三对角矩阵的特征值的解法 摘要：由三对角线矩阵的一些特点可以推出解三角阵的方法。三对角矩阵的特征值在科学计 算中有不可替代的作用，工程实践中的很多问题在数学上都归结为求矩阵特征值的问题。例 如桥梁、建筑物、机械器件的振动和电磁振荡等问题。 关键词：三对角线矩阵 特征值 在数值计算中，会遇到一种特殊的方程组。它的系数矩阵是三对角线矩阵，即它的非零元 素集中在主对角线及其相邻的两条对角线上。根据其系数矩阵的特点，可以利用高斯消元法 将三对角线矩阵分解后，可求解相应的三对角线方程组。 2. 矩阵特征值与特征向量的概念及性质 2.1 矩阵特征值与特征向量的定义 设 A 是 n 阶方阵，如果存在数和 n 维非零向量 x ，使得 Ax  成立，则称 x 为 A 的特征值， x 为 A 的对应于特征值的特征向量。 2.2 矩阵特征值与特征向量的性质 矩阵特征值与特征向量的性质包括： （1）若 rA的是 i i 重特征值，则 A 其中 s  。 i r i 对应特征值 个线性无关的特征向量， 有 s i i （2）若线性无关的向量 2 1, xx 都是矩阵 A 的对应于特征值 0 的特征向量，则 当 2 1,kk 不全为零时， xk 11  仍是 A 的对应于特征值 0 的特征向量。 xk 22 （3）若 ,  1  , , 2 n是矩阵 A 的互不相同的特征值，其对应的特征向量分别是 , xx 1  ，则这组特征向量线性无关。 , 2 nx , （4）若矩阵  ija  A   nn   1 2  的特征值分别为 , n 1  ，则 , , 2    n  a 11  a 22    a nn ， n  21 A 。 （5）实对称矩阵 A 的特征值都是实数，且对应不同特征值的特征向量正交。 （6）若 i是实对称矩阵 A 的 ir 重特征值，则对应特征值 i恰有 ir 个线性无 关的特征向量。 

（7）设为矩阵 A 的特征值，  xP 为多项式函数，则  P 为矩阵多项式  AP 的特征值。  1 3. 普通矩阵特征值与特征向量的求法 3.1 传统方法 确定矩阵 A 的特征值和特征向量的传统方法可以分为以下几步： （1）求出矩阵 A 特征多项式   的全部特征根；   AE  f （2）把所求得的特征根  ,2,1  ii , n 逐个代入线性方程组  XAEi  0 ， 对于每一个特征值，解方程组  XAEi  0 ，求出一组基础解系，这样，我们 也就求出了对应于每个特征值的全部线性无关的特征向量。  2 3.2 列行互逆变换法 2.2.1 列行互逆变换法的定义 把矩阵的下列三种变换称为列行互逆变换： （1）互换 j i、 两列 c  ，同时互换 i i c j、 两行 r  ； j i r j （2）第i 列乘以非零数  ikck ,同时第i 行乘 11   kk  ir    ； （3）第i 列 k 倍数加到第 j 列 c  ，同时第 j 行 k 倍加到第i 行 kc i i r  。 i i kr 3.3 列初等变换法 2.3.1 列初等变换的步骤 列初等变换法计算特征值与特征向量的步骤是：   C       ，其中  C 为含的下三      Q    AE        E  经过一系列初等变化变成 （1）将      角矩阵，  Q 为 E 经过初等变换得到的矩阵； （2）令  C 主对角线元素之积为零，求出根即为特征值  ,2,1  ii , n ； 

（3）将求出的  ,2,1  ii , n 代入   C       中为      Q      C    i    ，在进行列初等变换，      Q    i 当化为列阶梯形，且当非零列向量个数为时，  Q 中后的 rn  个列向量即为 i对应的特征向量。 4. QR 算法 由代数可知，如果 A 为非奇异矩阵，则 A 可分解为一正交矩阵 Q 与上三角矩阵 R 的乘积，也就是对 A 进行 QR 分解： A  QR 于是得到一个新的矩阵： B  RQ T AQQ 5 流程图 6 程序 7 实践中的应用