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2001年重庆北碚中考数学真题及答案.doc
2001 年重庆北碚中考数学真题及答案
一、单项选择题（每小题 4 分，共 40 分）
1．据测算，我国每天因土地沙漠化造成的经济损失为 1.5 亿元．若一年按 365 天计算，
用科学记数法表示我国一年因土地沙漠化造成的经济损失为 （
）．
A．5.475×1011（元）
B．5.475×1011 （元）
C．0.5475×1011 （元） D．5475×1011 （元）
2．下面是某同学在一次测验中解答的填空题：
（1）若 x2＝a2，则 x＝a．
（2）方程 2x（x－1）＝x－l的解为 x＝0．
（3）若直角三角形有两边长分别为 3 和 4，则第三边的长为 5．
其中答案完全正确的题目个数为（
）．
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
3．函数
y
A．x≥－2
的定义域为（
2
x
1
x
B．－2≤x＜l
）
C．x＞1
D．x≥－2 且 x≠1
4．若（am＋1bn＋2） ·（a2n－1b2m）＝a5b3，则 m＋n的值为（
）．
A．1
B．2
C．3
D．－3
5．如果表示 a、b两个实数的点在数轴上的位置如图 1 所示，那么化简
ba
a
2b
的结果等于（
）．
A．2a
B．2b
C．－2a
D．－2b
图 1
6．如图 2，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全
一样的玻璃，那么最省事的方法是（
）．
图 2
A．带①去
B．带②去
C．带③去
D．带①和②去
7．已知
1
a
a
1
，则
1
a
a
的值为（
）．
A． 5
B． 5
C． 3
D． 5 或 1
8．已知：如图 3，在矩形 ABCD中，BC＝2，AE⊥BD，垂足为 E，∠BAE＝30°，那么△
ECD的面积是（
）．
A． 32
B． 3
C．
3
2
D．
3
3
图 3
9．如图 4，某产品的生产流水线每小时可生产 100 件产品．生产前没有产品积压．生
产 3 小时后安排工人装箱，若每小时装产品 150 件，未装箱的产品数量（y）是时间（t）的
函数，那么，这个函数的大致图象只能是（
）．
（A）
（C）
（B）
（D）
图 4
10．已知，在△ABC中，∠C＝90°，斜边长为
17 ，两直角边的长分别是关于 x的方程
2
x2—3（m＋
1 ）x＋9m＝0 的两个根，则△ABC的内切圆面积是（
2
）．
A．4π
B．
3 π
2
C．
7 π
4
D．
9 π
4
二、填空题（每小题 4 分，共 48 分）
11．分解因式：x2－xy－2y2—x－y＝
．
12． 若 不 等 式 组
2
x
x
a
2
b
1
3
于
．
的 解 集 为 －l＜x＜ 1 ， 那 么 （a＋ 1 ）（b－ 1 ） 的 值 等
13．已知，如图 5，在△ABC中，AB＝15cm，AC＝12cm，AD是∠BAC的外角平分线，DE
∥AB交 AC的延长线于点 E，那么 CE＝
cm．
图 5
14．如图 6，⊙O1 与半径为 4 的⊙O2 内切于点 A，⊙O1 经过圆心 O2，作⊙O2 的直径 BC交
⊙O1 于点 D，EF为过点 A的公切线，若 O2D＝2 2 ，那么∠BAF＝
度．
图 6
15．若关于 x的方程
ax
x
1
1
01
有增根，则 a的值为
．
16．如图 7，以等腰直角三角形 ABC的斜边 AB为边向内作等边△ABD，连结 DC，以 DC
为边作等边△DCE．B、E在 C、D的同侧，若 AB＝ 2 ，则 BE＝
．
图 7
17．如图 8 所示的是初三某班 60 名同学参加初三数学毕业会考所得成绩（成绩均为整
数）整理后画出的频率分布直方图．根据图中可得出该班及格（60 分以上）的同学的人数
为
．
图 8
18．已知，反比例函数
y 的图象与直线 y＝2x和 y＝x＋1 的图象过同一点，则当 x
k
x
＞0 时，这个反比例函数的函数值 y随 x的增大而
．（填增大或减小）
