2009年北京高考理科数学试题及答案.doc

发布时间：2022-10-02 发布人：admin 分类：说明书资料大小：1.28M 资料格式：doc 举报版权申诉

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2009 年北京高考理科数学试题及答案本试卷分第 I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第 I 卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 9 页，共 150 分。考试时间 120 分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第 I 卷（选择题共 40 分）注意事项： 1．答第 I 卷前，考生务必将答题卡上的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔填写，用 2B 铅笔将准考证号对应的信息点涂黑。 2．每小题选出答案后，将答题卡上对应题目的答案选中涂满涂黑，黑度以盖住框内字母为准，修改时用橡皮擦除干净。在试卷上作答无效。一、本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1．在复平面内，复数 z  i (1 2 ) i  对应的点位于（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B 【解析】本题主要考查复数在坐标系数内复数与点的对应关系.属于基础知识的考查. ∵ z  i (1 2 ) i    i 2 i    ，∴复数 z 所对应的点为 2 i 2,1 ，故选 B. 2．已知向量 a、b 不共线，c k a  b(k R),d  a  b,如果 c // d，那么（） A． 1k  且 c 与 d 同向 k   且 c 与 d 同向 C．【答案】D 【解析】本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考 B． 1k  且 c 与 d 反向 D． k   且 c 与 d 反向 1 1 查. 取 a   1,0 ，b   0,1 ，若 1k  ，则 c  a  b   1,1 ，d  a  b    1, 1  ，显然，a 与 b 不平行，排除 A、B. 1,1 k   ，则 c   a  b 若 1    ，d   a  b    ， 1,1  即 c // d 且 c 与 d 反向，排除 C，故选 D. 3 x  10 3．为了得到函数 y  lg 的图像，只需把函数 lg  y x 的图像上所有的点（） A．向左平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 B．向右平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 C．向左平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 D．向右平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度【答案】C 【解析】本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查. A． y  lg B． y  lg   x  3  1 lg10   x  3  1 lg10    x  x  ， 3   ， 3 

x  3  1 lg   x  3  1 lg     C． y  lg D． y  lg 故应选 C. 3 ， 3 . x  10 x  10 4．若正四棱柱 ABCD A B C D 1 1 1  1 的底面边长为 1， 1AB 与底面 ABCD 成 60°角，则 1 1AC 到底面 ABCD 的距离为（） A． 3 3 C． 2 B．1 D． 3 【答案】D 【解析】本题主要考查正四棱柱的概念、直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念 . （第 4 题解答图）属于基础知识、基本运算的考查. 依题意， 1  B AB   ，如图， 60 1 1 tan 60     ，故选 D. 3 5．“    2 ( k  k Z  ”是“ ) cos 2  ”的 1 2 BB  6 A．充分而不必要条件 C．充分必要条件（） B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断. 属于基础知识、基本运算的考查. 当    6 反之，当或  2 ( k  k Z  时， ) cos 2   cos 2  时，有 1 2 2      2  k 2   2  k k     3 为有理数），则 a b   6   cos    3   cos 4 k     3 k Z  ，故应选 A.        6 k    3  1 2 ， k Z  ，  6．若 (1  5 2)   a b 2( , a b （） A．45 B．55 C．70 D．80 【答案】C 【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式. 属于基础知识、基本运算的考查. ∵ 5  2  1   0 C 5  0  2  1 C 5  1  2  2 C 5  2  2  3 C 5  3  2  4 C 5  4  2  5 C 5  5  2

  1 5 2 20 20 2 20 4 2      41 29 2  ，由已知，得 41 29 2    a b 2 ，∴ a b  41 29 70   .故选 C. 7．用 0 到 9 这 10 个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 A．324 B．328 C．360 （ D．648 ）【答案】B 【解析】本题主要考查排列组合知识以及分类计数原理和分步计数原理知识. 属于基础知识、基本运算的考查. 首先应考虑“0”是特殊元素，当 0 排在末位时，有 2 A    （个）， 9 9 8 72 1 当 0 不排在末位时，有 1 A A A 8 4 1 8       4 8 8 256 （个），于是由分类计数原理，得符合题意的偶数共有 72 256 328   （个）.故选 B. 8．点 P 在直线 : l y x  上，若存在过 P 的直线交抛物线 1 y 2 x 于 ,A B 两点，且 | PA AB | | ，则称点 P 为“ 点”，那么下列结论中正确的是（） A．直线l 上的所有点都是“ 点” B．直线l 上仅有有限个点是“ 点” C．直线l 上的所有点都不是“ 点” D．直线l 上有无穷多个点（但不是所有的点）是“ 点” 【答案】A 【解析】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型. 本题采作数形结合法易于求解，如图，设  A m n P x x  ， 1    , , , 则  B m x n x   ， ,2 2 2   ∵ ,A B y x在 2 上， ∴    2 2 n m  1 (2    n x m x  ) 2 消去 n,整理得关于 x 的方程 2 x  (4 m  1) x m  2 2 1 0   （1） ∵   (4 m  1) 2  4(2 m 2 1) 8   m 2  8 m   恒成立， 5 0

