西科大历年概率论题汇总.pdf-资料库

一、填空题 1、已知 ( P A  ) 0.5, P B (  ) 0.6, P AB (  ，则 P(A－B)= ，P(A|B)= 。 ) 0.2 2、甲乙二人朝同一目标射击，甲的命中率为 80%，乙的命中率为 50%，乙的射击次数是甲的 4 倍，则甲乙二人的总命中率为；若目标被击中，则更有可能是击中的。 3、已知 A、B 两台机器独立工作，故障率分别为 0.2 和 0.3，则 A 和 B 至少有一个正常的概率为。 4、已知 P(A)=0.5，P(B)=0.6，P(AB)=0.3，则 P(A－B)= ，P(A|B)= 。 5、甲乙卖同一种货物，乙的进货量是甲的 3 倍，甲的次品率为 30%，乙的次品率为 20%，则甲乙二人的总次品率为；若某人从二人手中购得了一件次品，但未记清是谁卖给他的，则该产品更有可能是卖给此人的。 6、已知事件 A 与 B 相互独立，且 A 不发生的概率和 B 不发生的概率均为 0.9，则 A 和 B 至少有一个发生的概率为。 7、一袋中有 8 个大小相同的球，其中 5 个黑色球，3 个白色球。现从袋中随机取出 2 球，则两球都是黑色球的概率为。 8、已知 A B P A ) ( ,   0.2, P B ( )  0.3, 则 ( P AB  。 ) 9、设随机变量 ~ ( ) X  且 ( P X 10、已知随机变量 ~ X N  ( 3,1),  1)  P X (  则 。 2), Y N ~ (2,1), 且 X 和 Y 相互独立，随机变量 Z  3 X  ，则 ( )E Z Y 2 = ， ( )D Z = 。 11、一袋中有 8 个大小相同的球，其中 5 个黑色球，3 个白色球。现从袋中随机取出 2 球，则两球都是黑色球的概率为。 12、已知 ( ) P A  0.5, P B ( )  0.6, P B A ( |  ) 0.8, 求 ( P A B )  。 13、设随机变量 ~ ( ) X  且 ( P X  2)  P X (  则 。 3), 14、设容量 n=8 的样本观测值为 8，7，6，9，8，7，5，9，则样本均值为。 15、已知 1 ˆ 与 2 ˆ 均为总体参数的无偏估计，当时，称 1 ˆ 比 2 ˆ 有效。 16、设 P A ) (  P B ( )  1 3 , P A B ( | )  ，则 ( P B A ， ( )= P A B )= 。 1 6 17、若 X ~ N(4, 2 ), 2 则 (3 x P   6)  ，若 (X c)  P  (X c)  ，则 c  ． P 18、对正态总体的数学期望进行假设检验，如果在显著水平下  0.01 著水平  0.05 下。下，拒绝假设 0 :H   ，则在显 0 19、若 X ~ N(3, 2 ), 2 则 (2 P   x 5)  ，若 (X c)  P  (X c)  ，则 c  ． P 20、两个随机变量 ,X Y 的方差都是 1，相关系数是 XY  ，则 ( 0.5 D X Y 2 )  。 21、设 1, X ⋯ X n  ( n 2) 是来自总体 N( ) 的样本，若 , 2 2 9  ，则的置信区间为，若 2 未知时，则的置信区间的长度为。

