模糊数学的经典应用，里面有很多经典实例。.doc-资料库

http://www.elecfans.com/ 电子发烧友 http://bbs.elecfans.com 电子技术论坛绪言任何新生事物的产生和发展，都要经过一个由弱到强,逐步成长壮大的过程，一种新理论、一种新学科的问世，往往一开始会受到许多人的怀疑甚至否定。模糊数学自 1965 年 L.A.Zadeh 教授开创以来所走过的道路，充分证实了这一点，然而，实践是检验真理的标准，模糊数学在理论和实际应用两方面同时取得的巨大成果，不仅消除了人们的疑虑，而且使模糊数学在科学领域中，占有了自己的一席之地。经典数学是适应力学、天文、物理、化学这类学科的需要而发展起来的，不可能不带有这些学科固有的局限性。这些学科考察的对象，都是无生命的机械系统，大都是界限分明的清晰事物，允许人们作出非此即彼的判断，进行精确的测量，因而适于用精确方法描述和处理。而那些难以用经典数学实现定量化的学科，特别是有关生命现象、社会现象的学科，研究的对象大多是没有明确界限的模糊事物，不允许作出非此即彼的断言，不能进行精确的测量。清晰事物的有关参量可以精确测定，能够建立起精确的数学模型。模糊事物无法获得必要的精确数据，不能按精确方法建立数学模型。实践证明，对于不同质的矛盾，只有用不同质的方法才能解决。传统方法用于力学系统高度有效，但用于对人类行为起重要作用的系统，就显得太精确了，以致于很难达到甚至无法达到。精确方法的逻辑基础是传统的二值逻辑，即要求符合非此即彼的排中律，这对于处理清晰事物是适用的。但用于处理模糊性事物时，就会产生逻辑悖论。如判断企业经济效益的好坏时，用“年利税在 100 万元以上者为经济效益好的企业” 表达，否则，便是经济效益不好的企业。根据常识，显而易见：“比经济效益好的企业年利税少 1 元的企业，仍是经济效益好的企业”，而不应被划为经济效益不好的企业。这样，从上面的两个结论出发，反复运用经典的二值逻辑，我们最后就会得到，“年利税为 0 者仍为经济效益好的企业”的悖论。类似的悖论有许多，历史上最著名的有“罗素悖论”。它们都是在用二值逻辑来处理模糊性事物时产生的。客观实际中存在众多的模糊性事物和现象，促使人们寻求建立一种适于描述模糊事物和现象的逻辑模式。模糊集合理论便是在这种形势下应运而生的。模糊方法的逻辑基础是连续值逻辑，它是建立在[0，1]上的。如若我们把年利税在

http://www.elecfans.com/ 电子发烧友 http://bbs.elecfans.com 电子技术论坛 100 万元以上者的属于“经济效益好”的企业的隶属度规定为 1，那末，相比之下，年利税少 1 元的企业，属于“经济效益好”的企业的隶属度就应相应减少一点，比如为 0.99999，依此类推，企业的年利税每减少 1 元，它属于“经济效益好”的企业的隶属度就要相应减少一点。这样下去，当企业的年利税为 0 时，它属于“经济效益好”的企业的隶属度也就为 0 了，显然，模糊方法的这种处理方式，是符合于人们的认识过程的，连续值逻辑是二值逻辑的合理推广。现代科学发展的总趋势是，从以分析为主对确定性现象的研究，进到以综合为主对不确定性现象的研究。各门科学在充分研究本领域中那些非此即彼的典型现象之后，正在扩大视域，转而研究那些亦此亦彼的非典型现象。自然科学不同学科之间，社会科学不同学科之间，自然科学和社会科学之间，相互渗透的趋势日益加强，原来截然分明的学科界限一个个被打破，边缘科学大量涌现出来。随着科学技术的综合化、整体化，边界不分明的对象，亦即模糊性对象，以多种多样的形式普遍地、经常地出现在科学的前沿。模糊集合理论自诞生以来，获得了长足的发展，每年全世界发表的研究论文的数量，以指数级速度增长。研究范围从开始时的模糊集合，发展为模糊数、模糊代数、模糊测度、模糊积分、模糊规划、模糊图论、模糊拓扑……等众多的分枝。和模糊集合理论的发展速度相比，模糊技术的应用虽稍迟一步，但也取得了令人可喜的进展。自 1980 年第一例应用模糊技术的产品问世以来，有关这方面的研究报告已逾 7000 多篇，制造出近千种模糊产品，如计算机、电饭煲、摄像机、微波炉、洗衣机、空调器等。如日本松下公司研制的智能化家用空调器，可根据内置的传感器提供的室内空气温度数据，在室温高或低于 25℃时，会自动地“稍稍”调节空调器的阀门，进行 4608 种不同状态设定选择，从而获得最佳开启状态和尽可能少的消耗。而这种“稍稍”的程度，只有通过有经验的人的感觉来决定。模糊技术方法不是对精确的摒弃，而是对精确更圆满的刻画。它通过模糊控制规划，利用人类常识和智慧，理解词语的模糊内涵和外延，将各方面专家的思维互相补充。虽然，目前要使模糊技术接近于人的思维，尚难以做到，但正如日本夏普公司电子专家日吉考庄所说：一个普遍应用模糊技术的时代，不久就会到来。我国自 70 年代开始模糊数学研究以来，成就突出，已形成了 2000 至 3000

