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随机信号分析(常建平+李海林)习题答案.doc

发布时间：2022-06-06 发布人：admin 分类：说明书 资料大小：1.02M 资料格式：doc 举报 版权申诉
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    1-9 已知随机变量 X 的分布函数为 0 x  x   1 x  , , 0 , ( ) F x X  2 0   kx   1  1 求：①系数 k； ②X 落在区间 (0.3,0.7) 内的概率； ③随机变量 X 的概率密度。 解： 第①问 利用 ( ) XF x 右连续的性质 k＝1 第②问 第③问 P  0.3   F X   0.7  0.7    F   0.3 P  0.3  X   0.7   P X   0.7 f X ( ) x  ( ) dF x X dx 2 x    0  1   x 0 else
    1-10 已知随机变量 X 的概率密度为 ( ) x 普拉斯分布），求： ①系数 k ②X 落在区间 (0,1) 内的概率 的分布函数 Xf   x ke (    （拉 x ) ③随机变量 X 解： 第①问 第②问      f x dx  1 k  P x 1  X   x 2   F x 2   随机变量 X 落在区间 1 x x 的概率 1 { P x 2 ( ] ,  1 2  F x 1    x 2 x 1   f x dx  X x 2  就是曲线 } y  下的曲   f x 边梯形的面积。  P  0  X   1  1 0    f x dx P   0  1 1  2 X   1 e  1  第③问 x e  x e x  0 x  0   f x      1 2 1 2 x   F x              ( ) f x dx 1 2 1 2 x 0   x e dx x e dx x  0 x  0  e 1    2   1    x 1 2 x  0  x e x  0 1 2 x  e dx  x  0
    1-11 某繁忙的汽车站，每天有大量的汽车进出。设每辆汽车 在一天内出事故的概率为 0.0001，若每天有 1000 辆汽车进出 汽车站，问汽车站出事故的次数不小于 2 的概率是多少？ 二项分布 n=1     n 成立 ， 0不成立   p q 0,np= n ,p  ,  - 分布 (0 1) 泊松分布 高斯分布 实际计算中，只需满足 n  10 p  0.1 ，二项分布就趋近于泊松分布  P X k  ＝    ke ! k  ＝ np 汽车站出事故的次数不小于 2 的概率 P( k  2) 1    P k  0    P k   1 答案 P( k  2) 1 1.1   e 0.1
    1-12 已知随机变量 ( ( , x y f XY , )X Y 的概率密度为 0, y  , , 其它 ke 4 ) y  x (3 )   x     0 0 求：①系数 k？② ( )X Y 的分布函数？③ {0 P ,  X  1,0  X  ？ 2} 第③问 方法一： 联合分布函数 ( , XYF x y 性质： ) 若任意四个实数 1 a a b b ，满足 , , , 2 1 2 a  1   , a b 2 1 , 2 1 b  ，则 2 }    2 { ( , ) P a X a b Y b F a b F a b F a b F a b 2 1 ( , ) 2 2 ( , ) 1 2 ( , ) 1 1    XY XY XY XY 1 2}       {0 P 1,0 X Y F XY (1,2)  F XY (0,0)  F XY (1,0)  F XY (0,2) 方法二：利用 P x y {( , )  D }   D f X Y  , u v dudv  {0 P       X 1,0 2} Y 2 0 1 0  f XY , x y dxdy 
    1-13 已知随机变量 ( ( , f x y ) 0   )X Y 的概率密度为 , 1, y 其它 y x ？②判断 X 和 Y 是否独 |     x y 和 ( Yf | 1 0  x , , x ) ) ①求条件概率密度 ( Xf 立？给出理由。 先求边缘概率密度 ( ) x 、 ( ) y Xf Yf 注意上下限的选取 ( ) f x X  ( ) f y Y        f XY   , x y dy  f XY   , x y dx              x dy x  0 , 1 x   ,0 else  2 x   0  1 ,0 x   else ， dx ,0   y 1 1 y 1    dx y 0 , 1    y 0  y | 1 |    0  1 y 1    else , else
    1-14 已知离散型随机变量 X 的分布律为 X P 求：①X 的分布函数 6 7 3 0.2 0.1 0.7 Y ②随机变量 3 X 1  的分布律 1-15 已知随机变量 X 服从标准高斯分布。求：①随机变量 X e 的概率密度？②随机变量 Z  X 的概率密度？ '( ) h y ( ) h y ( ) y  分析:① f Y Y  f X  ② f Y ( ) y |  h ' ( ) | 1 y  f X [ h y 1 ( )]  | h ' ( ) | 2 y  f X [ h y 2 ( )] 答案: f Y ( ) y  2   ln y 2 1 2 y  e      0 y  0 else f Z ( ) z   2 z 2 2 e       0 z  0 else
    1-16 已知随机变量 1X 和 2X 相互独立，概率密度分别为 f X 1 ( x 1 ) 1 2        1 2 x 1 e 0 , , x 1 x 1 求随机变量 Y  X 1  1 3 x 2 e 1 3        0 f X ( x 2 ) 2 ， 0 0   的概率密度？ X 2 , , x 2 x 2  0  0 Y  解：设 1  Y  2   Y X  X 1 1  ( 2 X 任意的 求反函数，求雅克比 J＝－1 ) f Y Y 1 2  , y y 1 2   1 3 e y 1  1 6 y 2       1 6 0 y 2  0  y 1 else  f Y 1   y 1 1 3 y 1  1 2 y 1  e      e 0 0 y  1 else 1-17 已知随机变量 ,X Y 的联合分布律为 5     Y m,  n m n e 3 2  P X ! ! m n 求：①边缘分布律  P X ②条件分布律  m | P X   , m n , m (    和   Y n m 0,1,2,  0,1,2, P Y n X   ( n n  0,1,2, )  ？ )  和  P Y   m |  ？
    分析：  P X  m, Y   n 泊松分布  P X k    ke ! k   m n 3 2 e ! ! m n   5  3  m 3 e ! m  2 2  n e ! n , , m n  0,1,2,  , k  0,1,2,  k  ! k   e  e    1 P19 （1－48）  P X k      k  0   k  0 k    e ! k  e     k  0 解：①  P X   m    n 1   P X  m, Y   n  3 m  3 e ! m  1  n 2 2  n e ! n 同理  P Y   n    n 1   P X  m , Y   n  2 2  n e ! n ②  P X  m, Y   n ＝   P X m P Y      n 即 X、Y 相互独立
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