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2019年重庆理工大学高等代数考研真题A卷.doc

发布时间：2022-09-15 发布人：admin 分类：说明书 资料大小：0.24M 资料格式：doc 举报 版权申诉
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    2019 年重庆理工大学高等代数考研真题 A 卷 一、填空题（每题 4 分，共 20 分） 1. 设 A 为 n 阶方阵, Ax  0 有非零解, 则 A 必有一个特征值是______. 2. 设 3 维 列 向 量 3 A    3 2    1 1 2 2 , 1 , 2 A     , 3 3 线 性 无 关 , A 是 3 阶 方 阵 , 且 3 |A =_______. A   3 ,则 | 3 4   , 2 2 3 2 3. 已知3 阶方阵 A 的特征值为1, 2 , 2 ，则 A的伴随矩阵 *A 的迹（主对角线元素之和） 为________. 4. 在 3R 中, 若线性变换 T 关于基 1 , 2 , 3 的矩阵为 A 1 2 3   1 0 3    2 1 5       ,则T 关于基 1 , 1 2     , 1 3  的矩阵为________. 2   1 a  a a a a a 1    1 a a a a a  a 1   的秩为 1, 则 a =__________.         5. 设 n 阶方阵 A          二、（15 分） （1）（7 分） 证明： f ( x )  3 x  5 x 1  在有理数域上不可约； （2）（8 分） 求 f ( ) 3 x  x 4  3 5 x  2 x  5 x  2 的全部有理根. 三、（15 分） 设 A  1 2 0 0       0 1  0 0 1 3  1 0 2 1 3 2       ,
    A （1）（7 分） 计算 13  A 23  A 33  的值, 其中 ijA 是| A 43 |A 中元素 ija 的代数余子式； （2）（8 分） 问 A 是否可逆？ 若 A 可逆，求 (5 ) A 1   *1 A 4 ，其中 *A 为 A 的伴随矩阵. 四、（20 分） 设有向量组 ( )A ：  1  3 a   a   3 a   3 ,  2       a 1  a        1 ,     3       2        1 3 a a 及向量 a 2 a 0            , 问 a 为何值时 （1）（6 分） 向量可由向量组 ( )A 线性表示，且表示式唯一； （2）（7 分） 向量可由向量组 ( )A 线性表示，但表示式不唯一； （3）（7 分） 向量不能由向量组 ( )A 线性表示. 五、（20 分） 设非齐次线性方程组 Ax  ( b b  0 ,秩 A r , ) （1）（10 分） 若 Ax b 有一个解 * , 的一个基础解系, 证明： * ,     n r ,     1 n r 线性无关； , , , , , 1 2 2 是其导出组 Ax  0 , （2）（10 分） 若 1 k k x      2 2 1 1 1 k  k k   . 1   2 s    为 Ax b 的解，证明： , s 也 是 Ax b 的 解 ， 其 中 1 ,  s s 2 k , kk , 2 k 为 实 数 , 且 , s 六、（20 分） 已知 A 、B 为 n 阶方阵, 2 阵, A B AB E    , 2A n A ,其中 nE 为 n 阶单位矩 （1）（10 分） 证明： A B 可逆, 并求其逆（用 A 或 B 表示）；
    （2）（10 分） 若 A  1 0 0 3 0 6      0   1    2  , 求矩阵 B . , ( f x x x 3 , 1 2 )  T x Ax  2 x 1  2 2 x 2  2 x 3  2 bx x 1 3 ,且   1,1,1 T 是矩 七、（20 分） 已知二次型 阵 A 的一个特征向量, （1）（6 分） 求b 的值； （2）（7 分） 求正交变换 x Py x , 将二次型 1 f ( , , x x 2 3 )  T x A x 化为标准形； （3）（7 分） 当 Tx x  时, 求 1 x 2 ( f , , x x 2 3 )  T x A x 的最大值. 八、（20 分） 设 A     1 3 0 2    , 2 2K  是数域 K 上所有 2 阶方阵构成的集合, （1）（8 分） 证明： 2 2 W B AB BA B K     , 是 2 2K  的子空间； （2）（12 分） 求W 的一般形式、基和维数.
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