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ESSENTIALS OF ROBUST CONTROL.pdf
Cover
Preface
Contents
Notation and Symbols
Acronyms
1. Introduction
What is this book about?
Highlights of this book
Notes and References
Problems
2. Linear Algebra
Linear subspaces
Eigenvalues and eigenvectors
Matrix inversion formulas
Invariant subspaces
Vector norms and matrix norms
Singular value decomposition
Semidefinite matrices
Notes and references
Problems
3. Linear Systems
Descriptions of linear dynamical systems
Controllability and observability
Observers and Observer-based controllers
Operations on systems
State-space realizations for transfer matrices
Multivariable system poles and zeros
Notes and references
Problems
4. H2 and H-infty Spaces
Hilbert spaces
H2 and H-infty spaces
Computing L2 and H2 norms
Computing L-infty and H-infty norms
Notes and references
Problems
5. Internal Stability
Feedback structure
Well-posedness of feedback loop
Internal stability
Coprime factorization over RH-infty
Notes and references
Problems
6. Performance Specifications and Limitations
Feedback properties
Weighted H2 and H-infty performance
Selection of weighting functions
Bode's gain and phase relation
Bode's sensitivity integral
Analyticity constraints
Notes and references
Problems
7. Balanced Model Reduction
Lyapunov equations
Balanced realizations
Model reduction by balanced truncation
Frequency-weighted balanced model reduction
Notes and references
Problems
8. Uncertainty and Robustness
Model uncertainty
Small gain theorem
Stability under unstructured uncertainties
Robust performance
Skewed specifications
Classical control for MIMO systems
Notes and references
Problems
9. Linear Fractional Transformation
Linear fractional transformations
Basic principle
Redheffer star products
Notes and references
Problems
10. mu and mu Synthesis
General framework for system robustness
Structured singular value
Structured robust stability and performance
Overview of mu synthesis
Notes and references
Problems
11. Controller Parameterization
Existence of stabilizing controllers
Parameterization of all stabilizing controllers
Coprime factorization approach
Notes and references
Problems
12. Algebraic Riccati Equations
Stabilizing solution and Riccati operator
Inner functions
Notes and references
Problems
13. H2 Optimal Control
Introduction to regulator problem
Standard LQR problem
Extended LQR problem
Guaranteed stability margins of LQR
Standard H2 problem
Stability margins of H2 controllers
Notes and references
Problems
14. H-infty Control
Problem formulation
A simplified H-infty control problem
Optimality and limiting behavior
Minimum entropy controller
an optimal controller
General H-infty solutions
Relaxing Assumptions
H2 and H-infty integral control
H-infty filtering
Notes and references
Problems
15. Controller Reduction
H-infty controller reductions
Notes and references
Problems
16. H-infty Loop Shaping
Robust stabilization of coprime factors
Loop-shaping design
Justification for H-infty loop shaping
Further guidelines for loop shaping
Notes and references
Problems
17. Gap Metric and v-Gap Metric
Gap metric
v-Gap metric
Geometric interpretationof v-gap metric
Extended loop-shaping design
Controller order reduction
Notes and references
Problems
18. Miscellaneous Topics
Model validation
Mixed mu analysis and synthesis
Notes and references
Problems
Bibliography
Index
ESSENTIALS OF
ROBUST CONTROL
Kemin Zhou
May 25, 1999
Preface
Robustness of control systems to disturbances and uncertainties has always been the
central issue in feedback control. Feedback would not be needed for most control systems
if there were no disturbances and uncertainties. Developing multivariable robust control
methods has been the focal point in the last two decades in the control community. The
state-of-the-art H1 robust control theory is the result of this eort.