http://www.elecfans.com/ 电子发烧友 http://bbs.elecfans.com 电子技术论坛人的世界最庞大的研究队伍，并在高速模糊推理研究等领域，居世界领先地位。但同时在其它方面，也存在着一些差距，尤其突出的是实验室里的成果，还有许多未转化成经济效益。需要在政府和工业界的支持和参与下，成立专门的开发实体，制定规划，并积极开展国际交流，为我国 21 世纪的技术发展和科学腾飞奠定基础。第二章模式识别 §2-1 模式识别及识别的直接方法在日常生活中生活中，经常需要进行各种判断、预测。如图象文字识别、故障（疾病）的诊断、矿藏情况的判断等，其特点就是在已知各种标准类型前提下，判断识别对象属于哪个类型的问题。这样的问题就是模式识别。一、模糊模式识别的一般步骤模式识别的问题，在模糊数学形成之前就已经存在，传统的作法主要用统计方法或语言的方法进行识别。但在多数情况下，标准类型常可用模糊集表示，用模糊数学的方法进行识别是更为合理可行的，以模糊数学为基础的模式识别方法称为模糊模式识别。模式识别主要包括三个步骤：第一步：提取特征，首先需要从识别对象中提取与识别有关的特征， ,1  分别为每个特征的度量值，于是每个识别对 x , xx  ，这一步是识别的关键，特征提取不合理， 1 nx nx , , ( 2 并度量这些特征，设象 x 就对应一个向量会影响识别效果。 , ) 第二步：建立标准类型的隶属函数，标准类型通常是论域  ( 1 x 的模糊集， ix 是识别对象的第 i 个特征。  ) nx , U  第三步：建立识别判决准则，确定某些归属原则，以判定识别对象属于哪一个标准类型。常用的判决准则有最大隶属度原则（直接法）和择近原则（间接法）两种。二、最大的隶属度原则若标准类型是一些表示模糊概念的模糊集，待识别对象是论域中的某一元素（个体）时，往往由于识别对象不绝对地属于某类标准类型，因而隶属度不为 1 ，这类问题人们常常是采用称为 “ 最大隶属度原则 ” 的方法

