s域变化在复频域的应用.doc-资料库

第九章电路的复频域分析基本要求： 1. 正确计算电容电压的原始值和电感电流的原始值； 2. 正确作出换路后的复频域电路模型； 3. 根据复频域电路模型对电路进行正确的分析计算； 4. 掌握网络函数的基本概念；根据复频域电路模型计算网络函数；根据网络函数求电路的零状态响应； 5. 绘制网络函数的极零图，根据网络函数的极点定性的分析电路的冲激响应以及网络的稳定性。讲述要点：一般性介绍 § 9- 1 克希霍夫定律的复频域形式用相量法分析正弦稳态电路，是一种时域到频域的变换法。相量法是作出电路的相量模型，（包括将激励和响应用相量表示，把各种电路元件作出相量模型用阻抗或导纳表示）运用相量形式的克希霍夫定律，直接列出该模型的相量代数方程。鉴于拉氏变换法与相量法具有类似的思想方法。我们也可以作出电路的复频域模型，直接列出以复频率 s 为变量的代数方程。解这个方程便可以得到响应的象函数，再经反变换就可得响应的时域的解答。为此 , 先导出克希霍夫定律的复频域形式。 1 、电流定律的复频域形式  )t(i  0 I3 (S)=0 I1(S)=0 I2 (S) 进行拉氏变换   )t(i     )t(iL  L )s(I 如图有： -I 3 (s ) + I 1 (s ) + I 2 (s ) = 0 表述为：流入一个节点的电流象函数的代数和恒为零。   0  2 、电压定律的复频域形式  )(tu  0  )s(U  0 表述为：沿一个回路的任意回转方向计算各支路电压象函数的代数和，恒为零。如图中间回路，按顺时针计算电压代数和，有 U 1 (s ) - U 2 (s ) + U 3 (s ) -U 4 (s ) = 0 U1(S) – + + U4 (S) – – U2 (S) + – U3 (S) + § 9- 2 电路元件的复频域模型讲述要点：1. C，L，M 等动态元件的复频域模型，特别注意附加电源的大小，联结及参考方向； 2. 二端网络的复频域阻抗与导纳。

9- 2 - 1 电阻元件 VC R : )t(iR)t(U R  拉普拉斯变换，得 )s(IR)s(U R  或 I( s ) = G U ( s ) 9- 2 - 2 电容元件 + I(S UR(S – R VC R :  )t(u c 1 c 进行拉氏变换为 t   0 (utd)t(i 0 c   ) 或 )t(i  c )t(ud c td )s(U c  1 cs )s(I  )  (u 0 c s )s(I  (uC)s(UCS c  c 0  ) 两式中都反映了电容电压初值对电压电流关系的影响 9- 2 - 3 电感元件 VC R : L)t(u L  )t(id td )t(i  1 L I(S) 1 SC uC )0(  S – + + I(S) + U C(S) Cu C(0-) SC U C(S) t   0 td)t(u c  (i 0 )  拉氏变换 U L (s ) = S L I ( s ) - L i ( 0 - ) 或 I(S) SL Li(0-) – + U L(S) 串联附加电压 + – )s(I  1 Ls )s(U L  ) (i 0  s (  oi S ) I(S) + SL 1 U L(S) 并联附加电 – – – 9- 2 - 4 耦合电感元件（具有初值电流） M i1(t) + u1(t) – * L1 i2(t) * L2 + u2(t) – I1(S L1i1 (0-)+|M| + – i 2 L2 i 2 (0-)+|M| i 1 + – I2(S + U 1 – (S) SL1 SL2 + S|M|I 2 – + – S| M|I 1 + U – 2(S) 时域模型消去互感的复频域模型 idL)t(U td  1 1 1  id|M| td 2

U 1 (s ) = s L 1 I 1 (s ) + s | M | I 2 (s ) - L 1 i 1 (0 - )- | M | i 2 (0 - ) idL)t(U td id|M| td   1 2 2 2 U 2 (s ) = s L 2 I 2 (s ) + s | M | I 1 (s ) - L 2 i 2 (0 - )- | M | i 1 (0 - ) 注意： M 可正可负，视同名端的标注与电流（电压）的参考方向而决定 9- 2 - 5 受控源已经介绍的受控源均为线性受控源 VC U S VC C S CC C S CC V S u 2 (t ) = μ u 1 (t ) )( tug m )( t i 1 2 U 2 (s ) = μ U 1 (s ) )s(I 2  )s(Ug m 1 )t(i 2  )t(i 1 )s(I 2  )s(I 1 )( tu 2 ir m 1 )( t )s(U 2  )s(Ir m 1 以 VC V S 为例，画出复频域模型 i1(t)=0 + u1(t) – i2(t) + μ – u1(t) + u2(t) – I1(S)=0 + U1(S) – I2 (S) + μU1(S) – + U2 (S) – 时域模型复频域模型 9- 2 - 6 二端网络的复频域阻抗与导纳以 RL C 串联电路为例，作出复频域模型根据 KV L : uS(t) + – i(t) R + uR(t) – C – uC(t) + L + uL(t) – U + – )s(U S  LSR(   (iL)s(I)  0 )   I(S) R U + – R(S) u C (0 - )/ S 1/S + U )  C(S) – – (u 0 c S + U L(S) – S L Li(0-) – + + 1 CS )   LSR   1 cS (iL)s(U 0  S )s(I  (u 0 C S )   (iL)s(U 0  S )  )S(Z  )  (u 0 c S 其中  )S(Z LSR   1 cS 称为 RL C 串联电路的复频域阻抗

