1,2,3,4,5 中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是
8
15 (B)
1
8 (C)
1
15 (D)
1
30
(A)
(6)若 tanθ=
1
3 ,则 cos2θ=
4
5
(A)
(7)已知
a
(A)b
为 C上一点,且 PF⊥x轴.过点 A的直线 l与线段 PF交于点 M,与 y轴交于点 E.若直线 BM经过 OE的中点,
则 C的离心率为
(A)
1
3
(B)
1
2
(C)
2
3
(D)
3
4
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)
题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分
第 II卷
(13)设 x,y满足约束条件
2
x
x
x
1 0,
y
2
1 0,
y
1,
则 z=2x+3y–5 的最小值为______.
(14)函数 y=sin x–cosx的图像可由函数 y=2sin x的图像至少向右平移______个单位长度得到.
(15)已知直线 l:
x
3
y
6 0
与圆 x2+y2=12 交于 A、B 两点,过 A、B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 C、
D 两点,则|CD|=
.
(16)已知 f(x)为偶函数,当 0
x 时,
( )
f x
e
1
x
,则曲线 y= f(x)在点(1,2)处的切线方程式
x
_____________________________.
三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分 12 分)
已知各项都为正数的数列 na 满足 1 1
a , 2
a
n
(2
a
n
1
1)
a
n
2
a
n
1
0
.
(I)求 2
,a a ;
3
(II)求 na 的通项公式.
(18)(本小题满分 12 分)
下图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图.
注:年份代码 1–7 分别对应年份 2008–2014.
(Ⅰ)由折线图看出,可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系,请用相关系数加以说明;
(Ⅱ)建立 y 关于 t 的回归方程(系数精确到 0.01),预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量.
附注:
参考数据:
7
y
i
i
1
9.32
,
7
t y
i
i
i
1
40.17
,
7
i
1
(
y
i
2
y
)
0.55
,≈2.646.
n
i
1
(
t
i
t
)(
y
i
y
)
n
(
t
i
t
2
)
n
i
1
,
(y
i
2
y)
参考公式:
r
回归方程 y
1
i
a bt
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
n
i
1
b
(
t
i
t
)(
y
i
y
)
n
i
1
(
t
i
t
2
)
, =
a y bt
.
(19)(本小题满分 12 分)
如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥地面 ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M 为线段 AD 上一点,AM=2MD,
N 为 PC 的中点.
(I)证明 MN∥平面 PAB;
(II)求四面体 N-BCM 的体积.
(20)(本小题满分 12 分)
已知抛物线 C:y2=2x的焦点为 F,平行于 x轴的两条直线 l1,l2 分别交 C于 A,B两点,交 C的准线于
P,Q两点.
(Ⅰ)若 F在线段 AB上,R是 PQ的中点,证明 AR∥FQ;
(Ⅱ)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求 AB中点的轨迹方程.
(21)(本小题满分 12 分)
设函数 ( )
f x
ln
x
1
.
x
(I)讨论 ( )
f x 的单调性;
(II)证明当 (1,
x 时,
)
1
1
x
ln
x
;
x
(III)设 1c ,证明当 (0,1)
x
时,1 (
c
1)
x
x
c
.
请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号
(22)(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲
如图,⊙O 中 的中点为 P,弦 PC,PD分别交 AB于 E,F两点。
(Ⅰ)若∠PFB=2∠PCD,求∠PCD的大小;
(Ⅱ)若 EC的垂直平分线与 FD的垂直平分线交于点 G,证明 OG⊥CD。
(23)(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程
在直线坐标系 xoy中,曲线 C1 的参数方程为
( 为参数)。以坐标原点为极点,x轴正半轴为
极轴,建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为ρsin(
)=
.
(I)写出 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程;
(II)设点 P在 C1 上,点 Q在 C2 上,求∣PQ∣的最小值及此时 P 的直角坐标.
(24)(本小题满分 10 分),选修 4—5:不等式选讲
已知函数 f(x)=∣2x-a∣+a.
(I)当 a=2 时,求不等式 f(x)≤6 的解集;
(II)设函数 g(x)=∣2x-1∣.当 x∈R 时,f(x)+g(x)≥3,求 a的取值范围。
绝密★启封并使用完毕前
试题类型:新课标Ⅲ
2016 年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学正式答案
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1)C
(2)D (3)A (4)D (5)C
(6)D
(7)A
(8)B (9)D (10)B (11)B (12)A
第 II 卷
二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分。
(13) 10
(14)
3
(15)4
(16)
y
2
x
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
解:(Ⅰ)由题意得
(17)(本小题满分 12 分)
1
2
(Ⅱ)由
a
2
2(
a
a
n
1
2
n
1
4
2
,
a
3
.
.........5 分
)1
a
n
a
n
1
0
得
2
a
(
a
n
)1
(
aa
n
n
)1
.
n
1
因为 na 的各项都为正数,所以
a
n
a
1
n
1
2
.
