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2001浙江考研数学一真题及答案.doc
2001 浙江考研数学一真题及答案
一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中
横线上.)
(1)设
y
x
(
e C
1
sin
x C
cos )
x
,C C 为任意常数）为某二阶常系
( 1
2
2
数线性齐次微分方程の通解,则该方程为_____________.
(2)设
r
2
x
2
y
2
z
,则 div(gradr)
)2,2,1(
=_____________.
(3) 交 换 二 次 积 分 の 积 分 次 序 :
0
1
dy
1
y
2
,(
yxf
)
dx
＝
_____________.
(4) 设 矩 阵 A 满 足 2
A
A
4
E
0
, 其 中 E 为 单 位 矩 阵 , 则
(
)
A E
1
=_____________.
(5) 设 随 机 变 量 X の 方 差 是 2 , 则 根 据 切 比 雪 夫 不 等 式 有 估 计
}2
{
XEXP
(
)
y
_____________.
二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3
分,满分 15 分.)
(1) 设 函 数
)(xf
在 定 义 域 内 可
导,
y
)(xf
の图形如右图所示,
则
y
f
)(x
の图形为
O
x
(2)设
,(
yxf
)
在点 (0,0) 附近有定义,且
f
x
)0,0(
,3
f
y
1)0,0(
,则
(A)
zd
|
(0,0)
3
dx dy
.
(B) 曲面
z
,(
yxf
)
在 (0,0,
f
(0,0))
处の法向量为{3,1,1}.
(C) 曲线
(D) 曲线
z
z
)
y
,(
yxf
0
)
y
,(
yxf
0
在 (0,0,
f
(0,0))
处の切向量为{1,0,3}.
在 (0,0,
f
(0,0))
处の切向量为{3,0,1}.
(3)设
f
)0(
0
,则 )(xf 在 x =0 处可导の充要条件为
(A)
(C)
1
lim
2
h
0
h
1
lim
2
h
0
h
f
(1 cosh)
存在.
(
f h
sinh)
存在.
(B)
(D)
f
1
lim
h
0
h
1
lim [
h
0
h
在.
(1
存在.
)h
e
f
(2 )
h
( )]
f h
存
(4)设
A
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
,
B
4 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
,
则 A 与 B
(A) 合同且相似.
(C) 不合同但相似.
(B) 合同但不相似.
(D) 不合同且不相似.
(5)将一枚硬币重复掷 n 次,以 X 和 Y 分别表示正面向上和反面向上の
次数, 则 X 和 Y の相关系数等于
(A)-1.
(B) 0.
(C)
1
2
.
(D) 1.
三、(本题满分 6 分)
求
x
e
arctan
2
x
e
dx
.
四、(本题满分 6 分)
设 函 数
z
,(
yxf
)
在 点 (1,1) 处 可 微 , 且
f
(1,1) 1
,
( , ))
f x x .求
|
(1,1)
f
x
d
dx
3
|
(1,1)
3
, ( )
x
( ,
f x
2
,
f
y
)(
xx
1
.
五、(本题满分 8 分)
设
)(xf
=
2
1
x
x
arctan ,
x
1,
x
x
0,
0,
将
)(xf 展开成 x の幂级数,并求级
数
n
)1(
241
n
1
n
の和.
六、(本题满分 7 分)
计算
I
L
2
(
y
2
z
)
dx
2(
z
2
2
x
)
dy
2
3(
x
2
y
)
dz
,其中 L 是平
面
x
2
y
z
与柱面
x
y
1
の交线,从 Z 轴正向看去, L 为逆时针
方向.
七、(本题满分 7 分)
设 )(xf 在 ( 1,1) 内具有二阶连续导数且
f
x
)(
0
,试证:
(1) 对 于 ( 1,1)
内 の 任 一
x
0
, 存 在 惟 一 の
)( x
)1,0(
, 使
)(xf
=
)0(f
+
fx
))((
xx
成立;
(2)
lim ( )
x
x
0
1
.
2
八、(本题满分 8 分)
设有一高度为 ( )h t ( t 为时间)の雪堆在融化过程,其侧面满足方程
z
)(
th
2
y
)
(2
x
2
)(
th
(设长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积
减少の速率与侧面积成正比(比例系数为 0.9),问高度为 130(厘米)の雪堆
全部融化需多少小时?
九、(本题满分 6 分)
设
s
,
1
,
,
2
为 线 性 方 程 组
Ax の 一 个 基 础 解
0
系, 1
2
t
1 1
t
2
3,
, 2
t
1
t
2
2
,
1
t
1
t
2
s
s
, 其 中
t
1,t
2
为 实 常 数 . 试 问
t
1,t
2
满 足 什 么 条 件
时,
,
s
1 也为
,
,
2
Ax の一个基础解系.
0
十、(本题满分 8 分)
已知 3 阶矩阵 A 与三维向量 x ,使得向量组
足
3
xA
3
Ax
2
2
xA
.
,
x Ax A x 线性无关,且满
,
2
(1)记 P =（
x
,
2
xAAx
,
）,求 3 阶矩阵 B ,使
A
PBP
1
;
(2)计算行列式
EA
.
十一、(本题满分 7 分)
设某班车起点站上客人数 X 服从参数为(
0 )の泊松分布,每位
1p ),且中途下车与否相互独立.以Y
乘客在中途下车の概率为 p ( 0
表示在中途下车の人数,求:
(1)在发车时有 n 个乘客の条件下,中途有 m 人下车の概率;
(2)二维随机变量 (
)X Y の概率分布.