)s(Y  1 )s(Z 称为串联电路的复频域导纳，与正弦稳态中的复阻抗 Z( j ω ) 和 Y( j ω ) 相似，只需将 j ω 换为 s 即可，即令在零原始条件下有 U S (s ) = Z ( s ) I ( s ) ； 0 I( s ) = Y ( s ) U S (s ) 称 R ,S L , 1 sc 为 R , L , C 的复频域阻抗，复频域导纳则分别为 G , SC , 在非零原始条件下，分子除 U S (s ) 外还包括电压源 Li ( 0 - ) 和 [ 这是电感电容的初始能量造成的，称为附加电源。  ) (uc 0  S 1 SL ] ， § 9- 3 用复频域模型分析线性动态电路讲述要点：1. 作出换路后的复频域电路模型，特别注意激励源与附加电源； 2. 根据复频域电路模型对电路进行正确的分析计算；节点法用拉氏变换法分析动态电路的分析过程和与相量法分析正弦稳态的过程相似，可以分以下几个步骤： 1 、计算动态元件的原始值 i L (0 - ) 和 u C (0 - ) ； 2 、将激励源进行拉氏变换； 3 、画出复频域电路的模型； 4 、应用计算线性电阻网络的任何一种方法（串并联化简，电源变换，回路法，节点法，戴维宁定理等）计算待求响应的象函数。 5 、对求得的象函数进行反变换得时域解答。例 1 ：计算图所示电路的电流 i（ t ）和电压 u 0（ t ），已知原始参数为 R 1 =9 Ω , R 2 =1 Ω C 1 =1 F , C 2 =4 F , u S (t ) = 1 0 ε (t ) V , u C 1 (0 - )= u C 2 (0 - )= 0 u + S – i (t) R1 R2 C1 C2 + u – + US(S) =10/S – o I(S) R1 R2 Z(S) 解：因 u C 1 (0 - )= u C 2 (0 - )= 0 , 故无附加电源 u o t 1/SC1 + Uo( – 2 1 0 1/SC2 外施电压象函数为 )S(u S  10 S 电路的输入复频域阻抗为 )S(Z  R 1 (R 1 1 cs  1 1 cs (R 2  R 2 1 cs  2 1 cs ) 1  ) 2 1 C(RR SCR( 2 1 1 1   2  RS)C SCR() 1 1 2 2   R ) 1 2  54  S  10 S() 41 S( 9  1 )

)S(U)S(I S )S(Z   8  (S  10 S S  5 S  54 1  S( 9  54 S()  41 S  10 1 )  36 2 S S   31 S S  2 54  1  8  1 ) 1 S  1 9 1 1  54 S  )t(i  8  )t(   )t(   e 1  54 t  )t( 1 9 )S(u 0  )S(I R 2  R 2   10 S  S( 9  54 S()  41 S  10 1 )  1 S  4 1  S  9 S  54 1  (S 1 ) 1 CS 2 1 CS 1 2  1 S  S  1  54 )t(u 0   )t(  e  1  54 t )t( 作出 u 0 (t ) 的曲线如前。当 t= 0 ＋时 u 0 (0 ＋ )= 2 V 而 u 0 (0 - )= 0 可见电容电压 u 0 (t ) 在电源加上后发生了跳变，这是由于冲激电流产生的结果，如 u 0 )0(   1 C 2 0  0   i )( tdt  1 4 0  0   8  )( tdt  2 V 例 2 ：图 2 所示电路开关 K 已闭合很久， t= 0 时断开开关，求开关断开 R 2 =3 后电路中的电流 i( t ) ， u L 1 (t ) ， u L 2 (t ) 。其中 R 1 =2 Ω , Ω ,L 1 =0 . 3 H , L 2 =0 . 1 H i(t) + uL1 L1 – R1 + US=10 – V R2 L2 t=0 + uL2 – I(S) R1 UL1(S + SL 1 + US=10/S – – + – L1i(0-) i( t ) 5 R2 SL 2 + UL2(S – 3.75 2 0 t t ＞ 0 的复频域电路模型解：设开关断开时为时间起点 t =0 U) (i s  0 R 1  10 2  5 A ， )s(U s 10 S t ＞ 0 电路的复频域模型如中图所示