故 na 是首项为1,公比为
1
2
(18)(本小题满分 12 分)
学.科网的等比数列,因此
na
1
n
12
.
......12 分
解:(Ⅰ)由折线图中数据和附注中参考数据得
4t
,
7
(
t
i
1
i
t
)
2
28
,
7
y
i
(
1
i
y
)
2
55.0
,
7
i
1
(
t
i
)(
yt
i
y
)
7
i
1
yt
i
i
t
7
i
1
y
i
17.40
32.94
89.2
,
r
89.2
646.22
55.0
99.0
.
........4 分
因为 y 与t 的相关系数近似为 0.99,说明 y 与t 的线性相关程度相当高,从而可以用线性回归模型拟
合 y 与t 的关系.
............6 分
(Ⅱ)由
y
32.9
7
.1
331
及(Ⅰ)得
ˆ
b
ˆ
tby
ˆ
a
331.1
103.0
92.04
.
7
i
1
(
t
i
)(
yt
i
y
)
7
i
1
(
t
i
2
t
)
89.2
28
.0
103
,
所以, y 学.科网关于 t 的回归方程为:
ˆ
y
92.0
10.0
t
.
..........10 分
将 2016 年对应的 9t 代入回归方程得:
ˆ
y
92.0
10.0
82.19
.
所以预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量将约 1.82 亿吨.
.........12 分
(19)(本小题满分 12 分)
解:(Ⅰ)由已知得
AD
2
,学.科网取 BP 的中点 T ,连接
AT , ,由 N 为 PC 中点知
TN
2
3
AM
1
2
TN // ,
BC
TN
BC
2
.
......3 分
又
AD// ,故TN 平行且等于 AM ,四边形 AMNT 为平行四边形,于是
BC
MN //
AT
.
因为
AT 平面 PAB ,
MN 平面 PAB ,所以
//MN 平面 PAB .
........6 分
(Ⅱ)因为 PA 平面 ABCD , N 为 PC 的中点,
所以 N 到平面 ABCD 的距离为 PA
1
2
.
....9 分
取 BC 的中点 E ,连结 AE .由
AB
AC
3
得
,
AE
2
AB
2
BE
5
.
由
AM ∥ 得 M 到 BC 的距离为 5 ,故
BC
S
4
5
52
.
BCM
AE
BC
1
2
PA
2
所以四面体
N
BCM
的体积
V
N
BCM
1
3
S
(20)(本小题满分 12 分)
BCM
54
3
.
.....12 分
解:(Ⅰ)由题设
1(F
2
)0,
.设
l
1
:
y
,
la
2
:
by
,则
0ab ,且
2
aA
(
2
),0,
PbbB
(
),
,
2
2
1(
2
,
),
Qa
1(
2
,
),
Rb
1(
2
,
ba
2
)
.
记过 BA, 学科&网两点的直线为l ,则l 的方程为
2
x
(
)
yba
ab
0
.
.....3 分
(Ⅰ)由于 F 在线段 AB 上,故
1
ab
0
.
记 AR 的斜率为 1k , FQ 的斜率为 2k ,则
k
1
所以
ba
ba
2
2
1
a
ab
a
AR ∥ .
FQ
1
a
ab
a
......5 分
b
k
2
.
(Ⅱ)设l 与 x 轴的交点为
( 1xD
)0,
,
则
S
ABF
1
2
FDab
1
2
xab
1
1
2
,
S
PQF
ba
2
.
由题设可得
1
2
xab
1
1
2
ba
2
,所以
1 x
0
(舍去),
11 x
.
设满足条件的 AB 的中点为
,(
yxE
)
.
当 AB 与 x 轴不垂直时,由
k
AB
可得
k
DE
而
ba
2
y
,学科&网所以
2
y
x
(1
x
y
1
x
(
x
)1
.
2
ba
)1
.
当 AB 与 x 轴垂直时, E 与 D 重合.所以,所求轨迹方程为
2
y
x
1
.
....12 分
(21)(本小题满分 12 分)
解:(Ⅰ)由题设, ( )
f x 的定义域为 (0,
) , '
( )
f x
,令 '( )
f x ,解得 1x .
0
1
1
x
f x , ( )
f x 单调递增;当 1x 时, '( ) 0
0
.
f x , ( )
f
f x 单调递减. ………4 分
1x 时, '( )
当 0
0
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, ( )
所以当 1x 时, ln
x
故当 (1,
x 时, ln
)
f x 在 1x 处取得最大值,最大值为 (1)
1
x .
x , 1
ln
x
1)
1
1
x
ln
x
x
,则 '( )
1
x c
g x
,即
1
1
1
x
x
c
x
. ………………7 分
(Ⅲ)由题设 1c ,设 ( ) 1 (
g x
c
c
lnx
c
,令 '( ) 0
g x ,
ln
.
1
c
ln
c
ln
c
g x , ( )g x 单调递增;当
x 时, '( ) 0
0
x
解得 0
当
x
分
x
x 时, '( ) 0
g x , ( )g x 单调递减. ……………9
0