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2009年湖北高考理科数学真题及答案.doc
2009 年湖北高考理科数学真题及答案
本试卷共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟。
祝考试顺利
注意事项：
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形
码粘贴在答题卡上指定位置。
2. 选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。
3. 填空题和解答题用 0.5 毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在
试题卷上无效。
4. 考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是满足题目要求的。
1、已知 { |
a a
P
(1,0)
m
(0,1),
{ |
m R Q b b
},
(1,1)
( 1,1),
n
}
n R
是两个向量集
合，则 P Q
I
A．｛〔1，1〕｝
B. ｛〔-1，1〕｝
C. ｛〔1，0〕｝
D. ｛〔0，1〕｝
2.设 a 为非零实数，函数
(
x R
,
x
且
y
1
ax
1
ax
1
x
且
a
(
x R
,
)
B、
y
A、
y
1
1
C、
y
ax
ax
1
x
(1
x
a
1
)
的反函数是
a
1
1
x R
(
,
ax
ax
1
x
(1
x
a
x
且
1
a
)
(
x R
,
x
且
1)
D、
y
)
(
x R
,
x
且
1)
)
3、投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为 m 和 n,则复数（m+ni）(n-mi)为实数的概率为
A、 1
3
y
4. 函数
cos(2
x
6
B、 1
4
C、 1
6
D、 1
12
的图象 F 按向量 a 平移到 'F ,
) 2
'F 的函数解析式为
y
( ),
f x
当
( )
y
f x
A
.(
6
, 2)
为奇函数时，向量 a 可以等于
C
.(
6
B
.(
6
,2)
, 2)
D
.(
6
,2)
5. 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两
名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为
.18A
.24B
.30C
.36D
6.
设
（
2
2
2
n
x
)
a
0
a x a x
1
2
2
...
a
2
n
1
2
n
1
x
a x
2
n
2
n
，
则
lim[(
n
a
0
a
2
a
4
...
a
2
n
2
)
(
a
1
a
3
a
5
...
a
2
1
n
2
) ]
A. -1
B. 0
C. 1
D.
2
2
7. 已知双曲线
2
x
2
2
y
2
的准线过椭圆
1
2
x
4
2
2
y
b
的焦点，则直线
1
y
kx
与椭圆至
2
多有一个交点的充要条件是
A.
K
1 1,
2 2
C.
K
2
2
2,
2
B.
K
,
1
2
1
2
,
D.
K
,
2
2
2
2
,
8. 在“家电下乡”活动中，某厂要将 100 台洗衣机运往邻近的乡镇，现有 4 辆甲型货车和
8 辆乙型货车可供使用。每辆甲型货车运输费用 400 元，可装洗衣机 20 台；每辆乙型货
车运输费用 300 元，可装洗衣机 10 台。若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输
费用为
A.2000 元
B.2200 元
C.2400 元
D.2800 元
9. 设球的半径为时间 t的函数 R t 。若球的体积以均匀速度 c增长，则球的表面积的增长
速度与球半径
A.成正比，比例系数为 C
B. 成正比，比例系数为 2C
C.成反比，比例系数为 C
D. 成反比，比例系数为 2C
10. 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。比如：
他们研究过图 1 中的 1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；
类似的，称图 2 中的 1，4，9，16，…这样的数为正方形数。下列数中既是三角形数又是正
方形数的是
A.289
B.1024
C.1225
D.1378
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.请将答案填在答题卡对应题号的位
置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写.
11. 已知关于 x 的不等式
1
ax
1
x
＜0 的解集是
(
, 1)
(
1
2
,
)
.则 a
.
12. 样本容量为 200 的频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图估计,样本数
据落在[6,10) 内的频数为
，数据落在[2,10) 内的概率约为
.
13.如图,卫星和地面之间的电视信号沿直线传播,电视信号能够传送到达的地面区域,称为
这个卫星的覆盖区域.为了转播 2008 年北京奥运会,我国发射了“中星九号”广播电视直
播卫星，它离地球表面的距离约为 36000km.已知地球半径约为 6400km,则“中星九号”
覆盖区域内的任意两点的球面距离的最大值约为
km.(结果中保留反余弦的符
号).
14.已知函数 ( )
f x
f
'(
4
)cos
x
sin ,
x
f
则 (
)
4
的值为
.
15．已知数列 na 满足：
1a ＝m （m 为正整数）， 1
a
n
a
n
2
3
a
,
当 为偶数时，
a
n
若 6a ＝1，
1,
n
当 为奇数时。
a
n
则 m 所有可能的取值为__________。
三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（本小题满分 10 分）（注意：在试题卷上作答无效
．．．．．．．．．）
一个盒子里装有 4 张大小形状完全相同的卡片，分别标有数 2，3，4，5；另一个盒子
也装有 4 张大小形状完全相同的卡片，分别标有数 3，4，5，6。现从一个盒子中任取一张
卡片，其上面的数记为 x；再从另一盒子里任取一张卡片，其上面的数记为 y，记随机变量
＝x＋y ，求的分布列和数学期望。
17．（本小题满分 12 分）（注意：在试题卷上作答无效
．．．．．．．．．）
已知向量 (cos ,sin ),
a b
a
a
(cos
,sin ),
c
( 1,0)
（Ⅰ）求向量b c 的长度的最大值；
（Ⅱ）设 a
，且
4
a
，求 cos的值。
(
b c
)
18．（本小题满分 12 分）（注意：在试题卷上作答无效
．．．．．．．．．）
如图，四棱锥 S—ABCD 的底面是正方形，SD 平面 ABCD，SD=2a，
AD
2
a
点 E 是
SD 上的点，且
DE
a
(0
2)
（Ⅰ）求证：对任意的 (0,2]
，都有 AC BE
（Ⅱ）设二面角 C—AE—D 的大小为 ，直线 BE 与平面 ABCD 所成的角为，若
tan
tan
g
1
，求的值
19、（本小题满分 13 分）（注意：在试题卷上作答无效
．．．．．．．．．）
已知数列 na 的前 n 项和
S
n
a
n
1(
2
n
1
)
（n 为正整数）。
2
（Ⅰ）令
b
n
2n
（Ⅱ）令
n
c
n
明。
a
n
1
n
，求证数列 nb 是等差数列，并求数列 na 的通项公式；
a
n
，
T
n
c
1
c
2
........