二、选择题 1、若 ( )F x 是 X 的分布函数，且 ( ) G x  ( ) F x F x ( )   2 ，则 lim ( ) G x  x  （）（A） 1 2 （B）1 （C）0 （D） 1  2 2、若，X~N(2,1),Y~N(1,1)，则 P{XY-1}=（） 1 3 （A）－1 （B）1 （C）（D） 4 2 8、若 ( D X )  D Y ( ) 3,   XY  ，则 (2 D X Y 0.5  （） ) （A）15 （B）21 （C）18 （D）9 9、对于总体期望的下列无偏估计量，最有效的是（） 1 1 1 1 3 X （B） 1 2 X （C） 1 2 X （A） 1 2 X 2 X 4 4 X 2 3 2 X （D） 1 2 X 2 3 10、对于来自正态总体 N  容量为 n 的样本，下列描述错误的是（） ( ) , 2 （A） ~ ( X N  （B） ) , 2  n X    / n ~ N (0,1) （C） X  S / n ~ ( ) t n （D） ( n 2 S  1)  2 ~ 2 n (  1) 11、下列事件的运算关系错误的为（） A. 0  P A (  B. ) 1 P   C. ) 0 ( P A B (   ) P A ) (  P B ( ) D. ) P A (  P A (  ) 1 12、设 ~ X N (3,1), ( )x 是标准正态分布的分布函数，则 { 1   P X  1}  （） A. 2 (1) 1   B.    C. (4) (2)    D. (2) (4)      ( 2) ( 4) 13、设随机变量 ,X Y 的相关系数存在，则 ,X Y 相互独立是 ,X Y 不相关的（）

A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 即不充分也必要条件 14、设随机变量 X ~ (4, B 1 2 ), Y N ~ (2,16) ，又 ( E XY  ，则 X 和Y 的相关系数（） ) 6 A. 0.5 B. -0.16 C. 0.8 D. -0.5 15、设 1 2 3 X X X 是取自 ( , , N  的样本，以下的四个统计量中最有效的是（） ,1) A. ^   1  X 1 ^   3 C. X  1 1 5 1 3 3 10 1 X 3 1 2 X 3 B. X 3 D. X 2   2 1 3 ^   2 ^   4 1 3 1 3  X 1  X 1 2 9 1 4 X 2  X 2  4 9 5 12 X 3 X 3 16、下列事件的运算关系正确的为（） A. C. P A B (   ) ) P A (  P B ( ) B. P ABC ( )  P A P B P C ( ) ( ) ( ) P A B (   ) ) P A (  P B ( ) D. ) P A (  P A (  ) 1 17、设 ~ X N (3,1), ( )x 是标准正态分布的分布函数，则 { 1   P X  1}  （） A. 2 (1) 1   B.    C. (4) (2)    D. (2) (4)      ( 2) ( 4) 18、离散型随机变量的分布函数为 ( )F x ，则 ( P X x )k = . A P x k ( C P x k (    x 1 x k ) B F x k (  1  ) F x k (  1 )    x 1 x k ) D F x k ( )  F x  ( k 1 ) 19、设随机变量 X ~ (4, B 1 2 ), Y N ~ (2,16) ，又 ( E XY  ，则 X 和Y 的相关系数（） ) 6 A. 0.5 B. -0.16 C. 0.8 D. -0.5 20、设 1 2 3 X X X 是取自 ( , , N  的样本，以下的四个统计量中最有效的是（） ,1) A. ^   1  X 1 ^   3 C. X  1 1 5 1 3 3 10 1 X 6 1 2 X 3 B. X 3 D. X 2   2 1 2 ^   2 ^   4 1 3 1 3  X 1  X 1 2 9 1 4 X 2  X 2  4 9 5 12 X 3 X 3 21、两个随机变量 ,X Y 的方差分别是 4 和 1，相关系数是 XY  ，则随机变量 3 0.5 2X Y 的方差是（）。（A）28 （B） 16 （C）20 （D）40 22、若 X C ~ (10, 1 2 ) ，则下列说法错误的是（）。（A） ( E X  （B） D( ) 5 X  ) 2.5 （C） E X  ( ) 2 7.5 （D） P X k (   ) C k 10 ( 1 2 10 ) ， k 0,...,10 23、设 1 2 3 X X X 是取自总体 X 的样本，则总体均值的最有效估计量是（）。 , , （A） 1 4 X 1  1 2 X 2  1 4 X 3 （B） 4 5 X 1  2 5 X 2  1 5 X 3 （C） 2 X 1 3  1 3 X 2  2 3 X 3 （D） 1 2 X 1  1 3 X 2  1 6 X 3

