2015年云南昆明理工大学数学分析考研真题A卷.doc

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2015 年云南昆明理工大学数学分析考研真题 A 卷一、（10 分）设 { | x x  S }. 为区间(0,1)内的有理数（1）求 S 的上、下确界；（2）用上、下确界的定义验证所得两个结果中的一个. 二、（10 分）叙述函数极限 lim ( ) f x x  的归结原则，并运用它证明 lim cos x  x 不存在. 三、（15 分）设 ( ) f x     2, x ax b  , x x   3, 3, 四、（15 分）求下列极限试确定 ,a b 的值，使 f 在 3 x  处可导. 3 n （1） lim n  n 2 sin( !) n 1  ; （2） lim n     1 2 n  1  1 2 n  2    1 2 n  n ;    （3） lim 0 x  1 tan x x  0 cos 2 . t dt 五、（10 分）（1）设    x y   sin ), ( a t t (1 cos ). t a   求 dy dx ; | t   2 （2）设 u  f ( x y , y z ), 求 .du 六、（ 15 分）设函数 )(xf 在 ],[ ba 上连续，在 ),( ba 内 ( ) x 存在，又连结 f ( , A a f a ( )), ,( ( bfbB )) 两点的直线交曲线 y  )(xf 在 ),( ba 内至少存在一点 , 使得  (f   ) 0. 于点 ( , C c f c 且 ( )), a   试证： c b ,    n  0 n x n 3 cos( n x 2 ). （1）证明 )(xf 在 )2,0( 内一致收敛；（2）求七、（10 分）设 ( ) f x lim ( ). f x 1 x  八、（20 分）设 ( , f x y )      2 ( x  2 y )sin( 1  2 x ), 2 y 0, 2 x  2 y  0, 2 x  2 y  0. 证明：（1） ,( yxf ) 在点 (0,0) 连续；（2） ,( yxf ) 在点 (0,0) 偏导数存在；（3） ,( yxf ) 关于 x 的偏导函数 f x ,( yx ) 在点 (0,0) 不连续.

 九、（10 分）计算曲线积分 ( L x  ) y ds , 其中 L 是以 (0,0), O (1,0), A B (0,1) 为顶点的三角形. 十、（10 分）计算曲面积分 xyzdS , 其中 S 为平面 x  S 十一、（10 分）用高斯公式计算曲面积分 1 y z 在第一卦限中的部分. 其中 S 是锥面 x 2  2 y  2 z  2 y dzdx  2 z dxdy , S 2 x dydz  与平面 h z  所围空间区域 0( z  h ) 的表面，方向取外侧. 十二、（15 分）试用致密性定理证明：若函数 f 在闭区间[ , ]a b 上连续，则 f 在[ , ]a b 上有界.

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