中国科技论文在线 http://www.paper.edu.cn 用 EGARCH-SGED 预测股市波动率# 梁岩，卢丑丽* （中国矿业大学理学院，江苏 徐州 221116） 摘要：本文用正态分布下的指数 GARCH(EGARCH-N)模型和有偏的广义误差分布(SGED)下的指 数 GARCH(EGARCH-SGED)模型，研究了收益分布是如何影响波动率的预测的。通过比较得出 结论，EGARCH-SGED 模型在预测中国股市波动率上比 EGARCH-N 模型更精确。同时用 DM 检验 进一步验证了这个结论。 关键词：EGARCH 模型；有偏广义误差分布(SGED)；DM 检验 中图分类号：F830.9 Use EGARCH-SGED to forecast stock market volatility LIANG Yan, LU Chouli (China university of mining and technology, JiangSu XuZhou 221116) Abstract: In this paper, the index under normal GARCH (EGARCH-N) model and the generalized error distribution-biased (SGED) Exponential GARCH (EGARCH-SGED) model to study how it affects yield distribution is predicted volatility . The test result shows, EGARCH-SGED model for prediction of China's stock market volatility than the EGARCH-N model is more accurate. At the same time with the DM test further validates this conclusion. Keywords:EGARCH model; SGED; DM test 0 引言 1982 年 Engle[1]首次提出 ARCH 模型，它是假设资产收益服从正态分布的，后来许多研 究者对他的假设进行改进，以便更好的体现波动率的时变性、簇聚现象、厚尾、偏斜、峰态 等性质。这些模型有 1987 年 Bollerslev[2]提出的 GARCH 模型、资产收益残差服从t 分布的 假设下提出的 GARCH-t 模型等。但由于收益率的残差对方差的影响存在非对称性，而 GARCH 模型中条件方差是滞后残差平方的函数，因此残差的符号并不影响波动率的预测精 度，也就是滞后残差只区分消息影响的大小，不区分消息的好坏。而现实中希望利空消息出 现时 tσ 趋于增加；利好消息出现时 tσ 趋于减小。也就是 GARCH 模型无法刻画股市中存在 的杠杆效应，不能充分捕捉金融时间序列的尖峰厚尾特征。针对这些问题，Nelson[3]在 1991 年提出了 EGARCH 模型，其目的是为了刻画条件方差对市场中正、负干扰反应的非对称性。 EGARCH 模型中条件方差采用了自然对数形式，这意味着杠杆效应是指数形式的，而非二 次的，此时条件方差 1tσ− 为滞后残差 1tε− 的反对称函数。因此 EGARCH 模型可以很好的描述 了金融市场中的非对称性[4]。这就说明 EGARCH 模型比 GARCH 模型有更好的性质。 由于收益率的分布形式会影响波动率预测的精确性[5]，而以前的文章很多是假设收益服 从正态分布的，这种假设不能有效地反映厚尾和偏斜现象；后来 J.P. Morgan 和 Reuters 又针 对正态分布的不足之处在 Risk Metrics 中提出了收益率的广义误差分布(GED)形式。虽然 GED 分布可以有效解决厚尾现象，但仍无法体现偏斜现象，为此，Hung-chun Liu 等在 2009 年提出 GARCH-SGED 模型[6]下的中国股市波动率预测。证明了当假设收益服从不同的分布 时可以得到不同精度的波动率预测。本文是在 GARCH-SGED 模型的基础上进一步讨论 EGARCH-SGED 模型下的中国股市波动率的预测。 基金项目：中央高校基本科研业务费专项基金（2010LKSX03）;中国矿业大学科技专项基金（OZK4566） 作者简介：梁岩，（1985-），女，硕士，主要研究方向：期权风险分析. E-mail: sunnyliangyan168@sina.com - 1 - 5 10 15 20 25 30 35 40 

