第1页 / 共8页
第2页 / 共8页
第3页 / 共8页
第4页 / 共8页
第5页 / 共8页
第6页 / 共8页
第7页 / 共8页
第8页 / 共8页
数学分析 陈纪修版答案.doc
第一章 集合与映射
习 题 1.1 集合
⒈ 证明由 n 个元素组成的集合T
{
a
1
an
2， ， ，
a
}
有 2 n 个子集。
解 由 k 个元素组成的子集的个数为 k
n
nC ，
0
k
k
nC
)11(
n
n
2
。
⒉ 证明：
(1) 任意无限集必包含一个可列子集；
(2) 设 A 与 B 都是可列集，证明 A B 也是可列集。
证（1）设T 是一个无限集，先取 T
a 1 。由于T 是无限集，必存在 T
a 2 ，
a 。再由T 是无限集，必存在 T
2
a 3 ，
a
1
a ，
3
a
1
a 。这样的过
3
a
2
,
na
,
,
2
， T
S 。
,
aa
1
,
nb
,
程可以无限进行下去，于是得到可列集
S
（2）设
A
,
aa
1
,
2
,
na
,
，
B
, 2
bb
1
,
，则 A B 可表示为
A B
,
baba
2
,
,
2
1
1
,
,
,
n ba
n
,
。
⒊ 指出下列表述中的错误：
(1) { }0 ；
(2) a { ,
a b c ；
, }
(3) { , }
a b { ,
a b c ；
, }
(4) { ,
a b a b
,{ , } }
{ , }
a b 。
解 （1） }0{ 是由元素0 构成的集合，不是空集。
（2） a 是集合{ ,
a b c 的元素，应表述为 a { ,
, }
a b c 。
, }
1
（3）
ba, 是集合{ ,
a b c 的子集，应表述为
, }
ba,
{ ,
a b c 。
, }
（ 4 ）
,{
baba
}},{,
是 由 ba, 和 { , }
a b 为 元 素 构 成 的 集 合 ， 所 以
,{
baba
}},{,
{ , }
a b ，但
,{
baba
}},{,
{ , }
a b 。
⒋ 用集合符号表示下列数集：
(1) 满足 x
x
3
2
0 的实数全体；
(2) 平面上第一象限的点的全体；
(3) 大于 0 并且小于 1 的有理数全体；
(4) 方程
sin
x
cot
x
0
的实数解全体。
解（1）
x
（2）
（3）
x
|),(
yx
x
0
且
y
0
。
2|
x
3
。
0|
x
且1
Qx
。
（4）
|
xx
k
,
2
Zk
。
⒌ 证明下列集合等式：
(1) A
B D
(
)
(
A B
A D
)
(
)
；
(2) (
A B
)
C
C
A
C
B
。
证（1）设
Ax
(
DB
)
，则 Ax ，并且或者 Bx ，或者 Dx 。于是
或者
BAx
，或者
DAx
，即
x
BA
(
)
(
DA
)
，因此
A
(
DB
)
(
BA
)
(
DA
)
；
)
(
DA
)
，则或者
BAx
，或者
DAx
。于是 Ax ，
设
x
BA
(
并且或者 Bx ，或者 Dx ，即
Ax
(
DB
)
，因此
A
(
DB
)
(
BA
)
(
DA
)
。
2
（2）设
x
(
CBA
)
，则
BAx
，即 Ax 且 Bx ，于是
Ax
C
C
B
，因
此
(
BA
C
)
C
A
C
B
；
设
Ax
C
C
B
，则 Ax 且 Bx ，即
BAx
，于是
x
(
CBA
)
，因此
(
BA
C
)
C
A
C
B
。
⒍ 举例说明集合运算不满足消去律：
(1) A B
A C
≠> B C ；
(2) A B
A C
≠> B C 。
其中符号“ ≠> ”表示左边的命题不能推出右边的命题。
解 （1）设
A
cba
,
,
，
,
dcb
B
,
，
,
dc
C
，则 A B
A C
，但 CB 。
（2）设
A
cba
,
,
，
,
edc
B
,
，
,
dc
C
，则 A B
A C
，但 CB 。
⒎ 下述命题是否正确?不正确的话，请改正。
(1)
(2)
x
BA
x 并且
A
x ；
B
x
BA
x 或者
A
x 。
B
解（1）不正确。
x
BA
x 或者
A
x 。
B
（2）不正确。
x
BA
x 并且
A
x 。
B
3
习 题 1.2 映射与函数
1. 设
},
S
,{
,T
哪些是双射?