19．已知：如图 9，PT切⊙O于点 T，PA交⊙O于 A、B两点且与直径 CT交于点 D，CD
＝2，AD＝3，BD＝6，则 PB
．
图 9
20．已知：如图 10，在正方形 ABCD中，F是 AD的中点，BF与 AC交于点 G，则△BGC
与四边形 CGFD的面积之比是
．
图 10
21．已知：如图 11，一次函数 y＝－2x＋3 的图象与 x、y轴分别相交于 A、C两点．二
次函数 y＝x2＋bx＋c的图象过点 C且与一次函数在第二象限交于另一点 B．
若 AC∶CB＝1∶2，那么，这个二次函数的顶点坐标为
．
图 11
22．市场调查表明：某种商品的销售率 y（销售率＝
售出数量
进货数量
）与价格倍数 x（价格
倍数＝
售出价格
进货价格
）的关系满足函数关系
y
1
x
6
17
15
（0.8≤x≤6.8）．根据有关规定，该
商品售价不得超过进货价格的 2 倍．某商场希望通过该商品获取 50％的利润，那么该商品
的价格倍数应定为
．
三、解答题（解答时每个小题都必须给出必要的演算过程或推理步骤）
23．（8 分）先化简，再求值：
x
x
y
y
x
2
4
xy
2
x
2
y
2
4
y
2
．其中 c＝2－ 2 ，y＝2 2 －1．
24．（8 分）解方程：
2
x
1
x
4
x
2
x
2
1
3
．
25．（8 分）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气
旋风暴，有极强的破坏力．如图 12，据气象观测，距沿海某城市 A的正南方向 220 千米 B
处有一台风中心，其中心最大风力为 12 级，每远离台风中心 20 千米，风力就会减弱一级，
该台风中心现正以 15 千米／时的速度沿北偏东 30°方向往 C移动，且台风中心风力不变．若
城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响．
图 12
（1）该城市是否会受到这次台风的影响?请说明理由．
（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长?
（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级?
26．（8 分）若 n＞0，关于 x的方程 x2－（m－2n）x＋
1 mn＝0 有两个相等的正实数根．求
4
m 的值．
n
四、解答题（解答时每个小题都必须给出必要的演算过程或推理步骤）
27．（10 分）已知：如图 13，在矩形 ABCD中，正为 AD的中点，EF上 EC交 AB于 F，连
结 FC．（AB＞AE）
图 13
（1）△AEF与△EFC是否相似，若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；
（2）设
AB ＝k，是否存在这样的 k值，使得△AEF∽△BFC．若存在，证明你的结论并
BC
求出 A的值；若不存在，说明理由．
28．（10 分）如图 14，在平面直角坐标系中，A、B是 x轴上的两点，C是 y轴上的一点．∠
ACB＝90°，∠CAB＝30°，以 AO、BO为直径的半圆分别交 AC、BC于 E、F两点，若 C点的
坐标为（0， 3 ）．
图 14
（1）求图象过 A、B、C三点的二次函数的解析式．
（2）求图象过点 E、F的一次函数的解析式．
29．（10 分）阅读下面材料：
在计算 3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21 时，我们发现，从第一个数开始，以后
的每个数与它的前一个数的差都是一个相同的定值．具有这种规律的一列数，除了直接相加
外，我们还可以用公式
S
na
)1
(
nn
2
d
来计算它们的和．
（公式中的 n表示数的个数，a表示第一个数的值，d表示这个相差的定值）
那么 3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21＝10×3＋
)1
10(10
2
×2＝120．
用上面的知识解决下列问题．
为保护长江，减少水土流失，我市某县决定对原有的坡荒地进行退耕还林．从 1995 年