中国科技论文在线 1 模型的解释和估计 http://www.paper.edu.cn 本文以下所研究的收益率均为对数收益，同时为了提高预测的精度，先将对数收益率扩 大 100 倍，即 ( ln × 100 = )1 s − t ， − s t ln r t 其中 ts 表示股票价格， tr 表示收益率。EGARCH 模型的形式如下[7] r ⎧ t ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ (1.1) β σ γ σ ω α ε t 1 − σ t 1 − arμ t = + 2 t 1 − ln ln = + + ( ) 1 − 2 t + + ε t ε t 1 − σ t 1 − tz tz ε σ= ， α β+ t 其中 t α、β非负且 ( N ) 0,1 ，μ为参数， tε 为残差， tr 表示t 时刻标的资产的日收益，ω、 ~ < 以确保均值为 0、方差为 1 和过程的稳定性。 1 下面对误差项 tz 考虑两个分布，正态分布和有偏的广义误差分布(SGED)。 1.1 正态分布下的 EGARCH(1,1)模型 ( Nε t ε σ= ， 因为 t ，所以 ) 0,1 N tz tz ~ ~ ( t σ 的密度函数为 0, ) t f ( ε t ) = − 2 ε t 22 σ t e 1 2 πσ t 下面求 EGARCH-N 的对数似然函数[8]，对 1, 2, = t 然函数 NL L N = ln T ∏ t 1 = f ( ε t ) = T ∑ t 1 = ln f ( ε t ) = ln T ∑ t 1 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 2 ε 2 t σπ 22 t σ t e ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ = T ∑ t 1 = ⎛ ⎜ ⎝ 1 2ln 2 π − 2 1 ε t 2 2ln 2 σ σ t − 2 t ⎞ ⎟ ⎠ = − 1 2 T ∑ t 1 = ⎛ ⎜ ⎝ ln 2 2 π σ t ln + ⋅⋅⋅ ，得 tε 的样本，由此可得对数似 T , (1.2) + 2 ε t 2 σ t ⎞ ⎟ ⎠ 45 50 55 1.2 SGED 分布下的 EGARCH 模型介绍 许多模型说明实际中的波动率具有收益偏斜厚尾等特征，为适应这种实际中的现象， 2000 年 Theodossiou[9]提出了收益服从 SGED 分布的模型,它对条件分布中收益的偏斜、厚尾 等进行了灵活地处理。SGED 分布的密度函数为： 60 f ( z t ) υλ , = c exp − ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ z − t ( sign z t υ δ υ υ ) δ λ θ − ⎤ ⎦ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 1 ⎡ ⎣ − (1.3) 其中 - 2 - 

中国科技论文在线 http://www.paper.edu.cn Γ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ = Γ ⎛ ⎞ 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ υ ⎝ ⎠ ) ( s λ ⎞ 3 ⎟ ⎟ υ ⎠ ; ( ) ) λ λ ( s ; = 1 3 + 2 λ − 4 A 2 2 λ ; (1.4) ⎞ 3 ⎟ ⎟ υ ⎠ ; θ s 1 ⎞ ⎟ υ ⎠ A ) ( λ 2 ⎛ ⎞ Γ⎜ ⎟ υ ⎠ ⎝ ⎛ ⎞ 1 ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ υ ⎠ ⎝ Γ c = υ ⎛ 2 Γ⎜ θ ⎝ 2 = δ λ s A = Γ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 0υ> 是控制尖峰高度和尾部厚度的参数； 1 1λ− < < 是控制偏斜度的参数。υ和λ取不 同数值时可以得到不同的收益分布形式[10]。 65 下面求 EGARCH-SGED 的对数似然函数 SGEDL 。 首先可以求出 tε 的密度函数为 f ( ) ε υλ t , = − ⎡ 1 ⎢ ⎢ ⎣ e − sign c σ t υ − δ ε t 1 − σ t 1 − ε t 1 − σ t ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 1 − υ − δ λ θ υ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ (1.5) 连乘取对数有 ( ) ε υλ t L SGED T = ∏ t 1 = ln f , T ∑ t 1 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ υ δ υ δ − ε t σ t ⎡ 1 ⎢ ⎣ − sign ⎛ ⎜ ⎝ ε t σ t − υ δ λ θ ⎞ ⎟ ⎠ υ ⎤ ⎥ ⎦ (1.6) ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ 1 ⎢ ⎣ − sign ⎛ ⎜ ⎝ ε t σ t − ⎞ ⎟ ⎠ υ ⎤ ⎥ ⎦ δ λ θ σ t + ln υ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ = ln T c + T ln − σ t − c − = T ln T ∑ t 1 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 2 波动率预测 ε t σ t − 2.1 波动率预测方法 EGARCH(1,1)模型的波动率预测服从滚动窗口原则，即，每次观测数据的个数相同，后 = + ,其中 R 代表滚动窗口， P 代表滚 , R⋅⋅⋅ ；第二步：取T = 2,3, 4, + ；……； + − 。