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阵列信号处理中的 DOA（窄带）空域滤波波束形成：主要研究信号发射/接收过程中的信号增强。阵列信号处理空间谱：输出功率 P 关于波达角 θ 的函数，P(θ). 测向波达方向估计(DOA) 空间谱估计空域参数估计：从而对目标进行定位/给空域滤波提供空域参数。延迟——相加法/经典波束形成器注，延迟相加法和 CBF 法本质相同，仅仅是 CBF 法的最优权向量是归一化了的。 1、传统法常规波束形成 CBF / Bartlett 波束形成器无法超过瑞常规波束形成（CBF：Conventional Beam Former） Capon 最小方差法/Capon 波束形成器/ MVDR 波束形成器利限的制约，分辨率上最小方差无畸变响应（MVDR：minimum variance distortionless response）有本质的局限性。大特征值对应的特征矢量：信号子空间小特征值对应的特征矢量：噪声子空间 2、子空间法子空间算法可以突破瑞利限 , 达到较高的分辨率 3、最大似然法 Root-MUSIC 算法多重信号分类法解相干的 MUSIC 算法（MUSIC）基于波束空间的 MUSIC 算法 TAM 旋转不变子空间法 LS-ESPRIT （ESPRIT）计算量小，不需进行谱峰搜索 TLS-ESPRIT 确定性最大似然法（DML：deterministic ML）随机性最大似然法（SML：stochastic ML）波达方向估计的算法 4、综合法：特性恢复与子空间法相结合的综合法，首先利用特征恢复方案区分多个信号，估计空间特征，进而采用子空间法确定波达方向最大似然估计法是最优的方法，即便是在信噪比很低的环境下仍然具有良好的性能，但是通常计算量很大。同子空间方法不同的是，最大似然法在原信号为相关信号的情况下也能保持良好的性能。

阵列流形矩阵（导向矢量矩阵）只要确定了阵列各阵元之间的延迟τ，就可以很容易地得出一个特定阵列天线的阵列流形矩阵 A 。传统的波达方向估计方法是基于波束形成和零波导引概念的，并没有利用接收信号向量的模型（或信号和噪声的统计特性）。知道阵列流形 A 以后，可以对阵列进行电子导引，利用电子导引可以把波束调整到任意方向上，从而寻找输出功率的峰值。 ①常规波束形成(CBF)法 CBF 法，也称延迟—相加法/经典波束形成器法/傅里叶法/ Bartlett 波束形成法,是最简单的 DOA 估计方法之一。这种算法是使波束形成器的输出功率相对于某个信号为最大。（参考自：阵列信号处理中 DOA 估计及 DBF 技术研究_赵娜）注意：理解信号模型注意：上式中，导向矩阵 A 的行向量表示第 K 个天线阵元对 N 个不同的信号 s(i)的附加权值，列向量表示第 i 个信号 s(i)在 M 个不同的天线上的附加权值。将式（2.6）的阵元接收信号，写成矢量形式为： X(t)=AS(t)+N(t) 其中，X(t)为阵列的 M×1 维快拍数据矢量，N(t)为阵列的 M×1 维噪声数据矢量，S(t)为信号空

间的 N×1 维矢量，A 为空间阵列的 M×N 维阵列流型矩阵（导向矢量矩阵），且其中，导向矢量为列矢量，表示第 i 个信号在 M 个天线上的附加权值 ] ，式中， ,其中，c 为光速，λ 为入射信号的波长。对于均匀线阵，第 k 个天线阵元对接收到的第 i 个信号 s(i)的时间延时为，则有：，，其中，d 为阵元间距，一般取 d= /2。第 i 个信号在天线阵元上的入射角为 i。由上述的知识可知,一旦知道阵元间的延迟表达式 τ,就很容易得出特定空间阵列的导向矢量或阵列流型。波束形成技术的基本思想：通过将各阵元输出进行加权求和,在一时间内将阵列波束“导向”到一个方向上,对期望信号得到最大输出功率的导向位置即是波达方向估计值,如图 1 所示。假设空间存在 M 个阵元组成的阵列,N 个信号源，各阵元的权矢量为阵列的输出为则整个阵列输出的平均功率为其中，R 为接收信号矢量 x(t)的自相关矩阵假设来自 θ 方向的输出功率最大,则该最大化问题可表述为：图 1 阵列信号处理示意图

