2010陕西考研数学二真题及答案.doc

发布时间：2022-09-21 发布人：admin 分类：说明书资料大小：0.97M 资料格式：doc 举报版权申诉

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一、填空题

二、选择题

三、解答题

2010陕西考研数学二真题及答案一、填空题(本题共 6 小题，请将答案写在题中横线上．) (1)三阶常系数线性齐次微分方程的通解为 y= ． (2)曲线的渐近线方程为． (3)函数 y=ln(1-2x)在 x=0 处的 n 阶导数 (4)当 0≤θ≤π 时，对数螺线 r=eθ的弧长为． (5)已知一个长方形的长 l 以 2cm/s 的速率增加，宽w 以 3cm/s 的速率增加，．则当 l=12cm，w=5cm 时，它的对角线增加的速率为． (6)设 A，B 为 3 阶矩阵，且|A|=3，|B|=2，|A-1+B|=2，则|A+B-1|= ．二、选择题(本题共 8 小题，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将所选项前的字母填在题后括号内．) (7) 函数的无穷间断点数为 (A) 0． (B) 1． (C) 2． (D) 3． (8) 设y1，y2 是一阶线性非齐次微分方程的两个特解．若常数λ， μ使该方程的解是对应的齐次方程的解，则 2 (9) 曲线 y=x 4e． (B) 3e． (C) 2e． (D) e．与曲线 y=aln x(a≠O)相切，则 a= (A) (10) 设m，n是正整数，则反常积分的收敛性 (A) 仅与 m 值有关． (B) 仅与 n 值有关． (C) 与 m，n 值都有关． (D) 与 m，n 值都无关． (11) 设函数z=z(x，y)由方程确定，其中F为可微函数，且 (A) x (B) z． (C) -x． (D)-z． (12) (C) (D)

(14) 设A为4阶实对称矩阵，且 A2+A=0，若A的秩为3，则A与相似于三、解答题(本题共 9 小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15) 求函数的单调区间与极值． (16) (Ⅰ) 比较小，说明理由； (Ⅱ) 记的大，求极限 (17) 设函数y=f(x)由参数方程所确定，其中 φ(t)具有二阶导数，且φ(1)= (18) 一个高为 j 的柱体形贮油罐，底面是长轴为 2a，短轴为 2b 的椭圆，现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为时(如图2)，计算油的质量． 3 (长度单位为m，质量单位为 kg，油的密度为常数 ρkg/m )

(19) 设函数 u=(x，y)具有二阶连续偏导数，且满足等式，确定 a，b 的值，使等式在变换 (20) 计算二重积分 (21) 设函数 f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内可导，且。证明：存在 f'(ξ)+f'(η)=ξ 2 +η 2 (22) 设已知线性方程组 Ax=b 存在2 个小同的解．(Ⅰ) 求 λ，a； (Ⅱ) 求方程组 Ax=b 的通解. (23) 设例为一、填空题 (1) (4) 二、选择题正交矩阵使得为对角矩阵，若 Q的第1 参考解答 (2) y=2x (3) -2 n ·(n-1)! (5) 3cm/s (6) 3 (7) B (8) A (9) C (10) D (11) B (12) D (13) A (14) D 三、解答题 (15) 分析：求变限积分 f(x)的一阶导数，利用其符号判断极值并求单调区间．

解令因为当 x＞1 时＜0时时所以 f(x)的单调递减区间为(-∞，-1)，(0，1)；f(x)的单调递增区间为(-1， 0)，(1，+ ∞)；极小值为 f(1)=f(-1)=0，极大值为当-1＜x 评注：也可用二阶导数的符号判断极值点，此题属基本题型． (16) 分析：对(Ⅰ)比较被积函数的大小，对(Ⅱ)用分部积分法计算积分，再用夹逼定理求极限。 n 解：(Ⅰ)当 0≤t≤1 时，0≤ln(1+t)≤t，故|lnt|[ln(1+t)] ≤|ln|．由积分性质得 (Ⅱ) 有由夹逼定理得于是评注：若一题有多问，一定要充分利用前问提供的信息． (17) 分析：先求 ψ(t) 可得关于 ψ(t)的微分方程，进而求出

解：由参数方程确定函数的求导公式可得评注：此题是参数方程确定函数的导数与微分方程相结合的一道综合题，有一定难度． (18) 分析：先求油的体积，实际只需求椭圆的部分面积．

解：建立如图 3 所示的直角坐标系，则油罐底面椭圆方程为油的质量 M=ρV。其中油的体积 V=S底·l．故则运评注：此题若不能记住公式算量稍显大． (19) 分析：利用复合函数的链导法则变形原等式即可．解：由复合函数的链导法则得

所以因而解得评注：此题主要考查复合函数链导法则的熟练运用，是对运算能力的考核.

(20) 分析：化极坐标积分区域为直角坐标区域，相应的被积函数也化为直角坐标系下的表示形式，然后计算二重积分．解：如图 4，直角坐标系下，D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤x}，所以 (21) 分析：这是一个双介值的证明题，构造辅助函数，用两次拉格朗日中值定理。证明： 2 两式相加得f'(ξ)+f'(η)=ξ 2 +η

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