http://www.elecfans.com/ 电子发烧友 http://bbs.elecfans.com 电子技术论坛加以识别，这种方法（以及下面的 “ 阈值原则 ”）是处理个体识别问题的，称为直接法。最大隶属度原则：设 ( UF ) 是 n 个标准类型， Ux 0 ，若 AA 1 2 , n  A  max ( xA i 0 )  xA ( k 1 )  k 0 n 则认为 0x 相对隶属于 iA 所代表的类型。例 1 通货膨胀识别问题通货膨胀状态可分成五个类型 : 通货稳定 ; 轻度通货膨胀 ; 中度通货膨胀 ; 重度通货膨胀 ; 恶性通货膨胀 . 以上五个类型依次用 R ( 非负实数域 , 下同 ) 上的模糊集 AAAAA 1 5 , , , , 4 3 2 表示 , 其隶属函数分别为 : 0 x  5 x  5 2 ], ] [     exp[  exp(  ( )( xA 1  )( xA 2  )( xA 3  exp(  ( )( xA 4  exp(  ( )( xA 5  (   exp[    ,1 x x x 5 ,1 x  3 10  5  7  9  15 x 20 30 50 2 )) 2 )) 2 )) 2 ) ), 0 x x  50  50 其中对 0x , 表示物价上涨 %x 。问 40,8x 时，分别相对隶属于哪种类型？解 )8(1 A  .0 3679 ， )8(2 A  .0 8521 )8(3 A  .0 0529 ， )8(4 A  .0 0032 )8(5 A  .0 0000 )40(1 A  .0 0000 ， )40(2 A  .0 0000 )40(3 A  .0 0003 ， )40(4 A  .0 1299 )40(5 A  .0 6412 由最大隶属原则， 8x 应相对隶属于 2A ，即当物价上涨 %8 时，应视

http://www.elecfans.com/ 电子发烧友 http://bbs.elecfans.com 电子技术论坛为轻度通货膨胀； 40x ，应相对隶属于 5A ，即当物价上涨 %40 时，应视为恶性通货膨胀。三、阈值原则在使用最大隶属度原则进行识别中，还会出现以下两种情况，其一是有时待识别对象 0x 关于模糊集 1, AA 2 nA 中每一个隶属程度都相对较低，这时说明模糊集合 1, AA 2 nA 对元素 x 不能识别；其二是有时待识别对象 x 关于模糊集 1, AA 2 nA 中若干个的隶属程度都相对较高，这时还可以缩小 x 的识别范围，关于这两种情况有如下阈值原则。阈值原则： AA 1 2 , 值（置信水平）令   A n   max ( xAk 1)  k 0 n ( UF ) 是 n 个标准类型， ,  dUx 0  ]1,0( 为一阈若 d 则不能识别，应查找原因另作分析。 ) 若 d 且有 ) ) ， … ( 0 xAi ( 0 xAi ( 0 xA mi d d 2 1 d 则判决 0x 相对地属于 A i 1 A  2 i  A mi 三角形识别问题例 2 我们把三角形分成等腰三角形 I , 直角三角形 R , 正三角形 E , 非典型三角形 T , 这四个标准类型 , 取定论域 ), xx X    ( , CBACBA  ,  ,180 CBA   这里 CBA , , 隶属函数为：是三角形三个内角的度数，通过分析建立这四类三角形的 BA  )  ( CB  )] )( xI  1 1)( xR  )( xE )( xT   1 1 180  A [( 1 60 1 90 1 180 (3min[ ( 90 CA  ) BA  (3), CACB ),   2, A  90 ] 现给定， x 0  ( , CBA , )  )45,50,85( ， 0x 对上述四个标准类型的隶属度为： ( xI 0 )  .0 916 ( xR )  94.0 ( xE )  7.0 0 0 ( xT 0 )  06.0

http://www.elecfans.com/ 电子发烧友 http://bbs.elecfans.com 电子技术论坛由于 0x 关于 I , R 的隶属程度都相对高，故采用阈值原则，取 8.0d ，因 ( 0 xI ) .0 916  8.0 ， ( 0 xR ) 94.0  8.0 ，按阈值原则， 0x 相对属于 I ∩ R , 即 0x 可识别为等腰直角三角形。例 3 癌细胞识别在癌细胞识别问题中细胞分成四个标准类型，即：癌细胞 (M ，重度 ) 核异质细胞 ) (N ，轻度核异质细胞 ) (R ，正常细胞。) (T 核周长 , 核面积选取表征细胞状况的七个特征： x 1 x x x 核内平均透光率核内总光密度 , 细胞面积细胞周长 x 2 x x : : : : : : : . , , , 6 4 5 2 7 核内平均光密度 , 根据病理知识，反映细胞是否癌变的主要指标有以下六个，它们都是  : xx 上的模糊集： )  x ( , , , xx 1 2  7 X  ( ) a 正常核面积 A : 核增大 )( xA  1(  B : , 核染色增深 )( xB  1(  C : , 核桨比例置 )( xC  1(  2 1  ) 1  ) 1  ) a 2  1 x 1  2 2 x 5  3 2 x 1 D : , 核内染色质不匀 )( xD  1[  ( E : , 核畸形 )( xE  1[  F : , 细胞畸形 )( xF  1[  ( ( 2 x 2 x 1 x  74 lg x  7  5 )4   1  ] 2 2 ) 1  x 6 ] 2 2  6 )4   2 1  ] x 4 x 3 上述   是适当选取的常数 1 6 2 , , , 细胞识别中的几个标准类型分别定义为：