为了使加权向量 w 的权值不影响输出信噪比，在白化噪声方差一定的情况下，取，此时求解为：此时 Bartlett 波束形成器的空间谱为：延迟—相加法（本质和 Bartlett 算法相同，仅最优权向量不同，后者的最优权是归一化了的。）（参考自：阵列信号处理中的 DOA 估计技术研究_白玉） k 时刻，令 x(t)=u(k)，s(t)=s(k),n(t)=n(k),上面公式中：， , 令 u(k)=a(θ)s(k)+n(k)，波束形成器输出信号 y(k)是传感器阵元输出的线性加权之和,即 y(k)=wHu(k) (2-1) 传统的波束形成器总的输出功率可以表示为： Pcbf =E[|y(k)|2]=E[|wHu(k)|2]=wHE[u(k)uH(k)]w=wHRuuw (2-2) 式中,Ruu 定义为阵列输入数据的自相关矩阵。式(2-2)在传统 DOA 估计算法中的地位举足轻重。自相关矩阵 Ruu 包含了阵列响应向量和信号自身的有用信息,仔细分析 Ruu ，可以估计出信号的参数。考察一个以角度 θ 入射到阵列上的信号 s(k)，则有 u(k)=a(θ)s(k)+n(k)。根据窄带输入数据模型, 波束形成器的输出功率可以表示成: Pcbf (θ )=E[|wHu(k)|2]=E[|wH(a(θ)s(k)+n(k))|2] (2-3) ，a(θ)是关于 DOA 角 θ 的导引向量，n(k)是阵列输入端的噪声向量。当 w=a(θ) =|wHa(θ)|2 +|wH|2 式中，时，系统的输出（信号）功率达到最大。这是因为，权值向量 w 在传感器阵元处和来自方向 θ 的信号分量相位对齐，使得它们能够同相相加，从而使系统的输出功率相对于某个信号为最大。在 DOA 估计的经典波束形成方法中，波束形成器产生的波束在感兴趣的区域中离散地扫描，对应不同的 θ 可以产生不同的权向量：从而得到的输出功率也不相同。利用式(2-3),经典波束形成器的输出功率与波达方向的关系由下式给出: Pcbf (θ)=wHRuuw=aH( )Ruua( ) (2-4) 因此，如果我们对输入自相关矩阵进行估计,知道对所有感兴趣的导引向量（通过校准或分析计算），就可能估计出输出功率关于波达角 θ 的函数。输出功率关于波达角的函数通常称为空间谱(spatial spectrum)。很明显,通过锁定式(2-4)定义的空间谱的峰值就可以估计出波达方向。最大的功率对应着最大的峰值，而最大的空间谱峰．．所对应的角度方向即为信号的波达方向。

延迟—相加法(常规波束形成器法)，CBF 法(Bartlett 波束形成器法）具有一定的局限性，可以很好的识别单个信号，但是当存在着来自多个方向的信号时，该方法要受到波束宽度和旁瓣高度的制约，因而这种方法的分辨率较低，只能大致分辨出信号所处的角度范围。这是因为，延迟—相加法是把阵列形成的波束指向某个方向，由此可以获得来自于这个方向的信号的最大功率。就单个信号而言，延迟—相加法可以很好地估计出它的波达方向。但是当信号空间中存在多个信号的时侯，因为波束宽度的限制，受到同一个波束内信号之间的相互干扰，延迟—相加法的估计性能就会急剧的下降。增加阵列的阵元数（M）可以改善延迟—相加法的性能，提高分辨率，但是这会使系统更加复杂，还会增加算法的计算量和数据存储空间。 ②Capon 最小方差法 (Capon 波束形成器，也称 MVDR 波束形成器) 最小方差无畸变响应（MVDR）波束形成器解决了延迟—相加法分辨率差的缺点，用一部分自由度在期望方向上形成一个波束，利用剩余的一部分自由度在干扰方向形成零陷。这种方法使得输出功率和信号方差达到最小，使得非期望干扰信号的贡献为最小，同时使观测方向上的增益达到最大，约束条件为 wHa(θ)=1，使得来自期望方向的信号功率不变。其优化问题表述为：约束条件为：综合上式求解 w 为：此时 Capon 波束形成器的空间谱为： Capon 算法比延迟—相加法有了一定程度的改进，可以对多个信号进行 DOA 估计。但是 Capon 算法只能分辨非相干信号，当存在与感兴趣信号相关的其它信号时，它就不能起作用了。这是因为 Capon 算法在运算的过程中使用到了信号的自相关矩阵，因而不能对干扰信号形成零陷。也就是说，在使得输出功率为最小的过程当中，相关分量可能会恶性合并。此外，Capon 算法运算时需要对信号的自相关矩阵求逆，当阵列加大时会有巨大的运算量。对于任意的 Φ,PCapon(Φ )是来自方向 Φ 的信号功率的最大似然估计。多重信号分类（MUSIC）算法为代表的子空间分解类算法开始兴起。这一类算法有一个共同的特点，就是需要对阵列的接收数据矩阵进行数学分解（如奇异值分解、特征值分解和 QR 分解等），将数据分解成两个互相正交的特征子空间：一个是信号子空间，另一个是噪声子空间。