c
试比较 nT 与
n
5
n
n
2
1
的大小，并予以证
20、（本小题满分 14 分）（注意：在试题卷上作答无效
．．．．．．．．．）
的对称轴上一点
A a
0)
,0
过抛物线 2
y
2
(
px p
a 的直线与抛物线相交于 M、N
0
两点，自 M、N 向直线 :l x
a 作垂线，垂足分别为 1M 、 1N 。
（Ⅰ）当
a 时，求证： 1AM ⊥ 1AN ；
p
2
（Ⅱ）记
AMM
、
1
AM N
1
1
、
ANN
1
的面积分别为 1S 、 2S 、 3S ，是否存在，
使得对任意的 0a ，都有 2
S
2
S S
1 2
成立。若存在，求出的值；若不存在，说明理由。
21.(本小题满分 14 分) （注意：在试题卷上作答无效
在 R 上 定 义 运 算
p
q
:
4
bc
（ b 、 c 为 实 常 数 ）。 记
．．．．．．．．．）
p c q b
1
3
R .令
f
2
f
1
，
2
c
f
（Ⅰ）如果函数
2
2
b
，
f 在 1 处有极什 4
3
f
1
.
f
2
,试确定 b、c 的值；
（Ⅱ）求曲线
y
f
上斜率为 c 的切线与该曲线的公共点；
（Ⅲ）记
g x
f
|
试示 k 的最大值。
x
的最大值为 M .若 M k 对任意的 b、c 恒成立，
1
x
1
1．【答案】A
参考答案
【解析】因为 (1,
a
)
m b
(1
n
,1
n
)
代入选项可得
P Q
1,1
故选 A.
2．【答案】D
【解析】同文 2
3．【答案】C
【解析】因为
(
m ni n mi
)(
)
2
mn
(
2
2
)
n m i
为实数
所以 2
n
2
m 故 m n 则可以取 1、2 6，共 6 种可能，所以
P
4．【答案】B
【解析】同文科 7
5．【答案】C
6
C C
1
6
1
6
1
6
【解析】用间接法解答：四名学生中有两名学生分在一个班的种数是 2
4C ，顺序有 3
3A 种，
而甲乙被分在同一个班的有 3
3
3A 种，所以种数是 2
C A
3
4
3
A
3
30
6．【答案】B
【解析】令 0
x 得
a
0
(
2
2
2
n
)
1
2
n
令 1x 时
2(
2
2
n
1)
a
0
a
1
a
2
a
2
n
令
x 时
1
2(
2
2
n
1)
a
0
a
1
a
2
a
2
n
两式相加得：
a
0
a
2
a
2
n
(
2
2
2
n
1)
(
2
2
2
2
n
1)
(
2
2
2
n
1)
(
2
2
2
2
n
1)
两式相减得：
a
1
a
3
a
2
1
n
代入极限式可得，故选 B
7．【答案】A
【解析】易得准线方程是
x
2
a
b
1
2
2
即 2
b 所以方程是
3
1
2
x
4
2
y
3
1
2
3 +(4k +16k)
x
2
x 由 0 可解得 A
4 0
所以 2
c
2
a
2
b
4
b
2
联立
y
kx
可得
2
8．【答案】B
【解析】同文 8
9.【答案】D
【解析】由题意可知球的体积为
( )
V t
3
( )
R t
4
3
，则
( )
c V t
'
c
( )
( )
R t R t
'
4
( )
R t
，而球的表面积为
( )
S t
( )
R t
4
2
，
4
( )
R t R t
( )
2
'
，由此可得
所以
v
表＝
'
( )
S t
4
R t
( ) 8
2
( )
( )
R t R t
'
，
即
8
v
表＝
'
( )
R t R t
( ) 2 4
＝
'
( )
( )
R t R t
＝
c
2
( )
( )
R t R t
'
'
( )
R t
＝
2
c
( )
R t
，故选 D
10.【答案】C
【解析】同文 10
11.【答案】-2
【解析】由不等式判断可得 a≠0 且不等式等价于
由解集特点可得
a
0
且
1
a
12.【答案】64
0.4
【解析】同文 15
(
a x
1)(
x
1
a
) 0
a
1
2
2
A
A
13.【答案】12800arccos
8
53
【解析】如图所示，可得 AO=42400，则在
Rt△ABO 中可得 cos∠AOB=
所以
l
R
2
AOB R
12800arccos
8
53
B
B
O
O
C
C
8
53
14.【答案】1
【解析】因为 '( )
x
f
f
'(
)
4
32
15.【答案】4
5
f
'(
4
2 1
故 (
f
) sin
x
cos
x
所以 '(
f
f
) sin
)
4
sin
'(
4
f
4
4
) 1
(
4
cos
4
)
4
f
'(
4
4
)cos
a
【解析】（1）若 1a m 为偶数，则 1
2
m
8
a
仍为偶数时， 4
m
4
①当
为偶, 故
a
6
a
2
m
32
m
2
a
2
2
1
m
4
m
a
3
m
32
故
32
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