)s(I   10 s L(S 5   2 S  S 5 1 L )L  2 1 10 s  5  . 51 S. 40   S.  51 S. (S 40 10  5 ) . 571  521 . )t(i  2  )t(  . 571 e  12 . 5 t  )t( A 曲线如上右 . 可见，电感电流换路后发生跳变，电感电压中必有冲激函数出现 U L 1 (s ) = S L 1 I( s ) - L 1 i( 0 - )= 0 . 3 s I ( s ) - 0 . 3 × 5  (S. 30 2 s  . 751 .  512 s )  . 51  0 . 375  s u L 1 )t(  0 . 375 . 566 .  512 )t(   )S(U L 2  )s(IS. 10  . 20  . 566 . 512 t  )t( V  e . 175 0 s  s . 512 )t(   0 . 375  . 192 .  512 s V u u )t(  0 . 375  )t(  . 192 e  . 512 t L 2 )t(  u L 1 L 2 )t(  . 758 e  12 . t 5 )t( 可见总电感电压并无冲激电压，两者相同方向相反抵消，不会违背 KV L 。同时也说明换路前后两线圈总磁链数值保持不变 L 1 i( 0 - )= ( L 1 +L 2 )i ( 0 ＋ ) (i 0  )  1 (iL 0  L L  1 ) 2  . 530 . . 3010    . 753 A 例题 3 ：图 (a ) 所示电路，已知 R 1 =2 Ω , R 2 =0 . 5 Ω , L= 2 H , C= 0 . 5 F , r = - 0 . 5 Ω , u C (0 - )= 0 . 5 V, i L (0 - )= - 1 A ，求 i L (t ) . R 1 + δ(t) V – iL L riL + – + – uC R 2 C (a

解：此题是冲激作用的二阶电路 , 原始状态又不为零，且含有受控源，用时域解法很繁。采用复频域法可得图 (b ) 所示的复频域电路， IL(S) Li(0-)=-2 + – SL=2S I1(S) R 1=2 + 1 – + 1  Sc uC )0(  S + – rIL(S) – 2 S I2(S) R2 = 列回路方程如下 (b 左回路： ( 2  2 S  2 S )s(I) 1 右回路：  2 S I L I 1 )( s  1( 2  )( s  I )( 1 s  2 S )2 S I )s(I 2  2 )( s  2 5.0 S . 50 S 1 2   1 I L )( s 解得 I L )s(   S  S. 50 S  5 2 9 4 4   i )t( L  7 12 e t   7 12  1  S 1 12  S 4   4 t e A t ≥ 0  1 12 讲述要点：1. 网络函数的定义及分类 § 9- 4 网络函数 2. 根据复频域电路模型计算网络函数；根据网络函数求电路的零状态响应； 9- 4 - 1 网络函数的定义及分类一、定义： )S(H  )s(R )s(E H( S ) 为导出参数，是 s 的函数。二、网络函数的分类零状态响应象函数激励的象函数 )t(e 网络函数策动点函数转移函数              策动点阻抗策动点导纳转移阻抗与转移导纳转移电压比、转移电流比

例 9-4-1 RC 并联电路由电流源激励的电压响应解： )S(U)S(H )S(I   )s(Z  1  GCS  1 )S(Y I(s) + U(s) – SC G 例 9- 4 - 2 求电压比 ( SH )  ( SU ( SU 2 1 ) ) 解： )S(H  2 )S(U )S(U 1 1 CS  1 CS  LS + U1(S) – SL 1/SC + U2(S) – 可见，网络函数由网络结构与参数有关，而与激励源的波形无关。 9- 4 - 2 网络函数与冲激响应当已知 e( t ) = δ (t ) , 零状态响应 r( t ) = h ( t ) 时 , 有 E( S ) = 1 则可见网络函数就是冲激响应的象函数。其实网络函数的定义，与时域卷 R( S ) = E ( S ) H ( S ) = H ( S ) = L [ h ( t ) ] 积定理密切相关。已知 r( t ) = e ( t ) * h ( t ) ∴ r( t ) = L - 1 [E ( S ) H( S ) ] 其中的网络函数可以不必由 h( t ) 变换得来，而可以直接由复频域电路模型得到。例 9- 4 - 3 求电容电压的冲激响应 h( t ) RL C 串联电路 R= 4 5 0 Ω , L= 5 0 H , C= 1 0 0 0 μ F ，激励电压为 δ (t ) V C + – h（t） L R + δ（t） – 1 Sc – H(S) + SL R 1 + – 解：此处的网络函数为转移电压比，根据电路串联的分压规律，电压之比等于阻抗之比。则 )S(H  1 CS LSR    1  20 S 9  20  S(  20 S() 4  5 )  20  S 4  20  S 5 2 S  1 CS  )t(h  1  ])S(H[L  [ 20 e  4 t  20 e  5 t ]  )t( 过阻尼 ● 可见网络函数与激励源无关，可由复频域电路模型直接求出，即完全由电路的原始参数和结构决定。求得 H( S ) 后，进行反变换就可求得冲激响应 h( t )

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