子空间类算法按照处理方式的不同可以分成两类：一种是以 MUSIC 算法为代表的噪声子空间类算法另一种是以 ESPRIT 算法为代表的信号子空间类算法。式中, Rs 是信号相关矩阵( signal correlation matrix ),E[ss H ]。 R 的特征值为{ λ0,λ1,,λ2, .,λM-1 },使得利用式(2-11),我们可以把它改写为 |R−λiI|=0 (2-12) |ARsA H+ I- iI |=|ARsA H-( i- )I |=0 (2-13) 因此 ARsA H 的特征值(eigenvalues)ν 为 (2-14) 因此 A 是由线性独立的导引向量构成的,因此是列满秩的,信号相关矩阵 Rs 也是非奇异的,只要入 ν = i- 射信号不是高度相关的。列满秩的 A 和非奇异的 Rs可以保证,在入射信号数 L 小于阵元数 M 时,M×M 的矩阵 ARsAH是半正定的,且秩为 D。。该 M-L 这意味着 ARsAH 的特征值 ν 中,有 M-L 个为零。由式(2-14)可知,R 的特征值 i 中有 M-L 个等于噪声方差个最小特征值 i 相关的特征向量,和构成 A 的 L 个导引向量正交。噪声子空间和信号子空间是相互正交的，而由导向矢量所张成的空间与信号子空间是一致的。应当指出，与传统方法不同，MUSIC 算法在估计信号功率时并没有考虑波达角。在噪声与信号源非相关的环境下，可以确保 PMUSIC(θ) 的谱峰对应着信号的真实方向。由于 PMUSIC(θ)的峰值是可以分辨的，并且与信号之间的真实角度间隔没有关系，因此从理论上来讲，只要阵元位置校准的足够准确， MUSIC 算法就可以分辨出两个邻近的信号。但是当入射信号之间彼此高度相关时，自相关矩阵Rxx 会变成奇异矩阵，这将导致 MUSIC 算法失效。旋转不变子空间算法（ESPRIT）是空间谱估计算法中的典型算法之一，它和前面介绍的 MUSIC 算法一样，也需要对阵列接收数据的协方差矩阵进行特征分解。但是两者也存在着明显的不同点，即 MUSIC 算法利用了阵列接收数据的协方差矩阵的噪声子空间和导向矢量之间的正交特性，而 ESPRIT 算法则利用了阵列接收数据的协方差矩阵信号子空间的旋转不变性，所以 MUSIC 算法与 ESPRIT 算法可以看成为是一种互补的关系。和 MUSIC 算法相比，ESPRIT 算法直接给出了待估角的闭式解．．．，不需谱峰搜索，计算复杂度更小总的来说 ESPRIT 算法的性能要差于 MUSIC 算法。ESPRIT 算法的优势在于它的实时性，一般的情况下，只要有两个子阵列满足旋转不变性，就可以用 ESPRIT 算法来实现，且其实现速度要优于 MUSIC 算法。与 MUSIC 算法不同的是，ESPRIT 算法不需要知道精确的导向矢量，只需要各子阵之间的阵元保持一致。这种算

