,且点 O 是 BD 的中点,若
AB AD
,
5
BD , ABD
8
CDB
,则四边形 ABCD 的面积为 (
)
A.40
B.24
C.20
D.15
9.(4 分)某公司有如图所示的甲、乙、丙、丁四个生产基地.现决定在其中一个基地修建
总仓库,以方便公司对各基地生产的产品进行集中存储.已知甲、乙、丙、丁各基地的产量
之比等于 4 :5: 4 : 2 ,各基地之间的距离之比 :
a b c d e
:
:
:
2 : 3: 4 : 3: 3
(因条件限制,只有图
示中的五条运输渠道),当产品的运输数量和运输路程均相等时,所需的运费相等.若要使
总运费最低,则修建总仓库的最佳位置为 (
)
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
10.(4 分)若关于 x 的不等式组
0
2
4
6
m
x
0
x m
有解,则在其解集中,整数的个数不可能是
(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
二、填空题(本大题共 8 个小题,请将答案填在答题卡的答案栏内.每小题 4 分,共 32 分)
11.(4 分)分解因式: 2
x
12.(4 分)方程 2
1
1x
x
2
x
1
的解为 x
.
.
13.(4 分)使代数式
1x 有意义的 x 取值范围是
.
14.(4 分)下表是甲、乙两名同学近五次数学测试(满分均为 100 分)的成绩统计表:
同学
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
甲
乙
90
90
88
91
92
93
94
94
91
92
根据上表数据,成绩较好且比较稳定的同学是
.
15.(4 分)已知
AOB
60
, OC 是 AOB
的平分线,点 D 为 OC 上一点,过 D 作直线
DE OA ,垂足为点 E ,且直线 DE 交 OB 于点 F ,如图所示.若
DE ,则 DF
2
.
16.(4 分)如图,已知点 F 是 ABC
的重心,连接 BF 并延长,交 AC 于点 E ,连接 CF 并
延长,交 AB 于点 D ,过点 F 作 / /
FG BC ,交 AC 于点 G .设三角形 EFG ,四边形 FBCG
的面积分别为 1S , 2S ,则 1
:S S
2
.
17.(4 分)如图,直线 4
y
交于 A , B 两点,过 B 作直线 BC y 轴,
与双曲线 3
x
x
y
垂足为 C ,则以 OA 为直径的圆与直线 BC 的交点坐标是
.
18.(4 分)我们知道,很多数学知识相互之间都是有联系的.如图,图一是“杨辉三角”
数阵,其规律是:从第三行起,每行两端的数都是“1”,其余各数都等于该数“两肩”上的
数之和;图二是二项和的乘方 (
a b 的展开式(按 b 的升幂排列).经观察:图二中某个二
)n
项和的乘方的展开式中,各项的系数与图一中某行的数一一对应,且这种关系可一直对应下
去.将
(
s
x 的展开式按 x 的升幂排列得:
15
)
(
s
x
15
)
a
0
a x a x
1
2
2
15
a x
15
.
依上述规律,解决下列问题:
(1)若 1s ,则 2a
;
(2)若 2
a
s ,则 0
a
1
a
2
a
15
.
三、解答题(本大题共 8 个小题,解答题要求写出证明步骤或解答过程.共 78 分)
19.(8 分)计算: 2019
( 1)
12 sin 60
.
( 3)
20.(8 分)先化简,再求值:
a
2
a
a a
1
1
a
1
a
2
a
,其中 2
a .
21.(8 分)为了测量某山(如图所示)的高度,甲在山顶 A 测得 C 处的俯角为 45 , D 处
的俯角为 30 ,乙在山下测得 C , D 之间的距离为 400 米.已知 B , C , D 在同一水平面
的同一直线上,求山高 AB .(可能用到的数据: 2 1.414
, 3 1.732)
22.(10 分)在一段长为 1000 的笔直道路 AB 上,甲、乙两名运动员均从 A 点出发进行往返
跑训练.已知乙比甲先出发 30 秒钟,甲距 A 点的距离 y (米 ) 与其出发的时间 x (分钟)的
函数图象如图所示,乙的速度是 150 米分钟,且当乙到达 B 点后立即按原速返回.