起在坡荒地上植树造林，以后每年又以比上一年多植相同面积的树木改造坡荒地，由于每年
因自然灾害、树木成活率、人为因素等的影响，都有相同数量的新坡荒地产生，下表为 1995、
1996、1997 三年的坡荒地面积和植树面积的统计数据．假设坡荒地全部种上树后，不再水
土流失形成新的坡荒地，问到哪一年，可以将全县所有坡荒地全部种上树木．
1995 年
1996 年
1997 年
每年植树的面积（公顷）
l 000
1 400
1 800
植树后坡荒地的实际面积（公顷） 25 200
24 000
22 400
一、单项选择题
1．B
（题 1 涉及环保问题，那触目惊心的数字提醒我们：保护环境，防止土地沙化刻不容缓．）
2．A
（题 2（1）应为 x＝土 a；（2）应为 x＝0 或 x＝1；（3）第三边长为 5 或 7 ，因第三
边不一定就是斜边，千万注意，别再出现类似的错误．）
3．D （题 3 的定义域即指自变量 x的取值范围．）
4．B
5．D
6，C
（题 6 实质是考查三角形内角和定理，图③中有两个角完好，能准确地把破玻璃复原．）
1
a
a
01
，故排除选择支 A，C，而 a＝1 时，
1
a
a
1
，故易选 B．）
7．B
（题 7 中
8．C
9．A
（题 9 中变量 t 表示生产开始后的时间，而不是装箱开始后的时间，故前 3 个小时未装
箱数量平稳上升，3 小时后未装箱量逐步减少．）
10．D
（ 题 10 中 若 设 Rt △ ABC 中 ， 两 直 角 边 为 a ， b ， 斜 边 为 c ， 则
2
a
2
b
2
c
(
ba
)
2
2
ab
(3
m
2
92
)
1
2
m
15(
2
2
)
，解得 m＝3（m＝－2 舍去）；又
r
cba
3
2
二、填空题
2
，故
9S
4
．）
11．（x＋y）（x－2y－1）
12．－6
13．48 （题 13 注意推出 AE＝DE，若设 EC＝xcm，则可列式
14．67.5
15．－1
16．1
17．45
x
12
x
12
15
．）
18．减小
（题 18 由题意先解
y
y
x
，
1
，
2
x
求得公共点的坐标，再把这个坐标代入
y＝ ，求出 k值．）
k
x
19．15
20．4∶5
22．1.8
21．（
1 ，
11
4
2
）
（题 22 中经济类专业术语较多，又涉及两个陌生的公式，理解清楚这些新知识，才能
很好地解题．）
三、解答题
23．解：原式＝
y
x
2
x
y
(
x
x
(
2
)2
y
)(
xy
y
)
2
2
x
y
y
x
2
x
x
y
．当 x＝2－ 2 ，y＝
2 2 －1 时，原式＝
22
12
234
．
24．解：将原方程变形为
2
x
2
x
41
x
2
2
x
1
3
．令
t
1
2 2
x
x
，则原方程化为：
3
．整理得：t2－3t－4＝0．解这个方程得：tl＝4，t2＝－1．当 t1＝4 时，有
1
4
．即 2x2—4x－1＝0．解这个方程得 x1＝1＋
6 ，x2＝l－
2
6 ．当 t2＝—1 时，
2
t
4
t
2 2
x
x
1
2 2
x
x
1
，即 2x2＋x－1＝0．解这个方程得：x3＝
程的解．∴ 原方程的解为：x1＝1＋
6 ，x2＝1－
2
1 ，x4＝－1．经检验，它们都是原方
2
6 ，x3＝
2
1 ，x4＝—1．
2
25．解：（1）如图 1，由点 A作 AD⊥BC，垂足为 D．∵ AB＝220，∠B＝30°∴ AD＝110
（千米）．由题意，当 A点距台风中心不超过 160 千米时，将会受到台风的影响．故该城市
会受到这次台风的影响．
图 1
（2）由题意，当 A点距台风中心不超过 160 千米时，将会受到台风的影响．则 AE＝AF
＝160．当台风中心从 E处移到 F处时，该城市都会受到这次台风的影响．由勾股定理得：
DE
2
AE
2
AD
2
160
2
110
270
50
30
5
．∴ EF＝60 15 （千米）．∵ 该台
风中心以 15 千米／时的速度移动．∴ 这次台风影响该城市的持续时间为
60
15
15
4
15
（小
时）．
（3）当台风中心位于 D处时，A市所受这次台风的风力最大，其最大风力为 12－
110 ＝
20
6.5（级）．