法思想是将接收阵列在几何结构上分为两个完全一致的位置平移的子阵列，两个子阵列之间具有平移不变性，两个子阵列的间距△是已知的。使信号源入射角在两个子阵列上只相差一个旋转不变因子，这一旋转不变因子包含了各个入射信号的到达角信息，可以通过求解一个广义特征值方程得到。 ESPRIT 利用特征值直接估计 DOA。子空间类 DOA 估计算法的分辨率确实高于传统的 DOA 估计算法。子空间类算法在计算的过程中同样用到了信号的自相关矩阵，不能消除相干信号间的相互干扰。 MUSIC 算法和 ESPRIT 算法都是基于信号的二阶统计量——协方差矩阵进行处理的。当信号相干时,由于信号的相关性使阵列协方差矩阵降秩,矩阵中的大特征值个数将少于信号数,从而不能正确的得到信号的 DOA 估计。对于相干信号的 DOA 估计,一般使用空间平滑的技术。该方法通过子阵之间的滑动平均来弥补相干信号引起协方差矩阵降秩的问题。从而能够正确的估计相干信号的波达方向。Evans 提出的前向空间平滑技术最多可以估计 M/2 个相干信号(M 为阵元数)。Pillar 和 Kwon 利用前向和共扼后向子阵,使得同时可以检测的相干信号源数达到了 2M/3 个。空间平滑算法：考虑间距 d=λ/2 的 M 元的均匀线阵，λ 为工作波长。有 L 个相干信号入射。将阵元均匀的划分为不同的子阵,每个子阵的阵元数为 m,那么{0,1,…,m−1}组成第一个子阵列,{1,2,…,m}组成第二个子阵列,依次类推。这样组成的子阵列将有 D=M−m+1 个。那么第 k 个子阵列上的接收信号为: Xk=AF(k-1)S(t)+Nk(t) (4-1) 其中， F=diag{exp(-jφ1),…,exp(-jφD)} (4-2) (4-1)式中，Fk 表示矩阵 F 的 k 次幂。定义第 k 个子阵列协方差矩阵为： ]=AF(k-1)RsFH(k-1)AH+ 2I (4-3) 那么将得到 D=M-m+1 个协方差矩阵，前向空间平滑的思想是把得到的 D 个协方差矩阵进行算术 Rk=E[Xk(t) 平均，这样得到前向平滑矩阵如（4-4）式： = (4-4) 当 D≥L 时(协方差矩阵个数 D ≥ 相干入射信号 L 个数),无论信号是否相干,通过空间平滑后的矩阵 Rf 都是非奇异的,将 Rf 代入经典的 DOA 算法,如 MUSIC 算法,就可以得到正确的波达方向估计。而后向平滑则采用共轭后向子阵列,也是将 M 阵元均匀分为 D 个子阵,定义第一个共扼后向子阵列由 {M,M−1,…,M−m+1}组成,第二个子阵列由{M−1,M−2,…,M−m}组成,依次组成的子阵列个数为 D=M m+l 个,m 为子阵列中的阵元数。第 k 个后向子阵列接收信号的复共扼可以表示为: 和前向平滑类似,定义空间后向平滑子阵列矩阵为： = (4-8)

前后向空间平滑的处理方法是把前向和共扼后向平滑协方差矩阵 R 定义为前向平滑矩阵和共轭后向平滑矩阵的平均值,即: 通过(4-9)式得到的空间平滑矩阵 R 在相干信号源个数 L 小于平滑次数 D 时是满秩的。共扼后向子阵列的协方 R= (4-9) 差矩阵可以通过前向子阵列协方差矩阵的数值运算得到。前向虚拟平滑：如果为满秩矩阵,就可以利用它来进行相干信号的方位估计。假设信号为 N 个全相干信号,显然信号协方差矩阵的秩为 1,可以把用一个矢量来表示 (4.40) (4.41) 式中 a 为一个行向量,a1,a2…aN 为该向量的各个分量。利用(4.39)～(4.41),可以得到：

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