{ ,
a b c
, } ，问有多少种可能的映射 f ：S
T ? 其中
解 有 27
33 种可能的映射，其中有 6!3 种是双射，它们是
f
:
a
b
c
，
f
:
a
c
b
，
f
:
b
c
a
，
f
:
b
a
c
，
f
:
c
a
b
，
f
:
c
b
a
。
2. (1) 建立区间[
a b 与[ ,
,
0 1 之间的一一对应；
]
]
(2) 建立区间 ( ,
0 1 与 (
)
之间的一一对应。
)
,
解（1）
f
],[:
ba
x
y
；
（2）
f
)1,0(:
(
]1,0[
ax
ab
,
)
1
2
x
tan(
x
)
cot(
x
)
。
3. 将下列函数 f 和 g 构成复合函数，并指出定义域与值域：
(1) y
( )
f u
loga u , u
( )
g x
x 2
3 ;
(2) y
( )
f u
arcsin u , u
( )
g x
e x ；
(3) y
( )
f u
u 2
(4) y
( )
f u
u ,u
解（1）
y
log
a
(
x
2
)3
1 ,u
( )
g x
x
x
sec x ；
1
1
，定义域：
,
( )
g x
。
,3
，值域：
(
；
)
,
3
（2）
y
arcsin
3
x
，定义域：
0, ，值域：
2
,0 ；
（3）
y
tan
x
，定义域：
Zk
k
,
2
k
2
，值域：
,0 ；
4
（4）
y
x
x
1
1
，定义域：
1,
,1
，值域：
1,0
,1
。
4. 指出下列函数是由哪些基本初等函数复合而成的：
(1) y
arcsin
1
2
x
;
1
(2)
y
解（1）
y
arcsin
u
，
u
1 ，
v
v
x
12
；
3
1 log (
3
a
2
x
1)
。
（2）
y ，
3
1 u
3
u
log
a
v
，
v
x
12
。
5. 求下列函数的自然定义域与值域：
(1)
y
log
a sin
x
（ 1a ）；
(2) y
cos ；
x
(3) y
4 3
(4) y
x
x
1 。
x
解（1）定义域：
2
Zk
2
x
2 ；
4
k
2(,
k
)1
，值域：
0, ；
（2）定义域：
Zk
2
k
2
2,
k
2
，值域：
1,0 ；
（3）定义域：
5,0 ；
1,4 ，值域：
2
（4）定义域：
0,
,0
，值域：
233
2
,
。
6. 问下列函数 f 和 g 是否等同？
(1)
(2)
(3)
f x( )
log (
a x ， g x( ) 2loga x ；
)
2
f x( )
2
sec
x
2
tan
x
, g x( ) 1；
f x( ) sin
2
x
2
cos
x
, g x( ) 1。
解 （1）函数 f 和 g 不等同；
5
（2）函数 f 和 g 不等同；
（3）函数 f 和 g 等同。
7. (1) 设 f x
(
)
3
3
2
x
2
3
x
5
x
1
,求 f x( ) ；
(2) 设
f
x
1
3
3
x
x
1
1
x
,求 f x( ) 。
解（1）令
x
3 ，则
t
x
3 t
，代入等式，得到
f
)(
t
(2
t
)3
3
(3
t
)3
2
(5
t
1)3
3
2
t
21
t
2
77
t
97
，
97
；
，代入等式，得到
x
77
t
1
t
2
t ，所以
4
t
1
1
)(
xf
2
4
x
x
1
1
。
所以
（2）令
tf
t
8. 设 f x( )
解（1）
3
2
t
x
x
1
1
1
21
x
，则
2
)(
xf
x
1
x
3
t
t
3
t
1
1
1 x ,求 f
f ， f
1
x
)(
xf
2
x
2
x
3
2
x
2
x
)(
xf
3
x
,
)(
xf
f
3
5
；
；
f
f
f
)
。
f
f
f
f , f
f
f f 的函数表达式。
9. 证明：定义于 (
上的任何函数都可以表示成一个偶函数与一
个奇函数之和。
)
)(
xf
x
(
f
证 显然
2
是偶函数，
(
x
)
是奇函数，而
)(
xf
f
2
)(
xf
2
10. 写 出折 线 ABCD 所 表示 的 函 数关 系 y
)(
xf
2
)(
xf
x
)
(
f
f
(
x
)
。
( ) 的 分段 表 示 ，其 中
f x
A ( , )0 3 ， B
( ,
1 1 ，C ( , )3 2 ， D ( , )4 0 。
)
6
解
y
3
2
y
O
4
x
x
2
x
3
5
2
8
x
x
x
1,0
3,1
4,3
。
( ,
1 1
)
x
2
x
图 1.2.8
图 1.2.9
( ) , x [ ,
f x
0 2
]
11. 设 f x( ) 表示图1.2.8中阴影部分面积，写出函数 y
的表达式。
解
y
1
2
2
x
x
0,1
2
x
2
x
1
x
1,2
1
2
。
12. 一玻璃杯装有汞、水、煤油三种液体，比重分别为13.6，1，0.8
克／厘米３(图1.2.9)，上层煤油液体高度为5厘米，中层水液体高度
为4厘米，下层汞液体高度为2厘米，试求压强 P 与液体深度 x 之间
的函数关系。
解
)(
xP
4.78
x
98
98
x
1332
8.
x
11211
2.
x
x
x
5,0
9,5
11,9
。
13. 试求定义在[ ,
0 1 上的函数，它是[ ,
]
0 1 与[ ,
0 1 之间的一一对应，
]
]
7
但在[ ,
0 1 的任一子区间上都不是单调函数。
]
解
)(
xf
x
1
x
x
为有理数
x
为无理数
。
8
相关推荐
2023年江西萍乡中考道德与法治真题及答案.doc
2012年重庆南川中考生物真题及答案.doc
2013年江西师范大学地理学综合及文艺理论基础考研真题.doc
2020年四川甘孜小升初语文真题及答案I卷.doc
2020年注册岩土工程师专业基础考试真题及答案.doc
2023-2024学年福建省厦门市九年级上学期数学月考试题及答案.doc
2021-2022学年辽宁省沈阳市大东区九年级上学期语文期末试题及答案.doc
2022-2023学年北京东城区初三第一学期物理期末试卷及答案.doc
2018上半年江西教师资格初中地理学科知识与教学能力真题及答案.doc
2012年河北国家公务员申论考试真题及答案-省级.doc
2020-2021学年江苏省扬州市江都区邵樊片九年级上学期数学第一次质量检测试题及答案.doc
2022下半年黑龙江教师资格证中学综合素质真题及答案.doc