∴方程（1）恒有实数解，∴应选 A. 2009 年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）第Ⅱ卷（共 110 分）注意事项： 1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。题号二分数三 15 16 17 18 19 20 总分二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。把答案填在题中横线上。 x  _________. 9． lim 1 x  W【答案】 x x  1 x  1 2 【解析】本题主要考极限的基本运算，其中重点考查如何约去“零因子”. 属于基础知识、基本运算的考查. lim 1 x  x x x  1 x   lim 1 x  x x   x x  2 1   lim 1 x    x x  x  1   1 x   1  lim 1 x  x x 1  21  ，故应填 1 2 . 2 0 y 4 5    10．若实数 ,x y 满足 x    x   y 的最小值为__________. 【答案】 6 【解析】本题主要考查线性规划方面的基础知.   则 s y x 属于基础知识、基本运算的考查. 如图，当 4,  x y   时， 2 s       为最小值. 2 4 6 y x 故应填 6 . f x 是偶函数，若曲线 11．设 ( ) y  ( ) f x 在点 (1, (1)) f 处的切线的斜率为 1，则该曲线在 ( 1, f ( 1))  处的切线的斜率为_________.

【答案】 1 【解析】本题主要考查导数与曲线在某一点处切线的斜率的概念. 属于基础知识、基本运算的考查. 取  f x  2 x ，如图，采用数形结合法，易得该曲线在 ( 1, f ( 1))  处的切线的斜率为 1 . 故应填 1 . 12．椭圆 2 x 9 2 y 2 1  的焦点为 1 ,F F ，点 P 在椭圆上， 2 若 1 PF  ，则 2 | 4 |PF  _________； 1 F PF 2 | | 的小大为__________. 【答案】 2, 120 【解析】本题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理. 属于基础知识、基本运算的考查. ∵ 2 a 29, b  ， 3 ∴ c  2 a 2  b  9 2   ， 7 ∴ 1 2 F F  2 7 ， PF 又 1  4, PF 1  PF 2  2 a  ， 6 ∴ 2 PF  ， 2 又由余弦定理，得 cos  F PF 1 2  2 2  ∴ 1 F PF 2    120 ，故应填 2, 120 . 2 7 2  4  2 2 4   2   1 2 ，      1 , x 1( ) , 3 x x  0 x  0 13．若函数 ( ) f x 【答案】 3,1 则不等式 | ( ) | f x  的解集为____________. 1 3 【解析】本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法. 属于基础知识、基本运算的考查.

（1）由 | （2）由 | ( ) | f x   1 3 ( ) | f x   1 3 0  x   1   x x   1     3       3 x 0 . 1 3 0 x    0 x   x  1      3     1 3   1 3    0 x 1 . ∴不等式 | f x  的解集为 ( ) | 1 3 x    ，∴应填 | 3  1 x 3,1 . 14．已知数列{ }na 满足： 4 a n  3  1, a 4 n 1   0, a 2 n  , a n n  则 2009a N ,   ________； =_________. 2014a 【答案】1，0 【解析】本题主要考查周期数列等基础知识.属于创新题型. 依题意，得 2009 a  a  4 503 3  1  ， 2014 a  a 2 1007   a 1007  a 4 252 1   0  . ∴应填 1，0. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15．（本小题共 13 分）中，角 , ,A B C 的对边分别为 , a b c B  ， cos A 3   , b , , .  3 4 5 在 ABC （Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）求 ABC 的面积. 【解析】本题主要考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导公式、三角形的面积公式等基础知识，主要考查基本运算能力．（Ⅰ）∵A、B、C 为△ABC 的内角，且 ∴ C  2  3  A ,sin A  ， B   3 ,cos A  ， 4 5 3 5     ∴ sin C  sin    2  3  A 3 2 cos A  1 2 sin A  3 4 3  10 . （Ⅱ）由（Ⅰ）知 sin A  3 5 ,sin C  3 4 3  10 ，又∵ B  , b  ， 3  3 ∴在△ABC 中，由正弦定理，得 a  .  ∴ sin A b sin B 6 5 ∴△ABC 的面积 S  1 2 ab sin C    1 6 2 5 3  3 4 3  10  36 9 3  50 .