24、设 ~ N(0,1) X ，对于给定 (0    ，数U满足 ( 1) P X  U )    ，若 ( P X x   ，则 x 等 ) 于（）。（A） U （B） 2 U  1 2 （C） (1 U  ) （D） 1U  2 25、设 1, X ⋯ X n  ( n 2) 是来自总体 N(0,1) 的样本， 2 ,X S 分别是样本均值及方差，则下列是选项中表达错误的是（）。（A） X N ~ (0, 1 n ) （B） ( n 2 S  1)  2 ~ 2 n (  （C） 1) (  1 n   1  i n X 2 i ~ (1, F n  1) （D） X 2 1 1) ~ ( t n  1) X S n 26、设 A B C、、是任意的三个随机事件，若 A B、同时发生，则 C 必发生。我们有（）。（ A ）  （ C ）  P C （ B ）   P AB P A B   P A B  P C  P C          （ D ）  P A B    P C  27、对正态总体的数学期望进行假设检验，如果在显著水平下  0.05 下，拒绝假设 0 :H   ，则在显 0 著水平  0.01 下（）。（A）接受原假设（B）可能接受原假设，可能拒绝原假设（C）拒绝原假设（D）拒绝原假设，拒绝备择假设 28、设 1 2 ,X X 是取自总体 X 的样本，则总体均值的最有效估计量是（）。（A） 1 4 X 1 X 3 4 （B） 2 1 5 X 1 X 4 5 （C） 2 1 2 X 1 X 1 2 （D） 2 1 3 X 1 X 2 3 2 ,X 29、设 1 X⋯ 是来自总体 (0,1) N 4 的样本，令 Y  ( X 1  X 2 2 )  ( X 3  X 4 2 ) ，则当 c 为（）时，统计量 cY 服从 2 分布。（A）1 （B） 1 2 （C） 1 3 （D） 1 4 ,X 30、设 1 X⋯ 是取自总体 16 X N  的样本， X 为样本均值，已知 ~  1, 2 Y  a X b N ~    0,1 ，则有（）。（A） a  4 4    b , （B） a  , b   4  4  （C） a  b ,   （D）  a  b   , 三、判断题 1、若 ~ ( ) X e  ，则必有 ( E X  ) D X ( ) （） 2、若 ~ ( , ) X U a b ，则 P X (  a b  2 )  （） 1 2 3、当正态总体 N  中 ( ) , 2 2 未知时，的双侧置信区间为     X t / 2 (   1) n S n    （）

4、若随机变量 X，Y 不相关，则 X，Y 一定相互独立（） 5、在假设检验中犯第一类错误的概率不超过显著性水平（） 6、若 ~ ( , X b n p ，则 ( E X )  ) np (1  p ) 。（） 7、若 ~ ( ) X  ，则 ( P X  1)  e  （）。 8、当正态总体 N  中 ( ) , 2 2 已知时，的双侧置信区间为     X t / 2 (   1) n  n    （） 9、若随机变量 X，Y 相互独立，则 X，Y 一定不相关。（） 10、若样本容量给定，假设检验中的两类错误可以同时避免。（） 11、对立事件一定是互斥事件．( ) 12、若 ( P ABC )  P A P B P C ( ) ( ) ( ) ，则 A 、 B 和 C 相互独立．( ) 13、若 X 服从泊松分布，则 EX DX ．( ) 14、已知 X N  ， 1 (2, ~ ) 2 x x x 是来自总体 X 的样本，则 , , 2 3 x  3 3 2 是统计量．( ) 15、明天下雨不是随机事件. ( ) 16、随机变量 ,X Y 线性无关的充要条件是 XY  ．( ) 0 17、若 ( P ABC )  P A P B P C ( ) ( ) ( ) ，则 A 、 B 和 C 相互独立．( ) 18、若 X 服从指数分布，则 EX DX ．( ) 19、已知 X N  ， 1 (2, ~ ) 2 x x x 是来自总体 X 的样本，则 , , 2 3 x 1 x   是统计量．( ) 2 3 20、明天下雨是随机事件. ( ) 21、设 ,A B 是  中的随机事件，必有 P  (A B) P(A) P(B)   。（） 22、若 ~ ( ) X  ，则 E (X 1)   2  。（） 1 23、设 ,A B 是  中的随机事件，则 A B (A ) B    ( B) A  ( B) A 。（） 24、样本均值 X 是总体均值 ( E X 无偏估计。（） ) 25、 ~ X N  ，则   F x , 4) (      X     。（） 2 26、设 ,A B 是  中的随机事件，必有 P (AB) P(A) P(B)  。（） 27、若 ~ ( ) X  ，则 (X) E D (X) 。（） 28、设 ,A B 是  中的随机事件，则 A B B A    。（） 29、样本方差 2S 是总体方差 D( )X 无偏估计。（） 30、假设检验的基本思想是小概率事件在一次试验中不能发生。（）

