2010年湖北高考理科数学真题及答案.doc-资料库

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2010 年湖北高考理科数学真题及答案 2010 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷) 数学(理工农医类) 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。 1．若 i 为虚数单位，图中复平面内点 Z 表示复数 Z，则表示复数 z i 1 的点是 A．E B.F C.G D.H 2．设集合 A   { , x y  | 2 x 4  2 y 16 A B 的子集的个数是  ， 1} B  {( , x y ) | y  ，则 3 }x A．4 B．3 C．2 D．1 3.在 ABC 中，a=15,b=10,A=60°，则 cos B = A － 2 2 3 B 2 2 3 C － 6 3 D 6 3 4.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件 A,“骰子向上的点数是 3”为事件 B,则事件 A，B 中至少有一件发生的概率是 A 5 12 B 1 2 5．已知 ABC  和点 M 满足立，则 m= D C 7 12    MA MB MC 3 4  +  0   .若存在实数 m 使得 AB AC    AMm 成 A．2 B．3 C．4 D．5 6．将参加夏令营的 600 名学生编号为：001，002，……600，采用系统抽样方法抽取一个容量为 50 的样本，且随机抽得的号码为 003．这 600 名学生分住在三个营区，从 001 到 300 在第Ⅰ营区，从 301 到 495 住在第Ⅱ营区，从 496 到 600 在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人

数一次为 A．26, 16, 8 C．25，16，9 B．25，17，8 D．24，17，9 7、如图，在半径为 r 的园内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设 ns 为前 n 个圆的面积之和，则 lim n ns = A． 2 2r B. 8 3 2r C.4 2r D.6 2r 8、现安排甲、乙、丙、丁、戌 5 名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 A．152 B.126 C.90 D.54 2  有公共点，则 b 的取值范围是 x 9.若直线 y=x+b 与曲线 y 3   4 x A.    1,1 2 2    B. 1 2 2,1 2 2       C. 1 2 2,3      D. 1  2,3   10.记实数 1x ， 2x ，…… nx 中的最大数为 max , x x 1 2 ,...... n x ，最小数为 min  , x x 1 2 ,...... n x 。  已知 ABC 的三边长位 a,b,c （ a b c   ），定义它的亲倾斜度为 l  max    a b c b c a , , .min       a b c b c a , , ,    则“l =1”是“  ABC 为等边三角形”的 A.必要而不充分的条件 B.充分而不必要的条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。请将答案填在答题卡对应题号的位

置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写。填错位置，书写不清，模凌两可均不得分。 11、在（x+ 4 3y ） 20 的展开式中，系数为有理数的项共有_______项。 12.已知 2  z x  ，式中变量 x ， y 满足约束条件 y , y x     y x    2, x 1, ，则 z 的最大值为___________. 13.圆柱形容器内部盛有高度为 8cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是 cm。 14．某射手射击所得环数  的分布列如下：  P 7 x 8 0.1 9 0.3 10 y 已知  的期望 E  =8.9，则 y 的值为 . 15.设 a>0,b>0,称 2ab a b 为 a，b 的调和平均数。如图，C 为线段 AB 上的点，且 AC=a，CB=b，O 为 AB 中点，以 AB 为直径做半圆。过点 C 作 AB 的垂线交半圆于 D。连结 OD，AD，BD。过点 C 作 OD 的垂线，垂足为 E。则图中线段 OD 的长度是 a，b 的算术平均数，线段的长度是 a,b 的几何平均数，线段的长度是 a,b 的调和平均数。三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．（本小题满分 12 分）  3 已知函数 f(x)= cos(  )cos( x  3  ), ( ) x g x  1 2 sin 2 x  1 4 （Ⅰ）求函数 f(x)的最小正周期；

（Ⅱ）求函数 h（x）=f(x)－g(x)的最大值，并求使 h(x)取得最大值的 x 的集合。 17．（本小题满分 12 分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元。该建筑物每年的能源消耗费用 C（单位：万元）与隔热层厚度 x（单位：cm）满足关系：C （x） = k x  3 5 (0   x 10), 若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元。设 f（x）为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和。（Ⅰ）求 k 的值及 f(x)的表达式。（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小，并求最小值。 18． (本小题满分 12 分) 如图，在四面体 ABOC 中, OC OA OC OB AOB    , ,  120 。, 且 OA OB OC    1 （Ⅰ）设为 P 为 AC 的中点，证明：在 AB 上存在一点Q ，使 PQ OA ，并计算 AB AQ 的值；（Ⅱ）求二面角O AC B  的平面角的余弦值。 

19(本小题满分 12 分) 已知一条曲线 C 在 y 轴右边，C 上每一点到点 F（1,0）的距离减去它到 y 轴距离的差都是 1. (Ⅰ)求曲线 C 的方程；（Ⅱ）是否存在正数 m，对于过点 M（m，0）且与曲线 C 有两个交点 A,B 的任一直线，都   FA FB 有  0 ？若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由。 20.( 13 ) 本小题满分分 a 已知数列满足：   a n  1 1 2 3 （1+ ） 2（1+ ）， n+1 a n ，  a 1 a  n 1 a  n+1 a a n  0( n  1), n+1 数列满足：  b n  n a   2 n 1  2 b a n  （ 1）. n n     b a  （）求数列，的通项公式； n   . b  （）证明：数列中的任意三项不可能成等差数列 21. （本小题满分14分） b x ax 已知函数（）= + f x ,f  c a n 用表示出，； a  ( )  （）若（）在[1，+ ）上恒成立，求的取值范围； f x （ >0）的图象在点（1 （1））处的切线方程为 = -1. y x b  c lnx 1 2 1 3  1 n a n 2 n （ +1）（Ⅲ） 1 证明：       ln n （ +1）+ （ 1）  n

