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2000天津考研数学三真题及答案.doc
2000天津考研数学三真题及答案
一、填空题(本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分，把答案填在题中横线上)
(1) 设
z
(2)
1
x
e
f
dx
e
xy
, x
y
g
x
y
，其中 ,f g 均可微，则
z
x
.
x
2
.
(3) 若四阶矩阵 A 与 B 相似，矩阵 A 的特征值为
，则行列式 1
B
E
.
(4) 设随机变量 X 的概率密度为
( )
f x
1 3,
2 9,
0
,
,
1 1 1 1
,
2 3 4 5
[0,1]
x
[3,6]
x
其他
若 k 使得
{
P X k
}
，则 k 的取值范围是
2
3
(5) 假设随机变量 X 在区间[ 1,2]
上服从均匀分布，随机变量
Y
1,
0,
1,
若
0
X
0
X
若
0
X
若
则方差 ( )
D Y
.
二、选择题(本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)
lim ( )
(1) 设对任意的 x ，总有 ( )
g x
x
x
，则 lim ( )
f x
，且
( )
x
( )
g x
( )
f x
0
(
)
x
(A)存在且一定等于零.
(C)一定不存在.
(B)存在但不一定等于零.
(D)不一定存在.
(2) 设函数 ( )
f x 在点 x a 处可导，则函数 ( )
f x 在点 x a 处不可导的充分条件是 (
)
(A) ( ) 0
f a
且
f a
( ) 0
(B) ( ) 0
f a
且
f a
( )
0
(C) ( ) 0
f a
且
f a
( ) 0
(D) ( ) 0
f a
且
f a
( ) 0
(3) 设 1
, 是四元非齐次线性方程组 AX b 的三个解向量，且 ( ) 3A 秩
,
2
3
，
，，， ，
12 3 4 T
1
3
2
，， ， c 表任意常数，则线性方程组 AX b 的通解 X (
0,12 3 T
)
(A)
1
2
3
4
c
1
1
1
1
(B)
1
2
3
4
c
0
1
2
3
(C)
1
2
3
4
c
2
3
4
5
(D)
1
2
3
4
c
3
4
5
6
(4) 设 A 为 n 阶 实 矩 阵 ， TA 是 A 的 转 置 矩 阵 ， 则 对 于 线 性 方 程 组 ( ) :
I AX 和
0
(
II A AX ，必有 (
) :
0
T
)
(A)(
)II 的解是 ( )I 的解， ( )I 的解也是 (
)II 的解.
(B)(
)II 的解是 ( )I 的解，但 ( )I 的解不是 (
)II 的解.
(C)( )I 的解不是 (
)II 的解， (
)II 的解也不是 ( )I 的解.
(D)( )I 的解是 (
)II 的解，但 (
)II 的解不是 ( )I 的解.
(5) 在电炉上安装了 4 个温控器，其显示温度的误差是随机的.在使用过程中，只要有两个
温控器显示的温度不低于临界温度 0t ，电炉就断电，以 E 表示事件“电炉断电”，而
T
(3)
T T
(1)
(2)
(A)
T
(1)
t
0
为 4 个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件 E 等于事件(
T
(4)
(B)
T
(2)
(D)
T
(4)
(C)
T
(3)
t
t
t
0
0
)
0
三、(本题满分 6 分)
求微分方程
y
2
y
e
2
x
满足条件 (0) 0,
0
y
y
(0) 1
.
四、(本题满分 6 分)
计算二重积分
D
x 围成的区域
线 y
五、(本题满分 6 分)
2
x
2
x
2
y
2
4
a
2
y
,
d
，其中 D 是由曲线
y
a
2
a
2 (
x a
和直
0)
假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是
P
1
18
Q P
1
2
,
12
Q
2
,
其中 1P 和 2P 分别表示该产品在两个市场的价格(单位：万元/吨)， 1Q 和 2Q 分别表示该产品
在两个市场的销售量(即需求量，单位：吨)，并且该企业生产这种产品的总成本函数是
C
Q
2
，其中Q 表示该产品在两个市场的销售总量，即
5
Q Q Q
2
1
(1)如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企
业获得最大利润；
(2)如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及其统一的价
格，使该企业的总利润最大化；并比较两种价格策略下的总利润大小.