四、解答题 1、设二维随机变量 ( )X Y 的联合密度为 , f x y ( , ) 2  Cx y    0, , 0    x y 其他 2 ，求（1）常数 C；（2） ( P X  ；（3）判断 X 与 Y 的独立性。 1) 2、已知 X 的密度为 ( ) f x   ax x ,  ， 1 0,      3、已知总体 X 的分布律为 P X (  1)  矩估计值和最大似然估计值。 2 P X ( , 0 1 x    1   其他 0 x ，求（1）常数 a ；（2） ( E X ；（3） ( )D X 。 )  2) 1   ， 0 ，样本观测值为（1,2,1,1,1），求的  2 4、设总体 X 的期望与方差分别为和 2 ，证明：（1） X 是的无偏估计量；（2） 2S 是 2 的无偏估计量。 5. 某批矿砂的 5 个样本中的镍含量经测定为（%）3.25，3.27，3.24，3.26，3.24，设测定值总体服从正态分布，经计算得知样本均值 x =3.252，样本标准差 s=0.0130. 问在  0.01 下能否接受假设：这批矿砂的镍含量的均值为 3.25．附： 0.005 (4) t  4.6041 ， 0.01(4) 3.7469 t  ， 0.005 (5) t  4.0322 ， 0.01(5) 3.3649 t  6、设二维随机变量 ( )X Y 的联合密度为 , f x y ( , )  Cxy    0, 2, 0    y x 其他 2 ，求（1）常数 C；（2） ( P X  ；（3）判断 X 与 Y 的独立性。 1) 7、已知 X 的密度为 f x ( )   1, x ax ， 0,      0 x    1   其他 0 x 1 ，求（1）常数 a ；（2） ( E X ；（3） ( )D X 。 ) 8、已知总体 X 的分布律为 P X (     1) 1 的矩估计值和最大似然估计值。 2 P X ( ,  2)  ， 0 ，样本观测值为（2,2,－1,2,2），求  2 9、设总体 X 的期望与方差分别为和 2 ，证明：（1） X 是的无偏估计量；（2） 2S 是 2 的无偏估计量。 10、设某异常地区磁场强度服从正态分布 N  ( 2 , 20 ) ，由以前观测知 0 56  ，现有一台新型号的仪器，用它对该地区进行磁测，抽取了 41 个点，其平均值 X  60.1 ．问新仪器的观测结果较以前是否有显著差  异（ 0.05 ）？附：标准正态分布表， 0.05 u  1.645, u 0.025  1.96 。