2010 年高考试题——数学理（湖北卷）答案与解析 1．【答案】D 【解析】观察图形可知 3   ,则 z i z  i 1  3 1   i i   2 i ，即对应点 H（2，－1），故 D 正确. 2．【答案】A 【解析】画出椭圆 2 x 4 2 y 16  和指数函数 3x y  图象，可知其有两个不同交点，记为 1 A1、A2，则 A B 的子集应为    ,  , A 1 A 2   , A A 1 2 ,  共四种，故选 A. 3．【答案】D 【解析】根据正弦定理 a sin A  b sin B 可得 15 sin 60  10 sin B 解得 sin B  ，又因为 b 3 3 a ，则 B A ，故 B 为锐角，所以 cos B  1 sin  2 B  ，故 D 正确. 6 3 4．【答案】C 【解析】用间接法考虑，事件 A 、 B 一个都不发生的概率为 ( P AB )  ( ( P A P B )  ) 则所求概率 1   ( P AB ) 4 C 5 1 C 6  5 12 1   2 7 12  ，故 C 正确。 5．【答案】B 【解析】由题目条件可知，M 为 ABC 的重心，连接 AM 并延长交 BC 于 D ，则  AD 2 3   AM  ①，因为 AD 为中线  即 2AD mAM ②, 联立①②可得   AB AC    2 AD mAM   ， 3m  ，故 B 正确。 6．【答案】B 【解析】依题意可知，在随机抽样中，首次抽到 003 号，以后每隔 12 个号抽到一个人，则分别是 003、015、027、039 构成以 3 为首项，12 为公差的等差数列，

故可分别求出在 001 到 300 中有 25 人，在 301 至 495 号中共有 17 人，则 496 到 600 中有 8 人，所以 B 正确。 7．【答案】C 【解析】依题意分析可知，图形中内切圆半径分别为： r,r  cos30 ,( r   cos30 )cos30 ,( r    cos30 ,cos30 )cos30 ,     即，，，，则面积依次为： 2 r r  r   r r r 2   ，所以 r 3 2 3 4 3 3 8 limS n  n  lim( r  n  2  3 4 2 r     ) r  2  故 C 正确. 2 2 r  27 3 ，，， 64 4 27 64 9 16 3 9 4 16    lim(1 n     ) 2 r   1  1 3 4  2 4 r  8．【答案】B 【解析】分类讨论：若有 2 人从事司机工作，则方案有 2 C 3 3 A 3  ；若有 1 人从事司机 18 工作，则方案有 1 C C 3  2 4  3 A 3  种，所以共有 18+108=126 种，故 B 正确 108 9．【答案】C 【解析】曲线方程可化简为 ( x  2 2)  ( y  2 3)  4(1   ，即表示圆心为（2，3）半径为 3) y 2 的半圆，依据数形结合，当直线 y   与此半圆相切时须满足圆心（2，3） x b 到直线 y=x+b 距离等于 2，解得 1 2 2   b  或 1 2 2 b ，因为是下半圆故可得 b   1 2 2 （舍），当直线过（0，3）时，解得 b=3,故1 2 2  确. 10.【答案】A   所以 C 正 3, b 【解析】若△ABC 为等边三角形时，即 a=b=c，则 max    若△ABC 为等腰三角形，如 a=2,b=2,c=3 时， a b c b c a , ,    1 min      a b c b c a , , 则 l=1；   

则 max    a b c b c a , ,     3 2 ,min    a b c b c a , ,     2 3 ，此时 l=1 仍成立但△ABC 不为等边三角形,所以 A 正确. 11.【答案】6 【解析】二项式展开式的通项公式为 rT   1 r C x 20 20  r ( 3 ) y 4 r  C r 20 ( 3) 4 r x 20  r r y (0   要 20) r 使系数为有理数，则 r 必为 4 的倍数，所以 r 可为 0.、4、8、12、16、20 共 6 种，故系数为有理数的项共有 6 项. 12.【答案】5 【解析】依题意，画出可行域（如图示），则对于目标函数 y=2x-z，当直线经过 A（2，－1）时， z 取到最大值， max Z 5  . 13.【答案】4 【解析】设球半径为 r，则由 3V 球  V 水  V 柱可得 3  4 3 14.【答案】0.4 3 r    r 2   8 r  2  6 r ,解得 r=4. 【解析】由表格可知： 0.1 0.3   x   y 9, 7 x   8 0.1 9 0.3 10      y 8.9 联合解得 0.4 y  . 15.【答案】CD DE 【解析】在 Rt△ADB 中 DC 为高，则由射影定理可得 2CD  AC CB  ，故 CD  ab ，即 CD 长度为 a,b 的几何平均数，将 OC= a  a b  2  a b  2 , CD  ab OD ,  代入 OD CE OC CD  可得   CE  a b a b   ab 故 OE  2 OC  CE 2  ) ( a b  2( a b  2 ) a b  2 ，所以 ED=OD-OE= 2ab a b ，故 DE 的长度为 a,b 的调和平均数. 16. 本小题主要考察三角函数的基本公式、周期和最值等基础知识，同事考察基本运算能力。（满分 12 分）解：（Ⅰ） ( ) f x  cos(  3  x )cos(  3  x )  1 ( cos 2 x  3 2 sin )( cos x 1 2 x  3 2 sin ) x

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