(1)当 x 为何值时,两人第一次相遇?
(2)当两人第二次相遇时,求甲的总路程.
23.(10 分)如图,已知 O 是 ABC
的外接圆,且 BC 为 O 的直径,在劣弧 AC 上取一点
D ,使 CD AB ,将 ADC
沿 AD 对折,得到 ADE
,连接 CE .
(1)求证: CE 是 O 的切线;
(2)若
CE
3
CD
,劣弧 CD 的弧长为 ,求 O 的半径.
24.(10 分)如图,已知抛物线经过两点 ( 3,0)
A , (0,3)
B
,且其对称轴为直线
x .
1
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若点 P 是抛物线上点 A 与点 B 之间的动点(不包括点 A ,点 )B ,求 PAB
的面积的最
大值,并求出此时点 P 的坐标.
25.(12 分)某种机器使用若干年后即被淘汰,该机器有一易损零件,为调查该易损零件的
使用情况,随机抽取了 100 台已被淘汰的这种机器,经统计:每台机器在使用期内更换的该
易损零件数均只有 8,9,10,11 这四种情况,并整理了这 100 台机器在使用期内更换的该
易损零件数,绘制成如图所示不完整的条形统计图.
(1)请补全该条形统计图;
(2)某公司计划购买一台这种机器以及若干个该易损零件,用上述 100 台机器更换的该易
损零件数的频率代替一台机器更换的该易损零件数发生的概率.
①求这台机器在使用期内共更换了 9 个该易损零件的概率;
②若在购买机器的同时购买该易损零件,则每个 200 元;若在使用过程中,因备用该易损零
件不足,再购买,则每个 500 元.请你帮该公司用花在该易损零件上的费用的加权平均数进
行决策:购买机器的同时应购买几个该易损零件,可使公司的花费最少?
26.(12 分)(1)如图 1,在平行四边形 ABCD 中,
A
30
,
AB ,
6
AD ,将平行四
8
边形 ABCD 分割成两部分,然后拼成一个矩形,请画出拼成的矩形,并说明矩形的长和
宽.(保留分割线的痕迹)
(2)若将一边长为 1 的正方形按如图 2 1 所示剪开,恰好能拼成如图 2 2 所示的矩形,则
m 的值是多少?
(3)四边形 ABCD 是一个长为 7,宽为 5 的矩形(面积为 35) ,若把它按如图 3 1 所示的方
式剪开,分成四部分,重新拼成如图 3 2 所示的图形,得到一个长为 9,宽为 4 的矩形(面
积为 36) .问:重新拼成的图形的面积为什么会增加?请说明理由.
2019 年湖南省永州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(每小题 4 分,本大题共 10 个小题,每个小题只有一个正确选项,请将正确的
选项涂填到答题卡上.每小题 4 分,共 40 分)
1.(4 分) 2 的绝对值为 (
)
A. 1
2
B. 1
2
【考点】15:绝对值
C. 2
D.2
【分析】直接利用绝对值的性质化简得出答案.
【解答】解: 2 的绝对值为:2.
故选: D .
【点评】此题主要考查了绝对值,正确掌握相关定义是解题关键.
2.(4 分)改革开放以来,我国众多科技实体在各自行业取得了举世瞩目的成就,大疆科技、
华为集团、太极股份和凤凰光学等就是其中的杰出代表.上述四个企业的标志是轴对称图形
的是 (
)
A.
B.
C.
D.
【考点】 3P :轴对称图形
【分析】根据轴对称图形的概念求解.
【解答】解: A 、不是轴对称图形,故本选项错误;
B 、是轴对称图形,故本选项正确;
C 、不是轴对称图形,故本选项错误;
D 、不是轴对称图形,故本选项错误.
故选: B .
【点评】本题考查了轴对称图形的知识,轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分沿对
称轴折叠后可重合.
3.(4 分)2019 年“五一”假期期间,我市共接待国内、外游客 140.42 万人次,实现旅游
综合收入 8.94 亿元,则“旅游综合收入”用科学记数法表示正确的是 (
)
A.
1.4042 10
6
B.
14.042 10
5
C.
8
8.94 10
D.
0.894 10
9