（题 25 是一道几何应用题，解题时要善于把实际问题抽象成几何图形，并领会图形中
的几何元素代表的意义，由题意可分析出，当 A点距台风中心不超过 160 千米时，会受台风
影响，若过 A作 AD⊥BC于 D，设 E，F分别表示 A市受台风影响的最初，最后时台风中心的
位置，则 AE＝AF＝160；当台风中心位于 D处时，A市受台风影响的风力最大．）
26．解：x2－（m—2n）x＋
1 mn＝0．有两个相等的实数根，∴ △＝（m—2n）2—mn＝0．整
4
理得：m2—5mn＋4n2＝0．∴ m＝4n或 m＝n．又∵ x2—（m－2n）2＋
1 mn＝0 的两根均为正
4
根，∴ x1＋x2＝m－2n＞0，x1x2＝
1 mn＞0．∵ n＞0，当 m＝n时，x1＋x2＝m－2n＝—n＜0，
4
∴ m＝n舍去，∴ m＝4n，即
m ＝4．
n
四、解答题
27．解：（1）相似，如图 2，证明：延长 EF与 CD的延长线交于点 G．在 Rt△AEF与 Rt
△DEG中，∵ E是 AD的中点，∴ AE＝ED．∠AEF＝∠DEG，∴ △AFE≌△DGE．∴ △AFE＝
△DGE．∴ E为 FG的中点．又 CE⊥FG，∴ FC＝GC．∴ ∠CFE＝∠G．∴ ∠AFE＝∠EFC．又
△AEF与△EFC均为五角三角形，∴ △AEF∽△EFC．
（2）①存在．如果∠BCF＝∠AEF，即 k＝
图 2
AB
BC
3
2
时，△AEF∽△BCF．证：当
AB
BC
3
2
时，
DC
DE
3
．∴ ∠ECG＝30°．∴ ∠ECG＝∠ECF＝∠AEF＝30°，∴ ∠BCF＝90°－60°
＝30°．又△AEF和△BCF均为直角三角形．∴ △AEF∽△BCF．
②因为 EF不平行于 BC，∴ ∠BCF≠∠AFE．∴ 不存在第二种相似情况．
28．解：
（1）如图 3 ∵ C点的坐标为（0， 3 ），且∠CAB＝30°，∴ A点的坐标为（－3，0），
B点的坐标为（1，0）．设这个二次函数的解析式为 y＝a（x＋3）（x－1）① 将 C 点的坐标
．∴ 这个二次函数的解析式为 y＝
3 （x＋3）（x－1），即 y＝
3
3
3
x2
代入①得：
3a
3
－
32 x＋ 3 ．
3
图 3
（2）设 E、F所在直线的解析式为 y＝kx＋b．② 过 E、F分别作 x轴的垂线，垂足分
33 ）．同理可
4
3 ．∴ 点 E的坐标为（－
4
3 ，
4
3 ，故 EM＝
2
33 ，MO＝
4
别为 M、N．∴ EO＝
得点 F的坐标为（
3 ，
4
33 ）．将点 E、F的坐标分别代入②得
4
3
4
3
4
k
b
33
4
k
b
3
4
．
，
解这个方
程组得：
k
b
3
3
3
2
．
，
∴ E、F所在直线的解析式为
y
3
x
3
3
2
．
29．解法一：从表中可知，1995 年植树 1000 公顷，以后每年均比上一年多植树 400 公
顷．1995 年实有坡荒地 25200 公顷．种树 1400 公顷后，实有坡荒地只减少丁 25200—24000
＝1200（公顷），因此，每年新产生的坡荒地为 200 公顷，即树木实际存活 1200 公顷．设从
1996 年起（1996 年算第 1 年），n年全县的坡荒地全部植树，有 1400n＋
)1
( nn
2
×400—200n
≥25200．即：n2＋5n≥126．估算：当 n＝8 时，82＋5×8＝104≤126．当 n＝9 时，92＋5×
9＝126．故到 2004 年，可将全县所有的坡荒地全部种上树木．
解法二：从表中可知，1995 年实有坡荒地 25200 公顷，1996 年减少 1200 公顷，以后每
年均比上一年多减少 400 公顷．设第 n年的减少为 0，则 25200－（1200n＋
)1
( nn
2
×400）
≤0．即 126－（n2＋5n）≤0．当 n＝9 时，126—8l－45＝0．故到 2004 年可将全县所有的
坡荒地全部种上树木．
解法三：从表中可知：1996 年荒地实际面积减少 1200 公顷，以后每年均比上一年多减
少 400 公顷．
列表：
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