16．（本小题共 14 分）如图，在三棱锥 P ABC  中，PA  底面点 D ， E 分别在棱 ,PB PC 上，且 //DE BC ABC PA AB ABC   , ,  60 ,   BCA   ， 90 （Ⅰ）求证： BC  平面 PAC ；（Ⅱ）当 D 为 PB 的中点时，求 AD 与平面 PAC 所成的角的大小；（Ⅲ）是否存在点 E 使得二面角 A DE P  为直二面角？并说明理由.  【解法 1】本题主要考查直线和平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．（Ⅰ）∵PA⊥底面 ABC，∴PA⊥BC. 又  BCA   ，∴AC⊥BC. 90 ∴BC⊥平面 PAC. （Ⅱ）∵D 为 PB 的中点，DE//BC， ∴ DE  BC ， 1 2 又由（Ⅰ）知，BC⊥平面 PAC， ∴DE⊥平面 PAC，垂足为点 E. ∴∠DAE 是 AD 与平面 PAC 所成的角， ∵PA⊥底面 ABC，∴PA⊥AB，又 PA=AB， ∴△ABP 为等腰直角三角形，∴ AD  1 2 AB ， ∴在 Rt△ABC 中，  ABC   ，∴ 60 BC  1 2 AB . ∴在 Rt△ADE 中， sin  DAE  DE AD  BC 2 AD  2 4 ， ∴ AD 与平面 PAC 所成的角的大小为 arcsin 2 4 . （Ⅲ）∵DE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面 PAC，∴DE⊥平面 PAC，又∵AE  平面 PAC，PE  平面 PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE， ∴∠AEP 为二面角 A DE P  的平面角，  ∵PA⊥底面 ABC，∴PA⊥AC，∴  PAC   90 . ∴在棱 PC 上存在一点 E，使得 AE⊥PC，这时故存在点 E 使得二面角 A DE P  是直二面角.   AEP   ， 90 【解法 2】如图，以 A 为原点建立空间直角坐标系 A xyz ，设 PA a ，由已知可得

A   0,0,0 , B     1 2 a , 3 2 a  ,0 ,    C     0, 3 2 a  ,0 ,    P  0,0, a  . （Ⅰ）∵  AP   0,0,   a BC , 1 a   2  ,0,0    ，   BC AP ∴  0 ，∴BC⊥AP. 又∵  BCA   ，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面 PAC. 90 （Ⅱ）∵D 为 PB 的中点，DE//BC，∴E 为 PC 的中点， ∴ D     1 4 a , 3 4 a , 1 2  a E    ,     0, 3 4 a , 1 2 a     ， ∴又由（Ⅰ）知，BC⊥平面 PAC，∴DE⊥平面 PAC，垂足为点 E. ∴∠DAE 是 AD 与平面 PAC 所成的角， 3 4  AD   a AE      1 4 1 2              0, a , a , a ， ∵ , , a 1 3 4 2   AD AE   AD AE    14 4 . ∴ cos  DAE  ∴ AD 与平面 PAC 所成的角的大小为 arccos 14 4 . （Ⅲ）同解法 1. 17．（本小题共 13 分）某学生在上学路上要经过 4 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是 1 3 ，遇到红灯时停留的时间都是 2min. （Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望. 【解析】本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考查离散型随机变量的分布列和期望等基础知识，考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力. （Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 A，因为事件 A 等价于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件 A 的概率为  P A   1     1 3        1  1 3      1 3 4 27 . （Ⅱ）由题意可得，可能取的值为 0，2，4，6，8（单位：min）. 事件“ 2k ”等价于事件“该学生在路上遇到 k 次红灯”（ k  0，1，2，3，

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