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ADI(交替方向隐格式)求解二维抛物方程(含matlab程序).docx
ADI法求解二维抛物方程
ADI 法求解二维抛物方程
学校：中国石油大学（华东） 学院：理学院 姓名：张道德 时间：2013.4.27
1、ADI 法介绍
作为模型，考虑二维热传导方程的边值问题：
,0
,
u
x y
yy
( ,
)
x y
( ,
, )
u l y t
u
u
t
xx
,0)
( ,
u x y
(0,
, )
u
y t
（3.6.1）
,
l t
0
( ,0, )
u x
t
( , , ) 0
u x l t
取 空 间 步 长 1
h
， 时 间 步 长 0t> ， 作 两 族 平 行 于 坐 标 轴 的 网 线 ：
M=
y
k
x
x
j
,
jh y
,
kh j k
,
将区域 0
0,1,
M
,
,
,x y
分割成 2M 个小矩形。第
l
一个 ADI 算法（交替方向隐格式）是 Peaceman 和 Rachford（1955）提出的。
方法：
由第 n 层到第 n+1 层计算分为两步：
（1）第一步：
式为：
从n->n+ ，求u 对 向后差分,u 向前差分 ，构造出差分格
yy
1
2
1
n
2
,
j k
u
xx
(3.6.1)
1
n
,
j k
u
1
n
-
2
u
,
j k
2
1
2
1,
n
j
k
u
2
=
（
1
n
2
u
,
j k
2
h
1
2
1,
n
j
k
u
u
n
,
j k
1
2
+
n
,
j k
2
u
h
u
n
,
j k
1
）
1 (
2
u
x
h
2
1
n
2
,
j k
2
u
y
n
,
j k
)
（2）第二步：
式为：
1
2
从n+ ->n+1，求u 对 向前差分,u 向后差分 ，构造出差分格
yy
1
n
2
,
j k
u
xx
(3.6.1)
2
n
,
j k
u
1
n
-
u
,
j k
2
1
2
1,
n
j
k
u
2
=
（
1
2
n
u
,
j k
2
h
1
2
1,
k
n
j
u
u
1
n
1
,
j k
2
+
1
n
,
j k
2
u
h
u
1
n
,
1
j k
）
1 (
2
x
h
2
1
n
2
,
j k
u
2
y
u
1
n
,
j k
)
其中
,
j k
1,
,
M
1,
n
0,1,2,
上表
,
n
1
2
表示在t=t
n
n
j ku 已 求 得 ， 则 由
假 定 第 n 层 的 ,
(3.6.1) 求 出
1
j ku
n
,
(
n
1
2
)
取值 。
， 这 只 需 按 行
1
2
1
2
(
j
1,
M
,
1)
解一些具有三对角系数矩阵的方程组；再由
(3.6.1) 求出
2
1
n
j ku ，这只需按列 (
,
k
1,
M
,
1)
解一些具有三对角系数矩阵的方程组，
所以计算时容易实现的。
2、数值例子
（1）问题
用 ADI 法求解二维抛物方程的初边值问题：
1 (
u
u
yy
xx
2
4
t
(0,
, )
, ) 0,0
(1,
y t
u
y t
u
( ,0, )
( ,1, ) 0,0
u x
t
u x
y
y
( ,
,0)
sin
.
u x y
y
1,
t
y
1,
x
t
cos
x y G
0,
0
(0,1)
),( ,
t
u
x
)
(0,1),
t
0,
已知（精确解为：
( ,
, )
u x y t
sin
y
cos
x
exp(
2
t
8
)
）
设
x
j
(
jh j
0,1,
,
J
),
y
k
(
kh k
0,1,
,
),
K t
n
(
n n
0,1,
n
j ku ，
差分解为 ,
N
)
,
n
u
则边值条件为： 0,
n
u
,0
j
k
u
u
n
,
J k
n
,
,1
j
0,
n
u
,
j K
k
1
0,1,
n
u
,
j K
,
j
,
K
0,1,
,
J
初值条件为： 0
u
,
j k
sin
x
cos
y
k
j
取空间步长
h
h
1
h
2
1 40
，时间步长 1 1600
网比
r
h
2
。用 ADI 法分
1
别计算到时间层 1t 。
（2）计算过程
从n到n+1时，
n
u
根据边值条件： 0,
k
u
n
,
J k
0,
k
，已经知道第 0 列和第 K 列数值全为 0。
0,1,
K
,
（1）
从n->n+ ，求u 对 向后差分,u 向前差分 ，构造出差分格式为：
yy
1
2
1
n
2
,
j k
u
xx
n
,
j k
u
1
n
-
2
u
,
j k
2
从而得到：
1
2
1,
n
j
k
u
1=
（
16
1 (
2
u
x
16
h
2
u
n
,
j k
1
2
+
n
,
j k
2
u
h
u
n
,
j k
1
）
1
2
1,
n
j
k
u
2
1
n
2
u
,
j k
2
h
1
n
2
,
j k
2
u
y
n
,
j k
)
1
2
1,
n
j
k
r
u
1
32
(1
1
16
1
n
2
,
j k
r
)
u
1
2
1,
n
j
k
r
u
1
32
1
32
r
u
n
,
j k
1
(1
1
16
r
)
u
n
,
j k
1
32
r
u
n
,
j k
1
， 其 中
j
1,2,
,
J
1,
k
1,2,
,
K
1
r
r
r
r
1
1
16
1
r
32
1
32
1
16
1
32
1
16
1
r
32
即按行用追赶法求解一系列下面的三对角方程组：
1
1
16
1
r
32
1
32
1
32
1
1
1
1
r
r
r
r
r
r
n
又根据边值条件得： ,0
j
u