http://www.elecfans.com/ 电子发烧友 http://bbs.elecfans.com 电子技术论坛 [   ( CBAM  MCBAN  1 1 2 2 1 2 AR MT     B N c )]  F  ED c  c M  c N C  R  c c 1 上述定义中的模糊集 2 1 A 的隶属函数为 2 A )( x  ( ))( xA 1 2 1 。另两个模糊集 2 B 、 1 2 C 的隶属函数类似定义。给定待识别细胞 x 0 X ，设 0x 的核面积等七个特征值为 0 ( x 1 , x 2 0 , ( 0xM ) 、 ( 0xN ) 、 ( 0xR ) 、 ( 0xT ) ，最后按最大隶属度原则识别。 0  据此可算出 x ) 7 例 4 冬季降雪量预报内蒙古丰镇地区流行三条谚语：（1）夏热冬雪大，（2）秋霜晚冬雪大，（3）秋分刮西北风冬雪大，现在根据三条谚语来预报丰镇地区冬季降雪量。为描述 “ 夏热 ” ) ( 1A 、秋霜晚 ( 2A 、秋分刮西北风 ) ( 3A 等概念，在气 ) 象现象中提取以下特征： 1x ：当年 6~7 月平均气温 2x ：当年秋季初霜日期 3x ：当年秋分日的风向与正西方向的夹角。于是模糊集 1A （夏热）， 2A （秋霜晚）、 3A （秋分刮西北风）的隶属函数可分别定义为： ( xA 1 1 )   1   1  1  2    0    x 1  x 1 ( x 1  2 x 1 ) x 1  2  1  x 1  x 1 2 1 x 1  x 1 2   1 其中 1x 是丰镇地区若干年 6、7 月份气温的平均值， 1 为方差，实际预报时取 x = 19 c 2, 2 1 =0.98

http://www.elecfans.com/ 电子发烧友 http://bbs.elecfans.com 电子技术论坛 ( xA 2 2 )   1         x 2  x 2 2 2   a x x a 2 2 0 a 2  x 2  x 2 x 2  a 2 其中 2x 是若干年秋季初霜日的平均值， 2a 是经验参数，实际预报时取 2x =17（即 9 月 17 日）， 2a =10（即 9 月 10 日）。 270 081 90 0 1   sinx -  3  0   cosx   xx X  | 3  ( , xx 1 2 , ( xA 3 3 )  取论域 3     360  270  180  90  3 3 x  x  x  x  ) x 3 3 ，“ 冬雪大 ” 可以表示为论域 X 上的模糊集 C ，其隶属函数为： ) )( xC ( 1 xA 1  ∧ ( ( 2 xA 2 ) ∨ ( 3 3 xA )) 采用阈值原则，取阈值 8.0d ，测定当年气候因子 x  ( , xx 1 2 , x 3 ) 。计算 )(xC ，若 xC )( 8.0 则预报当年冬季 “ 多雪 ”，否则预报 “ 少雪 ”。用这一方法对丰镇 1959~1970 年间隔 12 年作了预报，除 1965 年以外均报对，历史拟合率为 11/12 。 §2-2 贴近度与模式识别的间接方法一、贴近度表示两个模糊集接近程度的数量指标，称为贴近度，其严格的数学定义如下：定义 1 设映射 ) N : (  UFUF ( )  ]1,0[ 满足下列条件：

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