This book introduces some essentials of robust and H1 control theory. It grew from
another book by this author, John C. Doyle, and Keith Glover, entitled Robust and
Optimal Control, which has been extensively class-tested in many universities around
the world. Unlike that book, which is intended primarily as a comprehensive reference of
robust and H1 control theory, this book is intended to be a text for a graduate course
It is also intended to be a reference for practicing control
in multivariable control.
engineers who are interested in applying the state-of-the-art robust control techniques
in their applications. With this objective in mind, I have streamlined the presentation,
added more than 50 illustrative examples, included many related Matlab R commands1
and more than 150 exercise problems, and added some recent developments in the area
of robust control such as gap metric, -gap metric, model validation, and mixed
problem. In addition, many proofs are completely rewritten and some advanced topics
are either deleted completely or do not get an in-depth treatment.
The prerequisite for reading this book is some basic knowledge of classical control
theory and state-space theory. The text contains more material than could be covered in
detail in a one-semester or a one-quarter course. Chapter 1 gives a chapter-by-chapter
summary of the main results presented in the book, which could be used as a guide for
the selection of topics for a specic course. Chapters 2 and 3 can be used as a refresher
for some linear algebra facts and some standard linear system theory. A course focusing
on H1 control should cover at least most parts of Chapters 4{6, 8, 9, 11{13, and Sections
14.1 and 14.2. An advanced H1 control course should also include the rest of Chapter
14, Chapter 16, and possibly Chapters 10, 7, and 15. A course focusing on robustness
and model uncertainty should cover at least Chapters 4, 5, and 8{10. Chapters 17 and
18 can be added to any advanced robust and H1 control course if time permits.
I have tried hard to eliminate obvious mistakes. It is, however, impossible for me
to make the book perfect. Readers are encouraged to send corrections, comments, and
1Matlab is a registered trademark of The MathWorks, Inc.
vii
viii
PREFACE
suggestions to me, preferably by electronic mail, at
kemin@ee.lsu.edu
I am also planning to put any corrections, modications, and extensions on the Internet
so that they can be obtained either from the following anonymous ftp:
ftp gate.ee.lsu.edu
or from the author’s home page:
cd pub/kemin/books/essentials/
http://kilo.ee.lsu.edu/kemin/books/essentials/
This book would not be possible without the work done jointly for the previous
book with Professor John C. Doyle and Professor Keith Glover. I thank them for their
inuence on my research and on this book. Their serious attitudes toward scientic
research have been reference models for me. I am especially grateful to John for having
me as a research fellow in Caltech, where I had two very enjoyable years and had
opportunities to catch a glimpse of his \BIG PICTURE" of control.
I want to thank my editor from Prentice Hall, Tom Robbins, who originally proposed
the idea for this book and has been a constant source of support for me while writing it.
Without his support and encouragement, this project would have been a dicult one.
It has been my great pleasure to work with him.
I would like to express my sincere gratitude to Professor Bruce A. Francis for giving
me many helpful comments and suggestions on this book. Professor Francis has also
kindly provided many exercises in the book. I am also grateful to Professor Kang-Zhi Liu
and Professor Zheng-Hua Luo, who have made many useful comments and suggestions.
I want to thank Professor Glen Vinnicombe for his generous help in the preparation of
Chapters 16 and 17. Special thanks go to Professor Jianqing Mao for providing me the
opportunity to present much of this material in a series of lectures at Beijing University
of Aeronautics and Astronautics in the summer of 1996.
In addition, I would like to thank all those who have helped in many ways in making
this book possible, especially Professor Pramod P. Khargonekar, Professor Andre Tits,
Professor Andrew Packard, Professor Jie Chen, Professor Jakob Stoustrup, Professor
Hans Henrik Niemann, Professor Malcolm Smith, Professor Tryphon Georgiou, Profes-
sor Tongwen Chen, Professor Hitay Ozbay, Professor Gary Balas, Professor Carolyn
Beck, Professor Dennis S. Bernstein, Professor Mohamed Darouach, Dr. Bobby Boden-
heimer, Professor Guoxiang Gu, Dr. Weimin Lu, Dr. John Morris, Dr. Matt Newlin,
Professor Li Qiu, Professor Hector P. Rotstein, Professor Andrew Teel, Professor Ja-
gannathan Ramanujam, Dr. Linda G. Bushnell, Xiang Chen, Greg Salomon, Pablo A.