六、(本题满分 7 分)
求函数
1)
e
七、(本题满分 6 分)
y
x
(
2
arctan
x
的单调区间和极值，并求该函数图形的渐近线.
设
nI
4
0
n
sin
,
xcosxdx n
0,1,2,
求
,
n
0
I
.n
八、(本题满分 6 分)
f x 在
设函数 ( )
内至少存在两个不同的点 1
( )
f x dx
0, 上连续，且
(
, ，使 1
f
f
2
)
(
2
0
( )cos
f x
xdx
0
，试证明：在 (0,
)
0
0,
) 0.
九、(本题满分 8 分)
设向量组， 1
T
( ,2,10) ,
a
2
足什么条件时，
T
( 2,1,5) ,
3
T
( 1,1,4) ,
(1,
, )
b c
T
试问 ,
,a b c 满
(1)可由 1
, 线性表出，且表示唯一？
,
2
3
(2)不能由 1
, 线性表出？
,
2
3
(3)可由 1
, 线性表出，但表示不唯一？并求出一般表达式.
,
2
3
十、(本题满分 9 分)
设有 n 元实二次型
,
(
f x x
x
)
,
,
1
2
n
(
x
1
a x
1 2
)
2
(
x
2
a x
2 3
)
2
(
x
n
1
a x
1
n
n
)
2
(
x
n
a x
1
n
)
2
其中
ia
为实数.试问：当 1
1,2,
, )
n
,
a a
(
i
,
2
a 满足条件时，二次型 1
(
,
f x x
,
n
,
,
x
)n
2
为正定二次型.
十一、(本题满分 8 分)
假设是来自总体的简单随机样本值.已知
Y
ln
X
服从正态分布 (
,1)
N .
(1)求 X 的数学期望 EX (记 EX 为b );
(2)求的置信度为 0.95 的置信区间;
(3)利用上述结果求b 的置信度为 0.95 的置信区间.
十二、(本题满分 8 分)
设 ,A B 是二随机事件；随机变量
X
1,
1,
若 出现
若 不出现
A
A
Y
1,
1,
若 出现
若 不出现
B
B
试证明随机变量 X Y和 不相关的充分必要条件是 A B与 相互独立.
参考答案
一、填空题
(1)【答案】
z
x
yf
1
1
y
f
2
y
2
x
g
【详解】根据复合函数的求导公式，有
z
x
f
1
'
y
f
2
1
'
y
g
'
y
2
x
(2)【答案】
4e
x
2
x
e
e ，且当 x 时，
【详解】被积函数的分母中含有
属于无穷限的反常积分，只需先求不定积分，在令其上限趋于无穷.
1
e
x
x
dx
dx
e
e
e
e
e
e
2
2
2
2
2
1
1
x
1
1
x
de
2
x
e
x
dx
e
e
x
x
e
x
2
e ，即被积函数
x
1
2
e
1
x
de
2
e
2
e
1
x
e
e
1
1
x
ed
e
1
x
e
e
1
2
1 arctan
e
xe
e
1
1 (
)
4
2
e
4e
(3)【答案】24
【详解】
方法 1：A B
A B
、 有相同的特征值：
所有特征值具有倒数的关系，得 1B 有特征值 2 3 4 5
,
,
.
1 1 1 1
，， ， 由矩阵 1B 是矩阵 B 的逆矩阵，他们
2 3 4 5
,
, 由 B 特征局矩阵为 E B ，
1B
得特征矩阵为
E
E
1
B
E
1
E B
1
可以看出 B 与 1B
的特
E
征值相差 1 ，所以 1B
有特征值1 2 3 4
,
E
,
,
. 由矩阵的行列式等于其特征值得乘积，所
有特征值的和等于矩阵主对角元素之和， 知
1
B
E
4
i
1
i
1 2 3 4
24
.