u
n
,1
j
,
u
n
,
j K
1
n
j Ku
K 行 ,
,(
j
。
0,1,
J
)
,
n
,
j K
,
j
3
2
1
2
u
u
n
3,
k
n
u
1,
k
f
1
f
f
1
n
2
2,
k
1
2
1
32
1
16
0,1,
，解出第 0 行 ,0
1
2
3,
1
2
2,
1
2
1,
1) (
f
f
f
J
1) 1
,
r
r
n
J
n
J
n
J
u
u
u
1
1)
3
2
(
J
(
J
k
J
J
k
k
J
J
(
J
1) 1
n
ju 和第
1
32
1
16
1
r
32
u
从n+ ->n+1，求u 对 向前差分,u 向后差分 ，构造出差分格
yy
1
n
2
,
j k
u
xx
（2）第二步：
式为：
1
2
n
,
j k
u
1
n
-
u
,
j k
2
1
2
1,
k
n
j
u
1=
（
16
1 (
2
u
x
16
h
2
u
1
n
1
,
j k
2
+
1
n
,
j k
2
u
h
u
1
n
1
,
j k
）
1
2
1,
k
n
j
u
2
1
2
n
u
,
j k
2
h
1
n
2
,
j k
2
u
y
1
n
,
j k
)
r
)
u
1
n
,
j k
1
32
r
u
1
n
1
,
j k
1
n
2
1,
j
k
r
u
1
32
(1
1
16
1
2
n
,
j k
r
)
u
1
n
2
1,
j
k
r
u
1
32
， 其 中
1
16
从而得到：
1
32
r
u
1
n
1
,
j k
(1
j
1,2,
,
J
1,
k
1,2,
,
K
1
n
又根据边值条件得： ,0
j
u
u
n
,1
j
,
u
n
,
j K
1
u
n
,
j K
,
j
从而得到：
，
0,1,
J
,
u
n
,0
j
n
u
,
j K
u
1
n
,1
j
0
n
u
,
j K
0
其中 (
j
0,1,
,
J
)
即按列用追赶法求解一系列下面的三对角方程组：
r
1
32
1
16
1
r
1
32
1
32
r
r
1
r
1
16
1
r
32
K K
u
u
u
u
u
u
u
u
n
j
n
j
n
j
n
j
1
,0
1
,1
1
,2
1
,3
1
n
,
j K
1
n
,
j K
1
n
,
j K
1
n
,
j K
3
2
1
K
1
2
f
1
f
f
f
4
3
f
f
f
f
K
3
K
2
K
1
K
K
1
1
r
1
32
1
16
1
r
32
r
r
1
32
1
16
1
1
r
r
1
32
1
r
1
32
1
16
1
r
32
r
r
r
1
1
1
1
32
1
1
16
1
r
32
（3）求解结果
(3.1)数值解
y
1/4
x1/4
0.142057658092578
2/4
0.200899866713484
3/4
0.142057658092578
2/4
3/4
2.16292994886484e-15 3.03768181457584e-15 2.12330312762773e-15
-0.142057658092571
-0.142057658092570
-0.200899866713473
（3.2）精确解
y
1/4
x1/4
0.145606466607010
2/4
0.205918639844859
3/4
0.145606466607010
2/4
3/4
1.26088801585392e-17 1.78316493265431e-17 1.26088801585392e-17
-0.145606466607010
-0.145606466607010
-0.205918639844859
（3.3）数值解-精确解（即误差）
y
1/4
x1/4
-0.00354880851443196 -0.00501877313137564 -0.00354880851443273
2/4
3/4
2/4
3/4
2.15032106870631e-15 3.01985016524929e-15 2.11069424746919e-15
0.00354880851443973
0.00354880851444026
0.00501877313138652
从而得到误差的范数为：
1- 范数：0.233770443573713； 2-范数：0.196807761631447；
∞-范数：0.327253314506086
（3.4）图像
（3.4.1）数值解图像：
图 一 、 数 值 解 图 像
0.4
0.2
轴
t
0
-0.2
-0.4
1
0.5
y轴
0.2
0
0
0.4
x轴
1
0.8
0.6
（3.4.2） 精确解图像：
图 二 、 精 确 解 图 像
0.4
0.2
轴
t
0
-0.2
-0.4
1
0.5
y轴
0.2
0
0
0.4
x轴
1
0.8
0.6
%x取值范围
%y取值范围
（5）主要程序
（5.1）主程序
%*************************************************************
%main_chapter主函数
%信息10-2——张道德
%学号：10071223
clc
clear
a = 0; b=1;
c=0; d=1;
tfinal = 1;
t=1/1600;%时间步长；
h=1/40;%空间步长
r=t/h^2;%网比
x=a:h:b;
y=c:h:d;
%**************************************************************
%精确解
m=40;
u1=zeros(m+1,m+1);
for i=1:m+1,