Parrilo, and many other people.
I would also like to thank the following agencies for supporting my research: National
Science Foundation, Army Research Oce (ARO), Air Force of Scientic Research, and
the Board of Regents in the State of Louisiana.
Finally, I would like to thank my wife, Jing, and my son, Eric, for their generous
support, understanding, and patience during the writing of this book.
Kemin Zhou
PREFACE
ix
Here is how H1 is pronounced in Chinese:
It means \The joy of love is endless."
Contents
Preface
Notation and Symbols
List of Acronyms
1 Introduction
1.1 What Is This Book About? : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
1.2 Highlights of This Book : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
1.3 Notes and References : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
1.4 Problems
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
2 Linear Algebra
Invariant Subspaces
2.1 Linear Subspaces : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
2.2 Eigenvalues and Eigenvectors : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
2.3 Matrix Inversion Formulas : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
2.4
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
2.5 Vector Norms and Matrix Norms : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
2.6 Singular Value Decomposition : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
2.7 Semidenite Matrices
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
2.8 Notes and References : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
2.9 Problems
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
3 Linear Systems
3.1 Descriptions of Linear Dynamical Systems : : : : : : : : : : : : : : : : :
3.2 Controllability and Observability : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
3.3 Observers and Observer-Based Controllers : : : : : : : : : : : : : : : : :
3.4 Operations on Systems : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
3.5 State-Space Realizations for Transfer Matrices
: : : : : : : : : : : : : :
3.6 Multivariable System Poles and Zeros
: : : : : : : : : : : : : : : : : : :
3.7 Notes and References : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
3.8 Problems
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
xi
vii
xv
xvii
1
1
3
9
10
11
11
12
13
15
16
19
23
24
24
27
27
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31
34
35
38
41
42
xii
CONTENTS
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
4 H2 and H1 Spaces
4.1 Hilbert Spaces
4.2 H2 and H1 Spaces : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
4.3 Computing L2 and H2 Norms : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
4.4 Computing L1 and H1 Norms : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
4.5 Notes and References : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
4.6 Problems
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
5 Internal Stability
5.1 Feedback Structure : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
5.2 Well-Posedness of Feedback Loop : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
5.3
Internal Stability : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
5.4 Coprime Factorization over RH1 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
5.5 Notes and References : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
5.6 Problems
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
45
45
47
53
55
61
62
65
65
66
68
71
77
77
6 Performance Specications and Limitations
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
81
81
6.1 Feedback Properties
6.2 Weighted H2 and H1 Performance : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
85
89
6.3 Selection of Weighting Functions : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
94
6.4 Bode’s Gain and Phase Relation : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
98
6.5 Bode’s Sensitivity Integral : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
6.6 Analyticity Constraints
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 100
6.7 Notes and References : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 102
6.8 Problems
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 102
7 Balanced Model Reduction
105
7.1 Lyapunov Equations : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 106
7.2 Balanced Realizations
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 107
7.3 Model Reduction by Balanced Truncation : : : : : : : : : : : : : : : : : 117
7.4 Frequency-Weighted Balanced Model Reduction : : : : : : : : : : : : : : 124
7.5 Notes and References : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 126
7.6 Problems
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 127
8 Uncertainty and Robustness
129
8.1 Model Uncertainty : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 129
8.2 Small Gain Theorem : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 137
8.3 Stability under Unstructured Uncertainties
: : : : : : : : : : : : : : : : 141
8.4 Robust Performance : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 147
8.5 Skewed Specications
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 150
8.6 Classical Control for MIMO Systems : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 154
8.7 Notes and References : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 157
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 158
8.8 Problems
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