方法 2 ： A B 即存在可逆阵 P ，使得 1P AP B
.两边求逆得 1
B
1
1
P A P
.又 A 有四
个不同的特征值，存在可逆矩阵Q ，使
1Q AQ
，其中
1
2
上式两边求逆得
1
Q A Q
1
1
1
5
1
4
3
4
5
， 1
A
1
3
2
Q Q
1
1
从而有
1
B
E
1
P A P E
1
1
P
Q
1
E Q
1
1
A
2
3
1
5
4
E P Q Q
1
1
E
(4)【答案】
1,3 .
【 详 解 】 在 给 定 概 率 密 度 条 件 下 ， 有 性 质
P x
1
X x
2
1
24
( )
f x dx
.
因 此 ，
1
1
x
2
x
1
P X k
( )
f x dx
k
x
1
(或
P X k
1
3
x
因为 [0,1]
时，
( )
f x ； [3,6]
时，
所以 k 最可能的取值区间是包含在
0,6 区间之内的
k
.
)
( )
f x dx
1
P X k
2
9
1,3 区间，否则是不可能的.
f x 都是定值，因为
( )
P X k
2 1
，
3
k
(1 0)
1
3
k 或
3
2
9
P X k
( )
f x dx
1
3
1,3 .
,
(6 3)
2
3
.
1
P X k
(或者，当1
2
3
1
1
3
k 时，
3
.
)
当1
k 时，
P X k
3
P X k
k
( )
f x dx
所以，答案应该填1
(5)【答案】
8 .
9
【详解】由于题中Y 是离散型随机变量，其所取值的概率分别为
P X
0 ,
P X
和
0
P X
0
.又由于 X 是均匀分布，所以可以直接得出这些概率，从而实现由 X 的概率计算
过渡到Y 的概率.
P Y
1
P X
0
P Y
0
E Y
( )
1
1
,
因此
所以
0 ( 1)
3
P Y
;
1
3
1
0;
(
E Y
1
9
2
1
)
8
9
.
P X
1
3
2
)
0
2
3
( )
E Y
1
3
2
( )
D Y
(
E Y
1
0
2
3
2
3
2 0
3
1
3
P X
1
3
2
3
2
1
2
.
1,
二、选择题
(1)【答案】D
【详解】用排除法.
例 1：设
2
x
2
x
2
( )
f x
2
x
2
x
1
2
, 满足条件
lim
x
2
x
2
x
1
2
2
x
2
x
2
lim
x
1
2
2
x
0
, 并且
lim
x
2
x
2
x
1
2
1,
2
x
2
x
2
1
,
由夹逼准则知， lim ( ) 1
f x
，则选项 (
x
)A 与 (
)C 错误.
例 2：设
6
x
x
2
x
4
1
( )
f x
6
x
x
2
4
2
x
1
, 满足条件
lim
x
6
x
x
2
4
2
x
1
6
x
x
2
x
4
1
lim
x
x
4
x
2
1
0
,
但是由于
( )
f x
6
x
x
2
x
4
1
2
x
,
有 lim ( )
f x
x
，极限不存在，故不选 (
)B ,所以选 (
)D .
因为最终结论是“ (
)D ：不一定存在”,所以只能举例说明“可以这样”“可以那样”，
无法给出相应的证明.
(2)【答案】B
【详解】方法 1：排除法，用找反例的方式
(
)A ：
( )
f x
2
x
,满足 (0) 0
f
且
f
(0) 0
,但
( )
f x
2
x 在 0
x 处可导；
)C ： ( )
f x
(
x ,满足 (0) 1 0,
1
f
f
(0) 1 0
,但 ( )
f x
x 当
x
1
1,1
,在
0
x 处可导；
(D)： ( )
f x
x ,满足 (0)
1
f
1 0,
f
(0)
但 ( )
f x
1 0,
x 当
x ，
1,1
1
在 0
x 处可导；
方法 2：推理法.