,
十二、(本题满分 7 分)
设总体 X 服从正态分布
N (
(
)
,
2
0 ),从该总体中抽取简单随
机样本 1
,X X , ,
2
2nX (
n ),其样本均值为
2
X
1
2
n
2
n
i
1
iX
,求统计量
Y
n
i
1
(
X
i
X
in
2)2
X
の数学期望 ( )E Y .
一、填空题
参考答案
(1)【分析】 由通解の形式可知特征方程の两个根是 1
2,
r r
1
,从而得
i
知特征方程为
.
(
r
r
1
)(
r
r
2
)
2
r
(
r
1
)
r r
2
r r
1 2
2
r
2
r
2 0
由此,所求微分方程为 ''
y
'2
y
2
y
0
.
(2)【分析】 先求 gradr.
gradr=
r
x
,
r
y
,
r
z
x y z
,
,
r r
r
.
再求
divgradr=
x
(
x r
)
y
(
y r
)
z
(
z r
)
=
(
1
r
2
3
x
r
)
(
1
r
2
3
y
r
)
(
1
r
2
3
z
r
)
3
r
2
x
2
y
3
r
2
z
2
r
.
于是
divgradr| (1, 2,2)
=
2
r
|
(1, 2,2)
.
2
3
(3)【分析】 这个二次积分不是二重积分の累次积分,因为 1
时
0y
1
y .由此看出二次积分
2
0
1
dy
2
1
( ,
f x y dx
)
y
是二重积分の一个累次
积分,它与原式只差一个符号.先把此累次积分表为
0
1
dy
2
1
( ,
f x y dx
)
y
D
( ,
f x y dxdy
)
.
由累次积分の内外层积分限可确定积分区域 D :
1
y
0,1
2
.
y
x
见图.现可交换积分次序
原
0
1
dy
1
2
( ,
f x y dx
)
y
2
1
dx
0
1
( ,
f x y dy
)
x
2
1
dx
0
1
x
式
( ,
f x y dy
)
.
=
(4)【分析】 矩阵 A の元素没有给出,因此用伴随矩阵、用初等行变换求
逆の路均堵塞.应当考虑用定义法.
因为
(
A E A
)(
2 ) 2
E
E A
2
A
4
E
,
0
故
(
A E A
)(
2 )
E
2
E
,即
(
A E
)
A
E
2
2
E
.
按定义知
(
A E
)
1
1
2
(
A
2 )
E
.
(5)【分析】 根据切比雪夫不等式
{
P X E X
(
)
( )
} D x
2
,
{
P X E X
(
)
2}
( )
D x
2
2
1
2
.
于是
二、选择题
(1)【分析】 当 0
x 时, ( )
f x 单调增
f x
'( ) 0
,(A),(C)不对;
当 0
x 时, ( )
f x :增——减——增
'( )
f x
:正——负——正,(B)不
对,(D)对.
应选(D).
(2)【分析】 我们逐一分析.
关于(A),涉及可微与可偏导の关系.由 ( ,
f x y 在(0,0)存在两个偏导
)
数 ( ,
f x y 在(0,0)处可微.因此(A)不一定成立.
)
关于(B)只能假设 ( ,
f x y 在(0,0)存在偏导数
)
f
f
(0,0)
x
,
(0,0)
y
,不
保证曲面
z
( ,
f x y
)
在
(0,0,
f
(0,0))
存 在 切 平 面 . 若 存 在 时 , 法 向 量
n=
f
(0,0)
x
f
，
(0,0)
y
，
1
成立.
{3,1,-1}与{3,1,1}不共线,因而(B)不
关于(C),该曲线の参数方程为
x
y
z
,
t
0,
( ,0),
f
t
它 在 点 (0,0,
f
(0,0))
处の切向量为
因此,(C)成立.
{ ',0,
t
d
dt
f
( ,0)}|
t
0
t
{1,0,
f
'
x
(0,0)} {1,0,3}
.
(3)【分析】 当
时,
f
'
(0)
lim
0
x
( )
f x
x
lim
0
x
( )
f x
x
lim
0
x
( )
f x
x
.
关
(A):
lim
0
h
1
2
h
f
(1 cos )
h
由此可知
若 ( )
f x 在
h
lim
0
h
f
(1 cos ) 1 cos
2
1 cos
1
lim
2
h
0
h
(1 cos )
h
h
h
f
t
1 cos
h
' (0)
f
x 可 导 (A) 成 立 , 反 之 若 (A) 成 立 ' (0)
0
f
f
(0) 0
于
f
( )
t
t
,
h
lim
0
t
1
2
.
'(0)
f
.如 ( )
f x
x 满足(A),但 '(0)
|
f
|
不 .
关于(D):若 ( )
f x 在 0
x 可导,
1
lim [
h
h
0
f
(2 )
h
( )]
f h
f
lim[2
h
0
(D)成立.反之(D)成立
lim(
0
h
f
(2 )
h
2
h
(2 )
h
( )
f h
h
( )) 0
f h
] 2 (0)
f
'
f
'
(0)
.
( )
f x 在 0
x 连
续, ( )
f x 在 0
x 可导.如
( )
f x
1,
2
x
0,
x
x
0
0
满 足 (D),但 ( )
f x
在 0
x 处不连续,因而 '(0)
f
也不 .
再看(C):
1
2
h
sin )
h
(
f h
lim
0
h
当它们都 时).
lim
0
h
h
sin
2
h
sin )
(
h
h f h
sin
h
h
lim
0
h
h
sin
2
h
h f
( )
t
t
(
h
h
sin
2
h
.因而,若 '(0)
0
f
(C)成立.反之若(C)成
注意,易求得
f
立
lim
0
t
lim
0
h
( )
t
t
(即
f
'(0)
).因为只要
f
( )
t
t
有界,任有(C)成立,如 ( )
f x
|
x 满足(C),但
|
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