这样保证每次观察所含样本个数相同且不会重叠。 一次取值比前一次取值向后平移一个数据。令 T R P 动时间，T 代表样本观测值。第一步：取T =1, 2,3, 第 P 步：取T = , 1R⋅⋅⋅ , + ⋅⋅⋅ P R P P 2, 1, P + 1 , 上面是观测数据，下面得出条件方差的估计式，t 时刻条件方差的对数表达式为 ln σ ω α = + 2 t 在给定 1t −Ω 下 2 ) ( + + ln 2 t 1 − β σ γ ε t σ t ln tσ 的估计公式可由下式得出 ε t σ t (2.1) 70 75 E ln 2 σ t ⎡ ⎣ ⎤ = ⎦ E ⎡ ω α ⎢ ⎢ ⎣ + ε t σ t + β σ γ + ln 2 t 1 − ) ( = + E ω α + E β σ γ ln E + 2 t 1 − ⎤ ⎦ ε t σ t 2 ⎡ ⎣ ⎡ ⎣ = + 2 ω α π β σ t 1 − ln + E ⎤ ε t ⎥ σ ⎥ ⎦ t ⎡ ε t ⎢ σ ⎣ t ⎤ ⎦ - 3 - (2.2) ⎤ ⎥ ⎦ 

中国科技论文在线 http://www.paper.edu.cn − = → 1 N ( ) 0,1 ，所以 [ E ε σ− t 1 t ] − = 0 1 80 因为 其中 1 tz ε σ− t t 2 E ε σ π t t = 的证明如下 E z ⎡ ⎣ t ⎤ = ⎦ +∞ −∞ ∫ = 2 +∞ ∫ 0 2 z t 2 − e z t 2 π − 2 z t 2 e z t 2 π dz t = 0 ∫ −∞ − dz t =− 2 π z t 2 π 2 z − t 2 e − 2 z t 2 e dz t + +∞ ∫ 0 − 2 z t 2 e z t 2 π dz t +∞ 0 = 2 π (2.3) 所以在 1t + 时刻的一期向前条件方差对数估计式为 ln ˆ ˆ 2 σ ω α π β σ t 2 + = 1 + ˆ t ˆ 2 ln ˆ + ˆ,ωα和 ˆβ都是由拟似然估计(GQLE)[11,12]按照 BFGS 最优算法估计得到的。同 (2.4) 其中参数 ˆ 时， h 期向前的估计式可以由(2.4)式递推得到 ˆ ˆ 2 β β σ t ( ˆ ˆ h ω πα β + = t h )( 1 − + ˆ σ ln ln ) + − 2 1 ˆ ˆ h 2 (2.5) 即 ˆ σ ( 2 ˆ 2 1 = − ˆ2 h β ˆ σ t exp + ( + = t h )( 1 2 ( ˆ ˆ h ω πα β )( 1 exp 其中 2ˆtσ 是预测的波动率。 2.2 波动率预测的性能估计 ( ˆ ˆ h ω πα β ) − + ˆ ) (2.6) h ˆ ˆ ˆ 2 − + β β σ t ) ln ) ˆ β − 1 为估计两种模型的预测性能，用平方收益 2 tr 代表隐含波动率。两个模型性能的预测是 用标准预测评价准则估计的，这种准则主要是均方误差(MSE)和平均绝对误差(MAE)，分别 由下面方程给出 p h ( ∑ t 1 = (2.7) r 2 2 σ+ t h t h + MSE )2 − = h p h p r σ+ 其中： 2 t h t h MAE p h ∑ t 1 = = , r 2 2 σ+ t h t h + − (2.8) 2 + 分别代表t 时刻 h 水平下实际隐含波动率和预测波动率。 85 90 95 100 3 模型的 DM 检验 DM 检验是 Diebold 和 Mariano(1995)提出的用 MSE 方法检验两个预测集合之间预测精 确度的一种检验方法，它基于两个模型的精确性相同的无效假说。同样预测精确性的无效假 说是基于 [ e 分 B t , 别是由 ,A B 两个模型产生的预测误差。DM 检验过程如下 tE d = 的假设检验来检测的。其中 E 是数学期望算子； e e ,A t − 。 , ] 0 = d e A t , B t , 2 t 2 DM d ( ˆ υ= d ) a ⎯⎯→ N 其中 d = 1 p p ∑ t 1 = d t ( ˆ, υ d ) ≈ ( 1 p ) 0,1 (3.1) ( γ 0 + 2 h 1 − γ ∑ k k 1 = ) 105 且 p 、 h 步预测分别由 ,A B 两个模型决定。 变量 kγ 代表 td 的自身协方差。在等价预测性能的无效假说下，DM 检验统计量服从渐进 的标准正态分布。 - 4 - 