11、设随机变量 X 的概率密度为 f x ( ) 0     cx 0 x 1   其它，求：(1)常数 C；(2)X 的分布函数；(3)X 落在区间(0.3，0.7)内的概率. 12、设随机变量 X 的密度函数为 f x ( )     2 x 0 x 1   0 其它，求 X 的均值与方差. 13、设总体 X 服从指数分布，其概率密度为 f x ( )    xe   0  本值，试用极大似然估计法求参数的估计值 ˆ.  0 x  x 0 0   ， 1 ( x x 2 , ,  为 X 的一组样 , x )n 14、已知一批同龄约克夏猪的体重服从均方差为 5 千克的正态分布，按常规方式喂养，此批约克夏猪的平均体重应为 65 千克，从中随机选出 10 头，计算得样本均值 x =64.1 千克，试问可否认为这批约克复猪的平均体重仍符合常规标准？（  0.05, u  1.96, 10  3.162 ） 15、随机变量 X 的密度函数为 f x ( )  2 1 c  0 2 x      x  1 其它，求： (1)常数 C；(2)X 的分布函数；(3) X 落在区间  ( 1 1 2 2 , ) 内的概率. 16、设 X，Y 的概率密度为 f X ( ) x x 2    1    0 0   x 2 其它， f Y ( ) y      22 e y 0 y  0 其它，求 E=(X+Y). 17、设总体 X 服从指数分布，其概率密度为 ( ) f x    xe   0  本值，试用矩估计法求参数的估计值 ˆ.  0 x  x 0 0   ， 1 ( x x 2 , ,  为 X 的一组样 , )n x 18、为研究矮壮素使玉米矮化的效果，在玉米抽穗期测定喷矮壮素小区玉米 8 株，株高的平均值 x =176.3 厘米，样本方差 2 s  541.07 ，均方差 S=23.26，假设矮化玉米的株高服从正态分布，且知该品种玉米没喷矮壮素之前的平均株高为 233 厘米，试问矮壮素是否对该品种玉米矮化效果显著 .(  0.05 , t 0.05 (7)  2.3646, 8  2.828) 2 19、有三箱同种类的零件，第一箱装 20 只，其中 6 只一等品；第二箱 10 只，其中 9 只一等品；第三箱 15 只，其中 3 只一等品。从三箱中任取一箱，再从该箱中任取一只，求取出零件是一等品的概率 20、设总体 X 的概率密度为 ( ; f x  )= ) 1)   (  0,  x , 0 1x  其它，其中 >-1 是未知参数， 1, X X 的容量为 n 的简单随机样本，求（1）求的矩估计量；（2）求的极大似然估计。 X… 是来自 , n 21、设二维随机变量的密度函数为 f x y ( , )     ax, 0    x y 其它 . 0, 1.

试求：(1)常数 a；（2）分布函数 ( P x y  ；(3) 1) xf ；(4) ( )E x ． 22、设 X 的概率密度为 ( ) f x     Ax , 0   x 4 0, 其它 , 求（1）常数 A；（2）  P   2 X 的概率密度，（4）分布函数。  ；（3） 2 X Y  4  8 23、已知某练铁厂铁水含碳量服从正态分布 N 2 (4.55, 0.108 ) 。在测定了 9 炉铁水，其平均含碳量为 4.484. 如果估计方差没有变化，可否认为现在生产之铁水平均含碳认为 4.55 (  0.05) ? 附表： u 0.05  1.645, u  1.96, t 0.05 (9) 1.8331, t  0.025 (9)  2.2622, 0.025    1 =0.8413 ，  0.5 =0.6915 。  24、两批相同的产品，各有 10 件和 9 件，在每批产品中有一件废品，今任意从第 1 批中抽取 1 件混入第二批中，然后从第 2 批中抽取的是废品的概率。 25、连续型随机变量 X 的概率密度函数为 f x ( )  2 x  Ae , (     ，求（1）常数 A ，（2） ( 2   P x ) X  ， 1) （3）分布函数，（4）随机变量函数 3 y x 的概率密度函数。 26、设二维随机变量的密度函数为 f x y ( , )     (3) yf ；(4) ( )E y ． a , 0 y    y x 其它 . 0, 1. 试求：(1)常数 a；（2）分布函数 ( P x y  ； 1) 27、设总体 X 的概率密度为 ( ) f x x      0,    1, 0 x 其他 1 ，其中 0 ．（1）求的极大似然估计量；（2）求 的矩估计量． 28、水泥厂用自动包装机包装水泥，每袋额定总量是 50kg，某日开工后随机抽取了 9 袋，称得重量如下： 49.6，49.3，50.1，50.0，49.2，49.9，49.8，51.0，50.2。设每袋重量服从正态分布，问包装机工作是否正常？  ( 0.05, S 2  0.29) 附表： u 0.05  1.645, u  1.96, t 0.05 (9) 1.8331, t  0.025 (9)  2.2622, 0.025 t 0.05 (8) 1.8595, t  0.025 (8)  2.3060.    1 =0.8413 ，  0.5 =0.6915 

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