由 (
)B 的条件 ( ) 0
f a , 则
lim
a
x
( )
f a
( )
f x
x a
lim
a
x
( )
f x
x a
lim
a
x
( )
f a
( )
f x
x a
,
所 以
(1)
lim
a
x
( )
f a
( )
f x
x a
lim
a
x
lim
a
x
( )
f a
( )
f x
x a
lim
a
x
( )
f a
( )
f x
x a
( )
f a
( )
f x
x a
( ) .
f a
( )
f a
(2)
可见， ( )
f x 在 x a 处可导的充要条件是 ( )
f a
( )
f a
f a
，所以 ( )
，
0
即 ( ) 0
f a
f a
所以当 ( )
时必不可导，选 (
0
)B .
(3)【答案】(C)
【 详 解 】 因 为
，，， 是 非 齐 次 方 程 组 的 解 向 量 所 以 我 们 有 1A
1
b ， 故 1 是
1 2 3 4 T
AX b 的一个特解
3
,n
又
r A
(未知量的个数)，故 AX b 的基础解系由一个非零解组成. 即基础
4
解系的个数为 1.
因为
A
2
3
1
2
2
b b b
0
,
故
2
2
1
1
2
4
6
8
0
1
2
3
2
3
4
5
是对
应齐次方程组的基础解系，故 AX b 的通解为
1
2
3
4
2
1
2
3
4
5
c
c
3
1
2
.
(4)【答案】(A)
【详解】若是方程组 ( ) :
I AX 的解，即
0
A ，两边左乘 TA ，得
0
TA A ，即
0
也是方程组 (
II A AX 的解，即 ( )I 的解也是 (
) :
0
T
)II 的解.
若 是 方 程 组 (
II A AX 的 解 ， 即
) :
0
T
TA A ， 两 边 左 乘 T 得
0
T
TA A
A
A
T
0
.
A是一个向量，设
A
b ,b , b
1
，则
T
2
A
A
T
n
b
i
2
0
.
i
1
故有
ib ， 1 2
,
从而有
0
n
i
,
A ，即也是方程组 ( ) :
I AX 的解.
0
0
(5)【答案】C
【详解】随机变量 (1)
T T T T 为 4 个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，事件 E 表
,
,
,
(2)
(3)
(4)
示事件“电炉断电”，即有两个温控器显示的温度不低于 0t ，此时必定两个显示较高的温度
T
大于等于 0t ，即 (4)
T
(3)
所以说断电事件就是
T
t
(3)
0.
t
0
三【详解】本题属于二阶常系数非齐次线性微分方程，对于二阶常系数非齐次线性微分方程
得求解，首先需要求出对应的齐次微分方程的通解，再求出非齐次方程的特解，再利用线性
方程解的解构，从而得到对应方程的通解.
本题对应的齐次微分方程为
y
2
y
，
0
其特征方程为
r
2 2
r
，
0
r
特征根为 1
20,
r
. 于是齐次方程的通解为
2
Y C C e
2
1
2
.x
由于 2 是特征方程的单根，所以设
y
Axe
2x
2
2
x
x
y
Ae
求得
4
Ae
2
Ae
约去 2xe ，再比较等式左、右两边，得
2
A
2
Axe
2
x
Ae
;
y
4
Axe
代入原方程，得
4
2
x
2
故得特解
y
2
x
xe
，非齐次方程的通解为
再由初始条件 (0) 1
，得： 1
C C
1
2
(1)
1
2
y
2
x
x
2
x
x
e
4
Axe
2
4
Axe
1
1,
A
2
y Y
x
2
，即 2
Ae
2
x
2
x
e
y
C C e
1
2
2
x
1
2
xe
2
x
.
由 (0) 1
，得
y
2
C C e
1
2
x
1
2
x
2
xe
0
x
x
2
2
C e
2
1
2
x
2
e
x
2
xe
0
x
2
C
2
1
2
1
(2)
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