%最终时刻
for j=1:m+1
u1(j,i) = uexact(x(i),y(j),1);
end
end
%数值解
u=ADI(a,b,c,d,t,h,tfinal);
%*****************************************************************
%绘制图像
figure(1) ;mesh(x,y,u1)
figure(2); mesh(x,y,u)
%误差分析
error=u-u1;
norm1=norm(error,1);
norm2=norm(error,2);
norm00=norm(error,inf);
%*****************************************************************
（5.2）ADI 函数
%****************************************************************
% 用ADI法求解二维抛物方程的初边值问题
%
%
%****************************************************************
精确解: u(t,x,y) = sin(pi*x) sin(pi*y)exp(-pi*pi*t/8)
u_t = 1/16（u_{xx} + u_{yy}）（0,1）*（0,1）
function [u]=ADI(a,b,c,d,t,h,tfinal )
%(a , b) x取值范围
%(c, d)
y取值范围
%tfinal最终时刻
%t时间步长；
%h空间步长
r=t/h^2;%网比
m=(b-a)/h;%
n=tfinal/t; %
x=a:h:b;
y=c:h:d;
%******************************************************************
%初始条件;使用了精确解函数？
u=zeros(m+1,m+1);
for i=1:m+1,
for j=1:m+1
u(j,i) = uexact(x(i),y(j),0);
end
end
%******************************************************************
u2=zeros(m+1,m+1);
a=-1/32*r*ones(1,m-2);
b=(1+r/16)*ones(1,m-1);
aa=-1/32*r*ones(1,m);
cc=aa;aa(m)=-1;cc(1)=-1;
bb=(1+r/16)*ones(1,m+1);
bb(1)=1;bb(m+1)=1;
for i=1:n
%**************************************************************
%从n->n+1/2,u_{xx}向后差分，u_{yy}向前差分
for j=2:m
for k=2:m
d(k-1)=1/32*r*(u(j,k+1)-2*u(j,k)+u(j,k-1))+u(j,k);
end
% 修正第一项与最后一项,但由于第一项与最后一项均为零，可以省略
%d(1)=d(1)+u1(j,1);d(m-1)=d(m-1)+u1(j,m+1);
u2(j,2:m)=zhuiganfa(a,b,a,d);
end
u2(1,:)=u2(2,:);
u2(m+1,:)=u2(m,:);
%**************************************************************
%从n->n+1,u_{xx}向前差分，u_{yy}向后差分
for k=2:m
dd(1)=0;dd(m+1)=0;
for j=2:m
dd(j)=1/32*r*(u2(j+1,k)-2*u2(j,k)+u2(j-1,k))+u2(j,k);
end
u(:,k)=zhuiganfa(aa,bb,cc,dd);
end
%****************************************************************
u2=u;
end
%********************************************************************
（5.3）“追赶法”程序
%********************************************************************
%追赶法
function [x]=zhuiganfa(a,b,c,d)
%对角线下方的元素，个数比A少一个
% %对角线元素
%对角线上方的元素，个数比A少一个
%d为方程常数项
%用追赶法解三对角矩阵方程
r=size(a);
m=r(2);
r=size(b);
n=r(2);
if size(a)~=size(c)|m~=n-1|size(b)~=size(d)
error('变量不匹配,检查变量输入情况!');
end
%%
%LU分解
u(1)=b(1);
for i=2:n
l(i-1)=a(i-1)/u(i-1);
u(i)=b(i)-l(i-1)*c(i-1);
v(i-1)=(b(i)-u(i))/l(i-1);
end
%追赶法实现
%%
%求解Ly=d，"追"的过程
y(1)=d(1);
for i=2:n
y(i)=d(i)-l(i-1)*y(i-1);
end
%%
%求解Ux=y,"赶"的过程
x(n)=y(n)/u(n);
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