110 115 120 中国科技论文在线 http://www.paper.edu.cn 通过 DM 检验，可以得出结论 EGARCH-SGED 模型预测的波动率比用 EGARCH-N 模 型 预 测 的 波 动 率 相 对 实 际 波 动 率 的 均 方 误 差 和 平 均 绝 对 误 差 都 要 小 。 这 表 明 EGARCH-SGED 模型比 EGARCH-N 模型在预测波动率方面有更好的性质。 4 结论 近年，中国股市在新兴国家增长的潜力吸引了很多国外投资者，然而，这种快速增长与 高风险是有联系的，所以，精确的波动率预测至关重要，本文研究采用滚动窗口原则来实现 的，并且在应用于各种预测水平的上证和深证综合指数时，对 EGARCH-SGED 模型和 EGARCH-N 模型样本外的波动率模型进行了相关性的比较。经验结果指出 EGARCH-SGED 模型较 EGARCH-N 模型有更低的 MSE 和 MAE，通过上证和深证综指的所以预测水平，对 进一步的检验，用 DM 检验统计量证明了用 EGARCH-SGED 模型得到波动率预测比用 EGARCH-N 模型得到的结果越来越精确。 精确地波动率预测对投资者、机构交易者和风险管理者至关重要；同时学术上的研究者 试图把市场不确定性量化以便于分析。研究表明，融入 SGED 收益创新后的 EGARCH 模型 能对中国股市产生的更好的波动率预测，这个发现赋予条件分布的偏斜和厚尾以重要意义。 在应用到新兴市场做决定时还要考虑市场的时变性、投资组合的选择和 VaR 估计等。 本文的缺点就是没有实证分析，希望通过努力以后可以做出相应的实证分析。 125 [参考文献] (References) [1] Engle, R.F. Autoregressive conditional heteroskedasticity with estimates of variance of UK inflation[J]. Econometrica.1982,50:987-1008. [2] Bollerslev, T. A conditional heteroskedastic time series model for speculative prices and rates of return[J]. Review of Economics and Statistics.1987, 69:542-547. [3] Nelson, D.B. Conditional heteroskedasticity in asset returns: A new approach[J].Econometrica.1991,59: 347-370. [4]王佳妮,李文浩.GARCH 模型能否提供好的波动率预测[J].数量经济技术经济研究.2005. [5]王喜报,刘文奇.EGARCH-GED 模型下的股市风险测度研究[J].昆明理工大学学报.2009,34(2) :104-107. [6] Hung-Chun Liu ,Yen-Hsien Lee.Forecasting China Stock Markets Volatility via GARCH Models Under Skewed-GED Distribution[J].Journal of Money, Investment and Banking ISSN.2009-1450-288X Issue 7. [7] 易丹辉.数据分析与 EViews 应用[D].中国统计出版社 2002. [8]茆诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计[D].高等教育出版社 2004. [9] Theodossiou, P. Skewed generalized error distribution of financial assets and option pricing[J]. Working Paper, School of Business, Rutgers University. 2000. [10] 魏宇，高隆昌.基于有偏胖尾分布的随机波动模型估计及其检验[J].系统管理学报 2008 第 17 卷 第 3 期 266-272. [11] M. S. Youssef.A Generalized Quasi-Likelihood Estimation of a Poisson Process[J].Applied Mathematical Sciences, 2009,39: 1913 – 1921. [12] Lei Qi, Dacheng Xiu and Jianqing Fan.Non-Gaussian Quasi Maximum Likelihood Estimation of GARCH Models[J]. 2010 June 15. 130 135 140 145 - 5 -